《非线性
分析》
2003年6月
《非线性数学分析》试卷 2003年6月
学生姓名: 李晓雷 所在院系: 机械学院 学号: 1003201019
,3
1. 答: A,(A,B),A,A,A,B都是可列集,不是可列集。 B,B::1212iii12i,1i,1
j2. (1)证:记此集合为S,即S=数列第项是1而其余,,,,,,aa?a,0,1,2,3,i,N12i项都是3的无限数列若记为,则显然是S的一个无限子集,故S是无限集。 ,,eej,Njj
设S是可列集,则可设其全部元素排成一列如下:
111 A,,,aaa?1123
222 A,,,aaa?2123
…
…
i,当a1,,1,iiB,S 其中所有都属于,,,令,其中则。但0,1,2,3,,B,bbb?ab,,i123ji当a3,,1,i,
j,因为至少有,这又表明B不在S的元素列A,A,?之中,这是矛,j,N,A,Ba,b12jjj
盾的。故S是不可列集。综上所述,S是无限不可列集。
(2)根据题设,显然集合O是S的无限子集,,其中 ,,O,Axii
,, ,,共k项(k为有穷数)。x,00?(从O中第k+1项开始),显A,aa?a12k
然可在x与自然数集之间建立一一对应的映射关系 f:X,N 所以 即X是可列集。所以O由一个有限集和一个可列集组成,X,N
。得证。 ?O,X,N,?O是S的一个无限可列子集
3. 解:(1),(2),(3)是错的,(4)是对的。
o4. 解:,,,,,,,, A,0,1,2,3,4,5,6,7
e,,,,,,,,,, A,,,,0,1,2,3,4,5,6,7,8,(8,,,)
b,, A,0,1,2,3,4,5,6,7,8
d ,,,,,,,,A,0,1,2,3,4,5,6,7
,,,,,,,,,, A,0,1,2,3,4,5,6,7,8
5. 解:是开集的有:,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,2,1,2,0,3,4,5,5.5,5,6,5,6,7,8,7,,,
是闭集的有: ,,,,,,,,,,,,1,2,0,3.5,3.8,5,5.5,5,6,7,,,
,16. 证明: g和是连续的。设Y中开集组是g(A)的任g:X,Y是同胚,,,??O;,,,g,
,1,1,1,,,,g(A),,O一开覆盖,则,从而A,g,O,,gO,即是A的一,,,,gO;,,,,,,,,,,,,,,,
,1个开覆盖,由于f连续,所有的都是X中开集。因为A是X中的紧集,故存在有限子覆盖,,,gO,
mmm,,,1,1即有,,,,,,,,?,,,,使A,,gO,这使g(A),g,gO,,O,即 ,,O;k,1,2,?,m,,m,,,12,kkkkk,1,1,1,,
是g(A)的有限子覆盖,故g(A)是Y中的紧集。又A是X中的紧集,由定理(1.2.9)可知,
在距离空间中,集A是自列紧的当且仅当A是紧的,A是自列紧的。根据定理(1.2.8)中?
A是距离空间中的自列紧集,则A是有界闭集,可知A为有界闭集。又
g:X,Y也是连续映射,又由定理(1.2.10)可得g(A)是Y中的闭集,?g:X,Y是同胚,?
,1又f:X,Y是连续映射,由定理(1.2.6)可知是X中的闭集。 ?f(g(A))7.解:
4
,,,,,,,,,0,5,,,,fg,C,,,,K,Ff,,g,,,f,,gx,iii,1 4444
,,,,,,,,,,,,,,,fx,,,gx,,,fx,,,gx,,Ff,,Fg,,,,iiiiiiiiiiii,1,1,1,1
故泛函F是线性的;
444
,,,Mmaxfx,这里 ,,,,,,,,,f,,,C0,5,Ff,,fx,,fx,,maxfx,,,iiiii0,x,50,x,5i,1i,1i,1
4*M,,,10,故F是有界线性泛函,即, ,,F,C,,0,5,并且F,10,,,。为求F,i1i,
,ii,1,2,3,4,取,,,,为一函数值介于-1与+1之间的连续函数,且 fx,C0,5,,fx,,00i,i
,,f,maxfx,1,(即,,视的正负而取值1或-1)。于是而 fx,000ii,x,05
44
,,,,,,Ff,,fx,,,10,从而,Ff,10f成立,故F,10,, ,结合,,, ,,0000iii11i,i,
(见上),得出。 F,10
22,,x,yxy22,,,,,,xx,,,,22,,,,3,'63,T,xy,xy知T,y,xyx,x8.解:写故所求G—微分 ,,,,,,,,yy,,,,,,,,4x,2y4,2,,,,
2,2,2,,,,,,,,111,,,,,,为。 ,,,,,,T',5,2,1,,,,,,,,,,,122,,,,,,,,,,4,20,,,,
xx,,,,2,,,,,,x,2xy,,9.解:采用列向量表示,T将变换成,故T在处的F—导数应是变换Tyy,,,,2,,y,2xyz,,,,,,zz,,,,
2x,2y2x0420,,,,的Jacobi矩阵在处,此矩阵为在列向,,,,x,y,z,1,1,,1,,,,,,,,,,,2yz2y,2xz,2xy24,2,,,,量表示下,T在处的F—导数作为线性算子就是此常数矩阵决定的变换:,,1,1,,1
hhh,,,,,,111,,,,,,4h,2h420,,,,3122,,h!h,,h,R,右端即,故T在,,处的F—导数就1,1,,1,,,R222,,,,,,,,,,24,22h,4h,2h,,,,,,,,123,,hhh333,,,,,,
,4h2h,,12是将,,变换为的线性变换。 ,,,h,h,h123,,,,2h4h2h,,123
. 解:(1)令
,x,4y,0x,0,14,,,,特征方程为 ,,,,,,得,奇点为0,0,方程组是线性的,系数矩阵为,,,,,3x,6y,0y,0,36,,,,,,,,,1,,6,,,12,0,解得,,2,,,3,故奇点为一结点,可求得相应于的特,,2121
3,,1,征向量和相应于的特征向量,,。故系统在以上两个方向上,轨线被奇点排斥,,,31,1,,24,,
33y,xy,xy,x奇点附近轨线以直线和直线分界并且轨线与直线相切,从而可以做轨线44图如下:
x,02x,3y,02,3,,,,,得,该线性方程组系数矩阵为,特征方程为(2)令,,,,,,,奇点为0,0,,,,y,02x,3y,023,,,,
,i523,可解得特征值为,故奇点为一不稳定焦点,其附近的轨线为一些,,,,,,2,,3,,,6,01,22
发散的螺线,为确定轨线走向,考虑点(0,1)处,,x,,3,y,3,故轨线经过(0,1)处时方向指向左上方,考虑点(1,0)处,,,x,2,y,2,故轨线经过(1,0)处方向指向右上方,可知螺线是逆时针绕奇
点而行的,故得相图如下:
,(3)令,3x,3y,9,0x,1,x,1,,,,,,,3(),,得,故奇点为(1,2),作坐标变换,方程组化为,,,,,,,4x,2y,8,0y,2,y,2,4,2,,,,,,,
33,,系数矩阵为,,,,可求得特征值为,,6,,,,1,故奇点(1,2)是系统的鞍点,相应于特征值,,1212,,42,,
3(,,1)(1,1)的特征向量分别为和,奇点对这两个方向分别具有吸引性和排斥性,故可作轨线图如下: 4
2,x,xy,x,y,0x,0x,1x,1x,,1,,,,,11. 解:令 解得 ,,,,,,2y,0y,0y,,1y,,1,y,y,0,,,,,
2,,,,xx,xy,x,y,,,,,,,,f,故系统平衡点为(0,0),(1,0),(1,-1),及(-1,-1);记,则,,2,,,,yy,y,,,,,,
,,,,,x2x,y,1,x,10,11,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在(0,0),,系统的近线方程为,,,,,,,,,f,f,,,,,,,,,,,,,,,y02y,1001,,,,,,,,,,,,,,,,
,11,,矩阵的特征值为,故(0,0)为系统的鞍点; ,,,,,11,2,,01,,
,,,110,,,,,,,,在(1,0),,,,,特征值为,系统的近线方程为, (1,0)为一,,,,1,,,,f,,12,,,,,,001,,,,,,,,,,,
,,,,,120,,,,,2,个排斥的不稳定的结心;在(1,-1),,,,,,,,,系统在 (1,-1)的近线方程为,f,,,,,,,,,10,1,,,,,,,,,,,,
,,,,1,22,,,,,,,2,2,,,(1,-1)为系统的鞍点。在(-1,-1),,,,,系统在(-1,-1)的近线方程为,,,,,f,,,,,,,,,10,1,,,,,,,,,,,,
(-1,-1)为系统的一个稳定的结点。
,x,0,,012. 解:令得及(当,,0),即当时系统只有(0,0)一个平衡点,f(x),0x,,,4
2当,,,,0,,0时,系统有三个平衡点。,当时,故0是不稳定的平衡f(0),,,0f(x),,,48x,,
,,,,,,,,,,点;,,,f,,2,,0f,,,2,,0,,0,故都是稳定的平衡点;当,,f(0),,,0,,,,,,,44,,,,
是稳定的平衡点;当,,,0时,,是系统的中心,故可得分叉图如下: f(0),0,
22,,x,,,,,4(x,y)x,2y, (x,y13.解:系统可写为(*),可知(0,0)是系统的平衡点,又若),22,,,,y,2x,,,4(x,y)y,
22,,,,,4(x,y)x,2y,0,是系统的平衡点,由方程组(x,y),(0,0)的系数矩阵行列式不为0得出,,22,,,2x,,,4(x,y)y,0,
,,2x,x,y,故(0,0)是系统唯一的平衡点。对,,,R,在(0,0)处系统有近似线性方程,其系数,,2,y,x,y,矩阵有特征值为,,0,,0,,0,,2i,故时,(0,0)为系统的稳定焦点,时,(0,0)为系统的中心,
,x(t),,2y(t),,22,,,,x(t),y(t),,(,,0)及,,4y(t),2x(t),时,(0,0)为系统的不稳定焦点;由(*)又可见,满足,,,(),cos2xtt,2,,,的解x(t),y(t)是原系统的在,,0时的周期解,可得一解:,其轨道是xy,,,0,,,,(),sin2ytt,2,
平面上中心在(0,0)的园周,随着从0变化为,这些园周形成空间中的一个旋转抛物面:,,,xy,
22,,0(x,y,,),(0,0,0),故系统在处于原点(0,0)分叉出周期轨道,分叉点为,系统 ,,,4(x,y)
的分叉为一超临界Hopf分叉,分叉图如下:
2214.证明:,,故可得到,也x,,,,G(x),GG(x),G(x),xG(x),GG(x),G(x),x110001101
ddn22,,,,Gx,Gx是一维离散系统的周期2点。从而。 ,,G01dxdx15. 解:(1)对于,,(0 0 … 0 1 1 …)(共 ,,,0,存在q,0101?,l,n+1个0),,,。 dq,l,,
,, (2)证明:设t,0011?,设,,是周期轨道 s,sss?123
1
,,存在一点s,使得 ,,,,dq,s,,,设k,log,1,即q,s,s,s,?,s,s,s,?,s2023k022
,,,,dists,,,,。同理,,,,distq,t,,,所以有 q,t,t,t,?,t,t,t,?t2012k01k
,,,,。 q,s,s,s?,,s,t,t,t?,,t使得,distt,,,,012k012k