DOC-成都七中高二上期数学期中考试题(理)

过程或演算步骤( 16((本题满分12分) (1)如图, ABC在平面 外,AB? =P,BC? =Q,AC? =R,求证:P,Q,R三点共线. (2)如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点, 且EH与FG相交于点K. 求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点. 17((本题满分12分) 1 如图，四边形ABCD为正方形，PD?平面ABCD，PD?QA, QA,AB2 (1)证明:平面PQC?平面DCQ; (2)求二面角D—PQ—C的余弦值. 18((本小题满分12分) 如图，直四棱柱ABCD,A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，其中AB,2， BD,BC,1， AA1,2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点( (1)求异面直线AD1与BE所成角的正切值; (2)当DF为何值时，EF与BC1所成的角为90?, 19((本小题满分13分) 如图,AA1、BB1为圆柱OO1的母线,BC是底面圆O的直径,D、E分别是AA1、CB1的中点, DE?平面CBB1. (1) 证明:DE?平面ABC; (2)求四棱锥C—ABB1A1与圆柱OO1的体积比; (3)若BB1=BC,求直线CA1与平面BB1C所成角的正弦值. 3 20((本小题满分13分) 如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B?底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60? 的 角,AA1=2.底面ABC是边长为2的正三角形,其重心为G点,E是线段BC1上一点, 1 且BE=BC1. 3 (1)求证:GE?侧面AA1B1B; (2)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值; (3)求点B到平面B1GE的距离. 21((本小题满分13分) 如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜 边，且AD,3，BD,CD,1，另一个侧面ABC是正三角形. (2)求二面角B—AC—D的余弦值; (3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与平面BCD成30?角, 若存在，确定点E的位置;若不存在，说明理由. (1)当正视图方向与向量CD的方向相同时，画出三棱锥A—BCD的三视图;(要求标出尺寸) 成都七中2013-2014学年度(上)期中考试试题 高 二 数 学(理科)参考答案 一、选择题:(每小题5分)1-5C B D C A 6-10BBCB A 二、填空题:(每小题5分)11. 12. 8 13. -1 14. 4 15. 2 3 三(解答题: 16((1)证明:因为 AB P，AB 平面ABC， 所以P 平面ABC，P ，所以P在平面ABC与平面 的交线上. 同理可证，Q和R均在这条交线上，所以P，Q，R三点共线. 提示:直线EH和FG相交于点K;由点K EH，EH 平面ABD，得K 平面ABD (2) 由于FG 平面BCD，而K FG，所以K 平面BCD，平面ABD 平面BCD=BD， ( 每小问各6分) 因此，点K 直线BD，三条直线交于同一点 17((1)证明:如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，以AD、DP、DC所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz. ?? 依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则DQ,(1,1,0)，DC,(0,0,1)， ????? PQ,(1，,1,0).所以PQ?DQ,0，PQ?DC,0， 即PQ?DQ，PQ?DC. 又DQ?DC,D，所以PQ?平面DCQ. 又PQ?平面PQC， 所以平面PQC?平面DCQ. 6 (2) CQD为二面角的平面角余弦值为( 每小问各6分) 3 18(( 每小问各6分) 解析:1:(1)连接EC1.在直四棱柱ABCD,A1B1C1D1中，AD1?BC1， 则?EBC1为异面直线AD1与BE所成的角( 又底面ABCD?侧面DCC1D1 BD,BC ?BE?侧面DCCD?BE?EC. ?BE?CD E为CD的中点 11 1 在Rt?BEC1中，BE,BC,EC, 所以tan ?EBC1, EC1 3. EB 232，EC1,CC1，CE, 22 1 (2)当DF,时，EF与BC1所成的角为9 0?. 4 由(1)知，BE?侧面DCC1D1?BE?EF.又DE,EC, 14 2 ，CC1,AA1,2. 2 221DF2DE2 当DF,时，因为,, 4CE424CC12 2 所以?DEF??CC1E，所以?DEF，?CEC1,90?， 所以?FEC1,90?，即FE?EC1.又EB?EC1,E，所以EF?平面BEC1， 所以EF?BC1，即EF与BC1所成的角等于90?. 222 方法2:由BC，BD,DC可知BD?BC，分别以BC、BD、BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B(0，0，0)，A(,1，1，0)，D(0，1，0)，D1 (0，1，2)， 1111?? C(1，0，0)，C1(1，0，2)，，0)(因为AD1,(1，0，2)，BE,(，，0)， 222212110?? 所以cos 〈AD1，BE〉,,， 210105× 2310???? 所以sin 〈AD1，BE〉,tan 〈AD1，BE〉,3， 10 即AD1与BE所成的角的正切值为3. 11?? 设F(0，1，q)，则EF, (，q)(又BC1,(1，0，2)， 22 111?? 由EF?BC1,(,)×1，0×，q?2,0，得q, 224 1 即DF,EF?BC1. 4 19((1)如图,连接EO、OA. E、O分别为CB1、BC的中点, EO是 BB1C 的中位线, EO//BB1且EO 1 BB1. 2 1 BB1 EO, DA//EO且2 又DA//BB1,AA1 BB1,故DA DA EO, 四边形AOED是平行四边形,即DE//OA, 又DE 平面ABC,OA 平面ABC, DE//平面ABC. ……3分 (2)如图,连接 CA.由题知DE 平面CBB1,且由(1)知DE//OA, AO 平面CBB1, AO BC, AC AB . BC 是底面圆O的直径, CA AB.又AA1是圆柱的母线, AA1 平面ABC, AA1 CA,又AA1 AB A, CA 平面AA1B1B, 即CA为四棱锥C,ABB1A1的高. 1 设圆柱高为h,底面半径为r, 则V圆柱= r2h,VC,ABBA h 11 3 VC,ABB1A1:V圆柱 , , 22 hr, 3 22hr 2. …… 5分 r2h3 (3)如图,作过C的母线CC1,连接B1C1,则B 1C 1是上底面圆O1的直径,连接A1O1,则 AO11//AO,又AO 平面CBB1C1, A1O1 平面CBB1C1,连接CO1,则 ACO11为直线CA1与平面BB1C所成的角 . AC1 , 在Rt AO中,sin ACO A1O1 ,AO11C11 r11 A1C 直线CA1与平面BB1 C…… 5分 20(解法1:(1)延长B1E交BC于点F, B1EC1??FEB,BE=?BF= 1 EC1, 2 11 B1C1=BC, 从而点F为BC的中点. 22 ?G为?ABC的重心,?A、G、F三点共线.且FG FE 1, GE//AB1, FAFB13又GE 侧面AA1B1B,?GE//侧面AA1B1B. …… 4分 (2)在侧面AA1B1B内,过B1作B1H?AB,垂足为H,?侧面AA1B1B?底面ABC, ?B1H?底面ABC.又侧棱AA1与底面ABC成60?的 角,AA1=2,??B1BH=60?,BH=1,B1H=3. 在底面ABC内,过H作HT?AF,垂足为T,连B1T,由三垂线定理有B1T?AF, 又平面B1CE与底面ABC的交线为AF,??B1TH为所求二面角的平面角. ?AH=AB+BH=3,?HAT=30?,?HT=AHsin30 3BH .在Rt?B1HT中,tan B1TH 1 2, 2HT3 从而平面B1GE 与底面ABC…… 5分 6 (3)用等积可求得点B到平面B1GE的距离是3 …… 4分 解法2:(1)?侧面AA1B1B?底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60?的角,??A1AB=60?, 又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO?底面ABC. 以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz如图, 则A,0,,1,0,,B, 0,1,0,,C ,A1 , ,,B 10, ,C1 ,. ?G为?ABC 的重心, 1 ?G. BE BC1,?E, 3 1 . 又GE 侧面AA1B1B,?GE//侧面AA1B1B. ?CE AB1 3 ,b 0, n BE 0,1(2)设平面B1GE的法向量为n (a,b,c),则由 得 n GE 0. b 0. 可取n , 又底面ABC的一个法向量为m ,0,0,1, 设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为 , 则cos m n. |m| |n|由于 为锐角, 所以sin , 进而tan 故平面B1GE与底面ABC n ,(3) 由(2)可知平面B1GE的法向量为 ， BG ,,1,0)， 所以点B到平面B1GE的距离: BG n d …… 4分 n 21((1) 三棱锥A— BCD的三视图如右图所示: …… 3 分 (2)解设平面 ABC的法向量为n1 ,(x，y，z)， ?? 则由n1?BC知:n1?BC,,x，y,0， ?? 同理由n1?AC知:n1?AC,,x,z,0， 可取n1,(1,1，,1)， 同理，可求得平面ACD的一个法向量为 n1,(1,0，,1). n1?n21，0，16 ?cos〈n1，n2〉,,,. |n1||n2|3×23 6 即二面角B—AC—D的余弦值为3 …… 5分 ? (3)解设E(x，y，z)是线段AC上一点，则x,z>0，y,1，所以DE, (x,1，x)，设平面BCD ? 的一个法向量为n,(0,0,1)，要使ED与平面BCD成30?角，由图可知 DE与n的夹角为60?， ?DE?n1?2 所以cos〈DE，n〉,,cos60?,，所以2x,1，2x， ?2|DE||n|2 ，所以CE2x,1. 2 故线段AC上存在一点E，使ED与平面BCD成30?角， 且当CE,1时，ED与平面BCD成30?角. …… 5分 解得x, 3