认证考试正余弦定理教案

认证考试正余弦定理 正弦定理和余弦定理 安勤辉 一. 教学目标: 1知识与技能:认识正弦、余弦定理，了解三角形中的边与角的关系 2过程与:通过具体的探究活动，了解正弦、余弦定理的内容，并从具体的实例掌握正弦、余弦定理的应用 情感态度与价值观:通过对实例的探究，体会到三角形的和谐美，学会稳定性的重要 二. 教学重、难点: 1. 重点: 正弦、余弦定理应用以及公式的变形 2. 难点: 运用正、余弦定理解决有关斜三角形问。 知 识 梳 理 1(正弦定理和余弦定理 在?ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 222a,b，c,2bccos A abc,,,2R sin Asin Bsin C222内容 b,a，c,2accos B (R为?ABC外接圆半径) 222 c,a，b,2abcos C 222b，c,acos A,; 2bc(1)a,2Rsin A，b,2Rsin B，c,2Rsin C; 222abca，c,b(2)sin A,，sin B,，sin C,; cos B,; 常见变形 2R2R2R2ac 222a(3)a?b?c,sin A?sin B?sin C ，b,ccos C, 2ab2.三角形中常用的面积公式 1(1)S,ah(h示边a上的高)( 2 111(2)S,bcsin A,absin C,acsin B. 222 1(3)S,r(a，b，c)(r为?ABC内切圆半径) 2 问题1:在?ABC中，a,3，b,2，A,60?求c及B C 问题2在?ABC中,c=6 A=30? B=120?求a b及C 9问题3在?ABC中，a,5，c,4，cos A,，则b, 16 通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用; 正弦定理可以解决 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 余弦定理可以解决 (1)已知三边，求三个角; (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三” 知三中必须要有一边 应用举例 【例1】 (1)(2013?湖南卷)在锐角?ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B,3b，则角A等于 ( )( ππππA. B. C. D. 34612 (2)(2014?杭州模拟)在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a,1，c,42，B,45?，则sin C,______. 解析 (1)在?ABC中～由正弦定理及已知得2sin A?sin B,3sin B～ ?B为?ABC的内角～?sin B?0. 3?sin A,.又??ABC为锐角三角形～ 2 ππ,,,,?A?0～～?A,. ,,23 2222(2)由余弦定理～得b,a，c,2accos B,1，32,82×,25～即b,5.2 242×c?sin B24所以sin C,,,. b55 4答案 (1)A (2) 5 【训练1】 (1)在?ABC中，a,23，c,22，A,60?，则C, ( )( A(30? B(45? C(45?或135? D(60? 22(2)在?ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a,b,3bc，sin C,23sin B，则A, A(30? B(60? C(120? D(150? 2322解析 (1)由正弦定理～得,～ sin 60?sin C 2解得:sin C,～又c,a～所以C,60?～所以C,45?. 2 (2)?sin C,23sin B～由正弦定理～得c,23b～ 2222b，c,a,3bc，c,3bc，23bc3?cos A,,,,～ 2bc2bc2bc2 又A为三角形的内角～?A,30?. 答案 (1)B (2)A 规律方法 已知两角和一边～该三角形是确定的～其解是唯一的,已知两边和一边的对角～该三角形具有不唯一性～通常根据三角值的有界性和大边对大角定理进行判断( 【例2】 (2014?临沂一模)在?ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A,(2b,c)sin B，(2c,b)sin C. (1)求角A的大小; (2)若sin B，sin C,3，试判断?ABC的形状( 解 (1)由2asin A,(2b,c)sin B，(2c,b)sin C， 2222得2a,(2b,c)b，(2c,b)c，即bc,b，c,a， 222b，c,a1?cos A, ,，?A,60?.2bc2 (2)?A，B，C,180?，?B，C,180?,60?,120?. 由sin B，sin C,3，得sin B，sin(120?,B),3， ?sin B，sin 120?cos B,cos 120?sin B,3. 33?sin B，cos B,3，即sin(B，30?),1. 22 ?0?