社会福利函数

社会福利函数的存在性与唯一性 ——兼其在收入分配中的应用 作者：欧阳葵1，王国成2 2013-2-26 8:49:21 来源:数量经济技术经济研究 （1.西北大学经济管理学院；2.中国社会科学院数量经济与技术经济研究所） 【摘要】本文提出了最低正义准则，并证明了唯一满足不相关选择的独立性、序数可比性和最低正义准则的社会福利函数是罗尔斯主义，唯一满足不相关选择的独立性、匿名性、比率不可比性和最低正义准则的社会福利函数是纳什社会福利函数。在常相对风险规避个体效用函数和纳什社会福利函数假设下，如果收入分配总是最优的，那么国民收入增长意味着每个人的收入都在增长，社会福利是国民收入的严格增函数，对称性最优所得税制意味着个体税后收入和社会福利都与起征点无关。 关键词：功利主义，罗尔斯主义，纳什社会福利函数，最低正义，收入分配 中图分类号：F061.4                文献标识码：A Existence and Uniqueness of Social Welfare Function Abstract: This paper proposes the principle of minimal justice and shows that Rawlsianism is the only social welfare function satisfying independence of irrelevant alternatives, ordinal comparability, and minimal justice, and Nash social welfare function is the only social welfare function satisfying independence of irrelevant alternatives, anonymity, ratio-scale non-comparability, and minimal justice. Furthermore, under the assumption of constant-relative-risk-aversion utility function and Nash social welfare function, if the income distribution is always optimal, then the increase of national income necessarily implies the increase of everyone’s income, social welfare is strictly increasing in national income, and under optimal symmetrical taxation, tax-free threshold does not affect after-tax income and social welfare. Keywords: Utilitarian, Rawlsianism； Nash social welfare function, Minimal Justice, Income distribution 引言 简单地说，改革可视为从一系列可行配置中选择一个社会最优配置的过程。因此，改革需要一个社会最优的标准。这个由民主或非民主程序决定的标准相当于一个社会福利函数，如何改革以及如何评价改革就可以社会福利最大化为标准。 遗憾的是，这种社会最优的标准在一些非常一般的假设下居然是不存在的。一个被称为“阿罗不可能定理”（Arrow，1950，1951，1963）的著名结论认为，如果备选至少有三个，那么在无限制的定义域下，若社会福利函数满足集体理性、弱帕累托准则和不相关选择的独立性，则其必然满足独裁性。这一结论使得当代经济学家们在社会选择问上似乎显得极为悲观。 [2]但是另一方面，经济学家们在实践中却又频繁地使用功利主义社会福利函数。这一矛盾似乎反映了纯序数主义的尴尬处境：一方面，其在消费者行为理论上取得了压倒性的胜利；另一方面，其在福利经济学之路上却步履维艰，很难超越“帕累托最优”。 值得注意的是，由阿玛蒂亚·森〈Sen，1969、1970〉提出帕累托扩展规则似乎可以一般地解决阿罗不可能定理所带来的难题。帕累托扩展规则意味着每个人对于社会决策都具有否决权，从而排除了独裁的可能性。事实上，若社会偏好满足完备性和拟传递性，则帕累托扩展规则是唯一满足帕累托准则、帕累托无差异准则、不相关选择的独立性和匿名性的社会决策机制（Sen. 1970； Pollak，1979）。然而，这一规则对于社会实践而言似乎太弱了：一方面，他放松了社会偏好的理性假设；另一方面，他依然无法超越帕累准则，而仅仅依靠帕累托准则可能会导致很多令人厌恶的结果，例如一些人非常奢侈而另一些人饥寒交迫的经济也可以是帕累托最优。 阿罗不可能定理和帕累托扩展规则都仅仅依赖于偏好的序数性质，但在很多情况下，社会选择问题也可能依赖于偏好的基数性质，即依赖于偏好的强度。例如，如果某甲强烈地希望社会选择X而非Y，某乙微弱地希望社会选择y而非x，，那么根据帕累托扩展规则，社会对于x与y 应当是无差异的。对此，如果认为社会应该选择x，就至少面临两个问题：一方面，所谓的“强烈”和“微弱”如何反应个人偏好的强度，必须给出清晰的定义；另一方面，若不允许人机比较，仅仅考虑偏好的基数性质依然无法改变阿罗不可能定理的结论（Sen,1970;D,Aspremont和Gevers,1997）。因此，人机比较将成为问题的关键。由于人际比较本质上必然涉及社会福利的价值判读，从而很自然的问题是：能否由一些合理的价值判断标准推导出一个特定的形式完全确定的社会福利函数（Harsanyi,1955；Kemp和Ng，1976）？在人际比较中，社会选择所牵涉的最具代性的社会福利评价的标准主要有三类:功利主义(Bentham，1789)罗斯主义（Rawls,1971）和纳什社会福利函数（Nash,1950）。考虑如表1所示的二人分配问题，其中x、y、z代表三种可供选择的社会状态，表1中数字表示甲和乙两人的效用。 表1 成员 X Y Z 甲 100 80 60 乙 30 40 50         在表1中，甲严格偏好x胜过y，严格偏好y胜过Z;乙严格偏好z胜过y，严格偏好y 胜过x。根据帕累托扩展规则，这三种社会状态是无差异的。此外，根据功利主义，应当选择X;根据罗尔斯主义，应当选择Z;根据纳什社会福利函数，则应当选择y。由此可见，纳什社会福利函数可视为功利主义与罗尔斯主义之间的折中o为了从这三种不同的标准中选择一个最佳标准，我们可以详尽地考察其各自的公理化特征，即充分地考察各种标准所蕴涵的伦理假设。 然而，即使允许某种程度上的人际比较，我们也依然会面临一个本质上的难题，即人际比较需要极为丰富的效用信息。解决此难题的一种方法是考虑从个人效用函数组合空间(包括所有逻辑上可能的个人效用函数组合)对应到社会偏好空间(包含所有理性的社会福利排序)的社会福利泛函(Sen，1970、1974、1977; D'Aspremont和Gevers,1977; Roberts，1980)。也就是说，一个社会福利泛函规则就是针对任意一个可能的个人效用函数组合都给出一个相应的社会福利排序。现在，问题归结到何种社会福利泛函规则才是合理的。最基本的是社会福利泛函应当具有某种不变性:对社会福利函数中的个人效用函数进行某些形式变换不会改变社会排序结果。这种不变性的要求主要是出于对效用信息的考虑。如果要求社会福利泛函对于个人效用的任意正单调变换都具有不变性(即序数不可比性) ，则会回到阿罗不可能定理的结论。更为遗憾的是，即使只要求社会福利函数对于个人效用的任意正线性变换具有不变性(即基数不可比性) ，我们依然 无法改变阿罗不可能定理的结论。 如果可以适当地放松不可比性要求，则社会福利泛函的存在性就变得极为丰富了。例如，罗尔斯主义满足序数可比性，功利主义满足基数单位可比性，纳什社会福利则满足比率不可比性。事实上，弱帕累托准则、匿名性和基数单位可比性一起充分刻画了功利主义 (Milnor，1954; D'Aspremont和Gevers，1977)。但是，功利主义有一个重要的缺点，即不满足本文所提出的"最低正义"准则，而罗尔斯主义和纳什社会福利函数却都满足最低正义准则。直观地说，最低正义准则要求无论何时社会都应当避免让任何一个人陷入一无所有的境地。根据这一准则，本文证明了;弱帕累托准则、序数可比性和最低正义是罗尔斯主义的充分必要条件，弱帕累托准则、匿名性、比率不可比性和最低正义准则是纳什社会福利函数的充分必要条件。 不难理解，一旦选择了适当的社会福利函数，即可将其用于最优收入分配问题。然而，正如阿玛蒂亚.森*（Sen,1973）所指出，由于传统的帕累托福利经济学回避了效用的人际比较，故其无法对收入不平等问题做出任何有用的判断。也许正是由于这个原因，才导致收入分配的研究主要集中于收入分布的各项统计指标（Dutta,2002），例如基尼系数和泰尔熵指数等。但是，不同的统计指标，其对于收入分布的评价结果可能是相互矛盾的（欧阳葵，2010）。因此，如果只关心各项统计指标的计算而忽略各指标所隐含的社会福利函数，那么我们对于收入分配的认识就很有可能走入歧途。基尼系数等收入不平等指标只能体现收入分布的平均程度，却无法对各种平均程度给出确切的社会福利评级，除非评价者是一个纯粹的“平均主义者”。 Dalton（1920）曾指出，收入分配和社会福利之间存在紧密联系;当其它条件不变时，人们大都会偏好更加平等的收入分布胜于更加不平等的收入分布。Atkinson(1970)也明确指出，任何收入不平的测度都一定存在与之相应哦社会福利函数。因此，对于不同收入分布指标的选择，实质上就是对于不同社会福利函数的选择（欧阳葵，2011）。在既定的总国民收入（或平均收入）下，最优收入分配不过就是使得社会福利最大化的收入分配。不过，传统上求解最优收入分配问题一般具有两个特征;第一、社会福利函数几乎都选择了功利主义；第二、假设个体关于收入的效用差异仅仅取决于收入水平。本文利用纳什社会福利函数和具有异质性相对风险规避度的个体效用函数，简单探讨了总收入既定情形下的最优收入分配和最优所得说问题。 一、社会福利泛函的不可能定理 假设社会成员集为有限集N={1，…，n}，备择社会状态集为x，且n≧2，|x|≧3。偏好关系为定义在笛卡尔空间x2=X* X上的任意子集R。对于x、y∈X,若（x，y）∈R,则称“x至少与y一样好”；若（x，y）∈R且（y，x） R，则称“严格偏好x胜过y”；若（x，y）∈R且（y，x）∈R则称“x与y无差异”。若对于任意x、y∈X，要么（x，y）∈R，要么（y，x）∈R，要么（x，y）∈R且（y，x）∈R，则称偏好关系R满足完备性。如果对于任意x、y、z∈X，若（x，y）∈R且（y，x）∈R，则（x，z）∈R，那么称R满足传递性。满足完备性和传递性的偏好关系被称为理性偏好。 对于任意A ,称R|A={（x，y）∈R且x∈A且y∈A}为偏好R在A上的限制。设定义在x上的所有理性偏好关系哦集合为R。对于任意i∈N，Ri∈R表示参与人i的偏好。对于任意D Rn，我们称函数F:D→R为一个社会福利函数。对于任意个体偏好组合R=（Ri，…，Rn）∈D,记F(R)=FR。对于任意一个社会福利函数F: D→R，考虑如下各种性质： 无限制定义域：D=Rn。 不相关选择的独立性：?R、S∈D，?x，y∈x，若R|{x，y}=S|{x，y}，则FR|{x，y}=FR|{x，y}。 弱帕累托准则：?R∈D，?x、y∈X，若?i∈N，（x，y）∈Ri但（y,x） Ri，则(x,y) ∈FR。 若独裁性：彐i∈N，使得?R∈D，?x、y∈X，若（x，y）∈Ri但（y,x） Ri则(x,y) ∈FR但（y,x） FR. 阿罗不可能定理（Arrow,1950、1951、1963）：如果一个社会福利函数F:Rn→R满足不相关选择的独立性和弱帕累托准则，则其必定满足弱独裁性。 当X具备某个拓扑结构时，若对于任意x∈X，集合{y∈X|(y,x) ∈R}和{y∈X|(x,y) ∈R}都是x上的闭集，则称R具有连续性。我们称偏好R可由效用函数U:X→R，当且仅当对于任意x、y∈X，(x,y) ∈R? u(x)≧u(y)。在连续函数假设下，任何理性偏好都一定可由某个效用函数表示。设u（x）=Rx表示定义在X上的所有效用函数的集合，u(x)n表示定义在x上的所有效用函数组合的集合。对于任意D u(x)n，我们称函数W：D→u（x）为一个社会福利泛函。对于任意u=(u1…,un) ∈D，记W(u)=Wu。对于任意一个社会福利函数W：D→u（x），考虑如下各种性质： 无限制定义域*：D=u(x)n. 不相关选择的独立性*:?u、v∈D, ?x、y∈X,若u(x)=v(x),u(y)=v（y），则Wu(x)≧Wu（y）当且仅当Wv(x)≧Wv（y） 弱帕累托准则*：?U∈D，?x、y∈X，若?i∈N，ui(x) ui(y),则 Wu(x) Wu（y）。 弱独裁性*：彐i∈N，使得?u∈D, ?x、y∈X,若ui(x) ui(y)则Wu(x) Wu（y）。 根据对个人效用信息的不同限制，克要求社会福利泛函分别满足如下两种不变形： 序数不可比性：?u、v∈D,若?i∈N，存在正单调变化fi：R→R使得?x∈X，ui(x)= fi（vi(x)）,则?x、y∈X，Wu(x)≧Wu（y）当且仅当Wv(x) Wv（y）. 基数不可比性：?u、v∈D，若?i∈N，存在正防射变换gi: R→R使得?x∈X，ui(x)= fi（vi(x)）=aivi(x)+βI,其中ai、βI∈R且ai ，则?x、y∈X，Wu(x)≧Wu（y）当且仅当Wv(x) Wv（y）. 。 著名的阿罗不可能定理在社会福利泛函W:D→ u（x）中的表现形式下： 社会福利函数的不可能定理1（Arrow,1950、1951、1963；Sen，1970）;如果社会福利泛函W:u(x)n→u(x)满足不相关选择的独立性*、弱帕累托准则*和序数不可比性，则其必定满足弱独裁性*。 若上述定理中的序数不可比性可放松为基数不可比性，同样可得到如下不可能结论： 社会福利泛函的不可能定理2(Sen，1970；D’Aspremout和Gevers,1977)；如果一个社会福利泛函W: u(x)n→u(x)满足不相关选择的独立性*、弱帕累托准则*和基数可比性，则其必定满足弱独裁性*。 二、功利主义、罗尔斯主义与纳什社会福利函数 对于任意r∈Rn,必定存在u∈u(x)n和x∈X使得u(x)=r;同样，对于任意u∈u(x)n和x∈X，必定存在r∈Rn使得u(x)=r。对于社会福利泛函W: u(x)n→u(x)，如果存在函数W; Rn→R使得对于任意r、s∈Rn任意x、y∈X和任意u∈u(x)n,有： 则称社会福利泛函W: u(x)n→u(x)满足标准福利主义，称W: Rn→R为与W：u(x)n→u(x)所对应的柏格森—萨缪尔森社会福利函数（Bergson，1938：Samuelson,1947）。满足标准福利主义的关键条件是如下的帕累托无差异准则。 帕累托无差异准则：?u∈D，?x、y∈X，若?i∈N，ui(x) ui(y)，则Wu(x)=Wu（y）。 引理1（Sen,1970;D’Aspremout和Geverse，1977）一个社会福利泛函w: u(x)n→u(x)满足标准福利主义，当且仅当其满足不相关选择的独立性*和帕累托无差异准则。 在标准福利主义框架下，只需考虑柏格森—萨缪尔森社会福利函数。进一步。假设所有效用函数都具有非负实数值，即只考虑柏格森—萨缪尔森社会福利函数W:R+n→R+。最常见的三种柏格森—萨缪尔森社会福利函数为功利主义、罗尔斯主义和纳什社会福利函数。 功利主义：对于柏格森—萨缪尔森社会福利函数W: R+n→R+，?r、s∈R+n，W(r)≧W(s)当且仅当 。 罗尔斯主义：对于柏格森—萨缪尔森社会福利函数W: R+n→R+，?r、s∈R+n，W(r)≧W(s)当且仅当 。 纳什社会福利函数：对于柏格森—萨缪尔森社会福利函数W: R+n→R+，?r、s∈R+n，W(r)≧W(s)当且仅当 . 这三种社会福利函数都满足如下两种性质： 弱帕累托准则**：对于柏格森—萨缪尔森社会福利函数W: R+n→R+，?r、s∈R+n，若?i∈N， ，则W(r)>W(s)。 匿名性：对于柏格森—萨缪尔森社会福利函数W: R+n→R+，?r、s∈R+n，若存在一一对应π：N→N使得?i∈N， ,则W(r)=W(s)。 不难看出，功利主义还满足如下性质： 基数单位可比性：对于柏格森—萨缪尔森社会福利函数W: R+n→R+，?r、s、a、b∈R+n，若?i∈N，存在正仿射变换fi：R+→R+使得ai=fi（ri），bi=fi（si）,则W(r)≧W(s)当且仅当W(a) ≧W(b)。 定理1（Milnor，1954；D’Aspremout和Gevers,1977）一个柏格森—萨缪尔森社会福利函数W: R+n→R+，满足功利主义，当且仅当其满足弱帕累托准则**，匿名性和基数可比性。 然而，功利主义不满足如下原则： 最低主义 ; 对于柏格森—萨缪尔森社会福利函数W: R+n→R+，?r、s∈R+n，若?i、j.∈N，使得 ，则W(r)=W(s)。 直观地说，最低主义原则要求社会在任何时候都应当避免让任何一个人处于最糟糕的境地。容易看到，罗尔斯主义和纳什社会福利函数都满足最低正义原则。 序数可比性：对于柏格森—萨缪尔森社会福利函数W: R+n→R+，?r、s、a、b∈R+n，若存在正单调变换R+→R+，使得?i∈N ai=f(ri)，bi=f(si)则W(r) ≧ W(s),当且仅当W(a) ≧ W(b)。 比率不可比性：对于柏格森—萨缪尔森社会福利函数W: R+n→R+，?r、s、a、b∈R+n，若存在正线性变换fi :R+→R+，使得ai=f(ri)=ai X ri，bi=f(si)= ai X si其中ai>0,则W(r) ≧ W(s),当且仅当W(a) ≧ W(b)。 定理2 一个柏格森—萨缪尔森社会福利函数W: R+n→R+满足罗尔斯主义，当且仅当其满足弱帕累托准则**、最低正义和序数可比性、 证明 ;一方面，证明罗尔斯主义满足弱帕累托准则**、序数可比性和最低正义。首先，?r、s∈R+n，若?i∈N ，则 ，从而有W(r) > W(s)，即满足弱帕累托准则**。其次，?r、s、a、b∈R+n，若存在正单调变换R→R，使得?i∈N ai=f(ri)，bi=f(si)那么 当且仅当 ，W(a) ≧ W(b),当且仅当W(r) ≧ W(s)，即满足序数可比性。此外，?r、s∈R+n，彐i、j∈N，使得ri=si=0,则 =0，从而W(r)=W(s)=0，即满足最低正义。 另一方面，假设柏格森—萨缪尔森社会福利函数W : R+n→R+满足弱帕累托准则**、匿名性、序数可比性和最低正义。首先，考虑任意r、s∈R+n使得 。若 =0，则由最低正义可知W(r) = W(s)。若 ，则可通过正单调变换得到a、b∈R+n，使得?i∈N，ai=ri- ,bi=si- .因此， =0,由最低正义可知W(a)=W(b)。由于若 ，根据序数可比性可知W(a) ≧ W(b),当且仅当W(r) ≧ W(s)，从而有W(r) = W(s)。 其次，考虑任意r、s∈R+n使得 。一方面，如果 ，那么由最低正义可知W(0,0，...，0)=W(s)。由弱帕累托准则**可知则通过正单调变可得到a、b∈R+n，使得?i∈N，ai=ri- ，bi=si- 。于是?i∈N，ai>0.由序数可比性可知W(a) ≧ W(b) 当且仅当W(r) ≧ W(s)。由最低正义可知W(0,0，...，0)=W(b)，再由弱帕累托准则**可知W(a) > W(b)。因此，必有W(r) > W(s)。证毕。 定理3  一个柏格森—萨缪尔森社会福利函数W : R+n→R+是纳什社会福利函数当且仅当其满足弱帕累托准则**、匿名性、最低正义和比率不可比性。 证明：一方面，我们可以证明纳什社会福利函数满足弱帕累托准则**、匿名性、比率不可比性和最低正义。首先，?r、s∈R+n，若?i∈N，ri>si,则 ，从而有W(r) > W(s)，即满足弱帕累托准则**。其次?r、s∈R+n，如果存在一一对应π：N→N，ri=sπi,则 ，从而有W(r) >=W(s)，即满足匿名性。再次，?r、s、a、b∈R+n，若?i∈N，存在正线性变换fi :R+→R+，使得 ， ,其中ai>0,那么 当且仅当 ，即W(r) ≧ W(s) 当且仅当W(a) ≧ W(b)，从而满足比率不可比性。此外，如果?r、s∈R+n，若彐i、j∈N，使得ri=si=0，则 ，从而W(r) = W(s)，即满足最低正义。 另一方面，假设柏格森—萨缪尔森社会福利函数W : R+n→R+满足弱帕累托准则**、匿名性、比率不可比性和最低正义。首先，考虑任意?r、s∈R+n使得 。如果 ，那么根据最低正义可知W(r) = W(s)。如果 ，那么可以按如下方法构造r1、s1∈R+n,使得存在一一对应π1 : N→N和т1：N→N： ,...， )                      (1) 其中 且 。根据匿名性，可知W(r)=W(r1)且W(s)=W(s1).通过正线性变换可得到r11、s11∈R+n： (2) 其中?i∈N， 。根据比率不可比性可知W(r11)≧W(s11)当且仅当W(r1)≧W(s1)，从而有W(r11)≧W(s11)当且仅当W(r) ≧ W(s)。于是， ，则同样可按如上方法构造r2、s2∈R+n，使得存在一一对应π2 : N→N和т2：N→N： )                      (3) 其中 且 。根据匿名性，可知W(r2)≧W(r11)且W(s2)≧W(s11)。通过正线性变换可得到如下r22、s22∈R+n ： (4) 其中?i∈N， 。根据比率不可比性，可知W(r22)≧W(s22)且W(r2)≧W(s2)。从而有W(r22)≧W(s22)当且仅当W(r11)≧W(s11)当且仅当W(r) ≧ W(s)。于是， .进一步，可按如上方法依次构造rk、sk∈R+n,其中k≤n，使得存在一一对应πk : N→N和тk：N→N： 其中 且 。根据匿名性，可知W(rk)=W(rk-1)(k-1))且W(sk)=W(sk-1)(k-1))。通过正线性变换可得到如下rkk、skk R+n： 其中?i∈N 。 根据比率不可比性，可知W(rkk)≧W(skk) 当且仅当W(rk)≧W(sk),从而有W(rkk)≧W(skk)当且仅当W(r（k-1）)≧W(s(k-1)),..., W(r11)≧W(s11) 当且仅当W(r) ≧ W(s)。于是， 。这样知道某个m≤n，一定有rmm=(1,1,...，1)，smm=(1,1,...，1)。于是有W(rmm)≧W(smm)当且仅当W(r（m-1）)≧W(s(m-1)),...，W(r11)≧W(s11) 当且仅当W(r) ≧ W(s)。根据匿名性，必定有) ，从而必有W(r)=W(s)。 其次，考虑?r、s∈R+n使得 。一方面，如果 ，那么根据最低正义可知 。由弱帕累托准则**可知 ，故有 。另一方面，如果 ，则可构造如下 使得 ，则由：