2019-2020学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式自我小测 新人教A版选修4-5

2019-2020学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式自我小测 新人教A版选修4-5 1．设a，b＞0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是(　　) A．P＞Q B．P≥Q C．P＜Q D．P≤Q 2．已知a，b，c都是正数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是(　　) A．大于零 B．大于或等于零 C．小于零 D．小于或等于零 3．若A＝x A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B 4．设a，b，c＞0，则式子M＝a5＋b5＋c5－a3bc－b3ac－c3ab与0的大小关系是(　　) A．M≥0 B．M≤0 C．M与0的大小关系与a，b，c的大小有关 D．不能确定 5．已知a，b，c都是正数，则 6．n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为________． 7．设a，b，c都是正实数，求证：aabbcc≥. 8．设a，b，c都是正实数，求证： 参考答案 1．B 2．解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3， 根据排序不等式，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2， 所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 3．解析：依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn, 则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序不等式，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x 答案：C 4．解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a3≥b3≥c3，且a4≥b4≥c4，则a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥a·c4＋b·a4＋c·b4. 又a3≥b3≥c3，且ab≥ac≥bc， ∴a4b＋b4c＋c4a＝a3·ab＋b3·bc＋c3·ca ≥a3bc＋b3ac＋c3ab ∴a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.∴M≥0. 答案：A 5．解析：设a≥b≥c＞0，所以 由排序不等式，知 ①＋②，得 答案： 6．解析：设0＜a1≤a2≤a3…≤an，则0＜a 答案：n 7．：不妨设a≥b≥c＞0，则lg a≥lg b≥lg c，据排序不等式，有alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c， alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c， 且alg a＋blg b＋clg c＝alg a＋blg b＋clg c， 以上三式相加整理，得 3(alg a＋blg b＋clg c)≥(a＋b＋c)(lg a＋lg b＋lg c)， 即lg (aabbcc)≥ 故aabbcc≥. 8．证明：设a≥b≥c＞0， 则 由不等式的性质，知a5≥b5≥c5. 根据排序不等式，知 又由不等式的性质，知a2≥b2≥c2， 由排序不等式，得 由不等式的传递性，知 ∴原不等式成立．