湖南省中考数学总复习方程（组）与不等式（组）课时08一元二次方程及其应用课件

第二单元 方程(组)与不等式(组) 课时 08 一元二次方程及其应用 课前考点过关 中考对接 命题点一　列一元二次方程 1. [2018·湘潭] 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图8-1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长. 如果设AC=x,那么可列方程为　　　　　　　　.   图8-1 【答案】x2+32=(10-x)2 【解析】设AC=x,∵AC+AB=10,∴AB=10-x.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2. 课前考点过关 命题点二　一元二次方程根的判别式 2. [2018·张家界] 关于x的一元二次方程x2-kx+1=0 有两个相等的实数根,则k=　　　　.   【答案】±2 【解析】∵关于x的一元二次方程x2-kx+1=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-k)2-4=0.解得k=±2. 3. [2018·娄底] 关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是 (　　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】因为Δ=(k+3)2-4k=k2+2k+9=(k+1)2+8>0,所以原方程有两个不相等的实数根,故选A. 课前考点过关 命题点三　一元二次方程的根与系数的关系 4. [2018·长沙] 已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为　　　　.   课前考点过关 命题点四　一元二次方程的解法 5. [2018·益阳] 规定a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3)×3=15,若2⊗x=3,则x=　　　　.   【答案】-3或1 【解析】 ∵2⊗x=3,∴(2+x)x=3,x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1. 课前考点过关 6. [2017·湘潭] 由多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用,即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式: x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 实例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3). (1)尝试:分解因式:x2+6x+8=(x+　　)(x+　　);  (2)应用:请用上述方法解方程:x2-3x-4=0. 解:(1)2　4 (2)由x2-3x-4=0,得(x-4)(x+1)=0, 所以x-4=0或x+1=0,即x=4或x=-1. 课前考点过关 命题点五　一元二次方程的应用 7. [2018·盐城] 一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元. 为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价措施. 在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件. (1)若降价3元,则平均每天销售数量为　　　件;  (2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元? 解:(1)26. (2)设当每件商品降价x元时,该商店每天销售利润为1200元. 由题意,得(40-x)(20+2x)=1200.整理,得x2-30x+200=0.解得x1=10,x2=20. 又每件盈利不少于25元,∴x=20不合题意,舍去. 答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1200元. 课前考点过关 考点自查 考点一　一元二次方程的概念及一般形式 1. 一元二次方程定义的三个基本特征: (1)只含有①　　　　个未知数;(2)未知数的最高次数是②　　　　;(3)是整式方程.   2. 一元二次方程的一般形式是③　　　 　　　　　.   一 2 ax2+bx+c=0(a≠0) 【温馨提示】 在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中,要特别注意a≠0这个条件. 课前考点过关 考点二　一元二次方程的解法 一元二次方程一般有四种解法,四种解法对照如下: 解法 适合类型 注意事项 直接开平方法 (x±m)2=n 　当n≥0时,有解;当n<0时,无解 配方法 x2+px+q=0 　二次项系数若不为1,必须先把系数化为1,再进行配方 公式法 ax2+bx+c=0(a≠0) 　先化为一般形式,再用公式. 当b2-4ac≥0时,方程有解;当b2-4ac<0时,方程无解 因式分解法 　方程的一边为0,另一边能够分解成两个一次因式的乘积 　方程的一边必须是0,另一边可用任何方法分解因式 课前考点过关 考点三　一元二次方程根的判别式 判别式Δ=b2-4ac与方程的根的关系: (1)Δ>0⇔方程有①　　　 　　的实数根;  (2)Δ=0⇔方程有②　　 　　　的实数根;  (3)Δ<0⇔方程③　　 　　实数根;  (4)Δ≥0⇔方程有④　　　 　实数根.   两个不相等 两个相等 没有 两个 【温馨提示】 运用一元二次方程根的判别式时,要注意二次项系数a≠0这一条件. 课前考点过关 考点四　一元二次方程根的应用 应用类型 等量关系 增长(降低) 率问题 (1)增长(降低)率=增(减少)量÷基础量; (2)设a为原来的量,m为平均增长(或降低)率,n为增长(或降低)次数,b为增长(或降低)后的量,则a(1+m)n=b(或a 利率 问题 (1)本息和=本金+利息; (2)利息=本金×利率×期数 销售利 润问题 (1)利润=售出价-进货价; (2)纯利润=售出价-进货价-其他费用; (3)利润率=利润÷进货价×100% 课前考点过关 考点五　一元二次方程根与系数的关系 课前考点过关 易错警示 【失分点】 在明确一元二次方程的前提下要注意二次项系数a≠0. 已知关于x的方程(m+1)x|m-1|+mx-1=0是一元二次方程,求m的值. 解:∵关于x的方程(m+1)x|m-1|+mx-1=0是一元二次方程,∴|m-1|=2且m+1≠0,解得m=3. 课堂互动探究 探究一　一元二次方程的解 【答案】-3 【解析】把x=2代入kx2+(k2-2)x+2k+4=0,得4k+2k2-4+2k+4=0,整理得k2+3k=0,解得k1=0,k2=-3,因为k≠0,所以k的值为-3. 例1 [2018·荆门] 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2- 2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为　　　　.   [方法模型] 一元二次方程的根满足一元二次方程,注意在解题中要满足其前提,即一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0. 课堂互动探究 【答案】D 【解析】∵n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根,∴n2+mn+2n=0,∴n(n+m+2)=0, ∵n≠0,∴m+n+2=0,∴m+n=-2.故选D. 拓展 [2018·凉山州] 若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根,则m+n的值是(　　) A. 1　　　B. 2　　　C. -1　　　D. -2 课堂互动探究 探究二　列一元二次方程 例2 [2018·宁夏] 某企业2018年初获利润300万元,到2020年初利润达到507万元. 设这两年的年利润平均增长率为x,应列方程是 (　　) A. 300(1+x)=507 B. 300(1+x)2=507 C. 300(1+x)+300(1+x)2=507 D. 300+300(1+x)+300(1+x)2=507 B 课堂互动探究 拓展1 [2017·白银] 如图8-2,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2. 若设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是(　　) A. (32-2x)(20-x)=570 B. 32x+2×20x=32×20-570 C. (32-x)(20-x)=32×20-570 D. 32x+2×20x-2x2=570 A 图8-2 课堂互动探究 B 课堂互动探究 探究三　解一元二次方程 例3 [2017·滨州] 根据要求,解答下列问题. (1)解下列方程(直接写出方程的解即可): ①方程x2-2x+1=0的解为　　　　　;  ②方程x2-3x+2=0的解为　　　　　;  ③方程x2-4x+3=0的解为　　　　　;  ……　　　　　　　　　　　　 (2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想: ①方程x2-9x+8=0的解为　　　　　　;  ②关于x的方程　　　　　的解为x1=1,x2=n.   (3)请用配方法解方程x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正确性. 课堂互动探究 课堂互动探究 拓展1 [2017·舟山] 用配方法解方程x2+2x-1=0时,配方结果正确的是 (　　) A. (x+2)2=2 B. (x+1)2=2 C. (x+2)2=3 D. (x+1)2=3 B 课堂互动探究 探究四　一元二次方程根的判别式 例4 [2016·北京改编] 关于x的一元二次方程mx2+(2m+1)x+m-1=0. (1)若方程没有实数根,则m的取值范围是　　　　;  (2)若方程有两个相等的实数根,则m=　　　　;  (3)若方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是　　　　;  (4)若方程有实数根,则m的取值范围是　　　　.   写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根. 课堂互动探究 [方法模型] 利用一元二次方程根的判别式解题要点:(1)将方程化成一般形式,确定a,b,c;(2)计算Δ的值; (3)由方程的根与Δ的关系得出方程或不等式;(4)解方程或不等式(注意确保二次项系数a≠0). 课堂互动探究 拓展1 [2018·河南] 下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是 (　　) A. x2+6x+9=0 B. x2=x C. x2+3=2x D. (x-1)2+1=0 【答案】B 【解析】本题考查了用一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac来判断方程根的情况,当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根. 选项A:Δ=b2-4ac=62-4×1×9=0;选项B:先将原方程化为一般式x2-x=0,则Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×0=1>0;选项C:将原方程化为一般式x2-2x+3=0,则Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0;选项D:将原方程化为一般式x2-2x+2=0,则Δ=b2-4ac= (-2)2-4×1×2=-4<0.故选B. 课堂互动探究 拓展2 [2018·北京] 关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根. 解:(1)∵b=a+2, ∴Δ=b2-4×a×1=(a+2)2-4a=a2+4>0. ∴原方程有两个不相等的实数根. (2)答案不唯一,如当a=1,b=2时,原方程为x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1. 课堂互动探究 探究五　一元二次方程根与系数的关系 例5 关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)如果方程的两实根为x1,x2,且x21x22=7,求m的值. 解:(1)证明:∵x2-(m-3)x-m=0, ∴Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8>0, ∴方程有两个不相等的实数根. (2)∵x2-(m-3)x-m=0,方程的两实根为x1,x2,且x21x22=7,∴(x1+x2)2-3x1x2=7, ∴(m-3)2-3×(-m)=7,解得m1=1,m2=2.故m的值是1或2. 课堂互动探究 拓展1 [2017·呼和浩特] 关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(　　) A. 2 B. 0 C. 1 D. 2或0 B 拓展2 [2018·内江] 已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1,x2=2,则方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为　　　　.   1 课堂互动探究 拓展3 [2018·鄂州] 已知关于x的方程x2-(3k+3)x+2k2+4k+2=0. (1)求证:无论k为何值,原方程都有实数根; (2)若该方程的两实数根x1,x2为一菱形的两条对角线之长,且x1x2+2x1+2x2=36,求k的值及该菱形的面积. 课堂互动探究 探究六　一元二次方程的应用 例6 [2018·沂水二模] 某快餐店试销某种套餐,每份套餐的成本为5元,该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本). 试销一段时间后发现,若每份套餐售价不超过10元,每天可销售400份;若每份套餐售价超过10元,每提高1元,每天的销售量就减少40份. 为了便于结算,每份套餐的售价x(元)取整数,用y(元)示该店每天的利润. (1)若每份套餐售价不超过10元, ①试写出y与x的函数关系式; ②若要使该店每天的利润不少于800元,则每份套餐的售价应为多少元? (2)该店把每份套餐的售价提高到10元以上,每天的利润能否达到1560元?若不能,请说明理由;若能,每份套餐的售价应定为多少元时,既能保证利润又能吸引顾客? 课堂互动探究 解:(1)①y=400x-2600(5-且m≠0 (4)m≥-且m≠0. 取m=1,则原方程为x2+3x=0, 即x(x+3)=0, ∴x1=0,x2=-3.(m取其他符合题意的值也可以) [方法模型] 应用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系时,一定要在方程有两个实数根的前提下才能用,即 解:(1)证明:由题意可知,a=1,b=-(3k+3),c=2k2+4k+2,Δ=b2-4ac=-4=9k2+18k+9-8k2-16k-8=k2+2k+1=(k+1)2,∵(k+1)2≥0,∴Δ≥0,∴无论k为何值,原方程都有实数根. (2)由根与系数的关系可知x1+x2=-=-=3k+3,x1x2==2k2+4k+2, x1x2+2x1+2x2=36,x1x2+2=36,2k2+4k+2+2=36,化简得k2+5k-14=0,(k-2)(k+7)=0,解得k=2或k=-7.∵x1,x2为一菱形的两条对角线之长,且x1+x2=3k+3,∴3k+3>0,∴k=-7舍去,∴k=2,∴该菱形的面积为x1x2=(2k2+4k+2)==9. [方法模型] 一元二次方程的应用主要体现在:(1)求增长(降低)率,适合模型:a(1±x)2=b;(2)关于几何图形面积问题,利用面积和与差或不同的计算方法求解;(3)增加(减少)问题(如例6);(4)握手问题:=a等问题. 【答案】81 【解析】设个位上的数为x,则十位上的数为x+7,依题意,得(x+7+x)2=10(x+7)+x,整理得4x2+17x-21=0,解得x1=1,x2=-(舍去),所以x=1,x+7=8,所以这个两位数是81. 【答案】6 【解析】∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16 cm,AD为BC边上的高,∴AD=BD=CD=8 cm,又∵AP=tcm,∴S1=AP·BD=×t×8=8t(cm2),PD=8-t(cm).∵PE∥BC,∴△APE∽△ADC,∴=, ∴PE=AP=t(cm2),∴S2=PD·PE=(8-t)·t.∵S1=2S2,∴8t=2(8-t)·t,解得t=0(舍去)或t=6.