2019-2020学年高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算教案 新人教B版必修1

2019-2020学年高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算 新人教B版必修1 教学　　　　　 我们在前面的学习过程中，已学习了指数函数的概念和性质，从本节开始我们学习对数及其运算．使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用． 教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与欣赏”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持． 三维目标　　　　　 1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系，理解和掌握对数的性质． 2．掌握对数式与指数式的关系，通过实例推导对数的运算性质． 3．准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能，运用对数运算性质解决有关问题． 4．通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质，并归纳整理本节所学的知识． 5．学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性． 重点难点　　　　　 教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用． 教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用． 课时安排　　　　　 3课时 第1课时　对数概念 导入新课　　　　　 思路1.(1)庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭．①取4次，还有多长？②取多少次，还有0.125尺？ (2)假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 抽象出：①( ②(1＋8%)x＝2x＝？都是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕． 思路2.我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕． 推进新课　　　　　 活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨． 对问题①，回忆计算机作函数图象的方法，抓住关键点． 对问题②，图象类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标． 对问题③，定义一种新的运算． 对问题④，借助③，类比到一般的情形． 讨论结果：①如下图． ②在所作的图象上，取点P，测出点P的坐标，移动点P，使其纵坐标分别接近18、20、30，观察这时的横坐标，大约分别为32.72、43.29、84.04，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年，我国人口分别约为18亿、20亿、30亿． ③ ④一般性的结论就是对数的定义： 一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即 其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”． 实质上，上述对数表达式，不过是指数式N＝ab的另一种表达形式． 由此得到对数和指数幂之间的关系： a N b 指数式ab＝N 底数 幂 指数 对数式logaN＝b 对数的底数 真数 对数 例如：42＝162＝log416；102＝1002＝log10100；＝2 ①为什么在对数定义中规定a>0，且a≠1？ ②根据对数定义求loga1和logaaa>0，且a≠1的值. ③负数与零有没有对数？ ④alogaN＝N与logaab＝ba>0，且a≠1是否成立？ ⑤什么是常用对数？ 讨论结果：①这是因为若a＜0，则N为某些值时，b不存在，如log(－2) 若a＝0，N不为0时，b不存在，如log03，N为0时，b可为任意正数，是不唯一的，即log00有无数个值； 若a＝1，N不为1时，b不存在，如log12，N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即log11有无数个值．综之，就规定了：a＞0，且a≠1. ②loga1＝0，logaa＝1. 因为对任意a＞0，且a≠1，都有a0＝1，所以loga1＝0. 同样易知：logaa＝1.即1的对数等于0，底的对数等于1. ③因为底数a＞0，且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R，ab＞0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数． ④因为ab＝N，所以b＝logaN，ab＝alogaN＝N，即alogaN＝N. 因为ab＝ab，所以logaab＝b.故两个式子都成立．(alogaN＝N叫对数恒等式) 常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，N的常用对数log10N简记作lgN. 例如：log105简记作lg5；log103.5简记作lg3.5. 例如：loge3简记作ln3；loge10简记作ln10. 思路1 例1求log22，log21，log216，log2 解：因为21＝2，所以log22＝1； 因为20＝1，所以log21＝0； 因为24＝16，所以log216＝4； 因为2－1＝ 点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解． 变式训练 　求下列各式的值： (1)log525；(2)log 活动：学生独立解题，教师同时展示学生的做题情况，要求学生说明解答的依据，利用指数式与对数式的关系，转化为指数式求解． 解：(1)因为52＝25，所以log525＝2. (2)因为( (3)设3log310＝N，则log3N＝log310，所以N＝10，即3log310＝10. (4)因为2.51＝2.5，所以log2.52.5＝1. 例2求lg10，lg100，lg0.01. 解：因为101＝10，所以lg10＝1； 因为102＝100，所以lg100＝2； 因为10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2. 例3利用科学计算器求对数(精确到0.000 1)：lg2 001；lg0.061 8；lg0.004 5；lg396.5. 解：用科学计算器计算： 按键 显示 3.301247089 －1.209011525 －2.346787486 2.598243192 所以lg2 001≈3.301 2，lg0.061 8≈－1.209 0， lg0.004 5≈－2.346 8，lg395.6≈2.598 2. 思路2 例1以下四个命题中，属于真命题的是(　　) (1)若log5x＝3，则x＝15　(2)若log25x＝ A．(2)(3) B．(1)(3) C．(2)(4) D．(3)(4) 活动：学生观察，教师引导学生考虑对数的定义． 解析：对数式化为指数式，根据指数幂的运算性质算出结果． 对于(1)，因为log5x＝3，所以x＝53＝125，错误； 对于(2)，因为log25x＝ 对于(3)，因为logx 对于(4)，因为log5x＝－3，所以x＝5－3＝ 总之(2)(4)正确． ：C 点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 变式训练 1．将下列指数式写成对数式： (1)54＝625；(2)3－3＝ 解：(1)log5625＝4；(2)log3 2．将下列对数式写成指数式． (1)16＝－4；(2)log3243＝5；(3) 活动：学生阅读题目，独立解题，发表自己的见解，把结果用多媒体显示在屏幕上． 解：根据指数式与对数式的关系，得(1)( 例2计算： (1)log927；(2) 81；(3)log(2＋ 活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生．利用对数的定义或对数恒等式来解．求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解．另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法． 解法一：(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，所以x＝ (2)设x＝81，则( (3)令x＝log(2＋ 所以(2＋ (4)令x＝625，所以( 解法二：(1)log927＝log933＝log99 (2) 81＝( (3)log(2＋ (4) 625＝( 点评：首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据. 变式训练 　本节练习A　5. 1．把下列各题的指数式写成对数式： (1)42＝16；(2)30＝1；(3)4x＝2；(4)2x＝0.5；(5)54＝625；(6)3－2＝ 解：(1)2＝log416；(2)0＝log31；(3)x＝log42；(4)x＝log20.5；(5)4＝log5625；(6)－2＝log3 2．把下列各题的对数式写成指数式： (1)x＝log527；(2)x＝log87；(3)x＝log43；(4)x＝log7 (5)log216＝4；(6) 27＝－3；(7) x＝6；(8)logx64＝－6； (9)log2128＝7；(10)log327＝a. 解：(1)5x＝27；(2)8x＝7；(3)4x＝3；(4)7x＝ 3．求下列各式中x的值： (1)log8x＝－ 解：(1)因为log8x＝－ (2)因为logx27＝ (3)因为log2(log5x)＝1，所以log5x＝2，x＝52＝25； (4)因为log3(lgx)＝0，所以lgx＝1，即x＝101＝10. 4．(1)求log84的值； (2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值． 解：(1)设log84＝x，根据对数的定义有8x＝4，即23x＝22，所以x＝ (2)因为loga2＝m，loga3＝n，根据对数的定义有am＝2，an＝3， 所以a2m＋n＝(am)2·an＝(2)2·3＝4×3＝12. 点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幂的运算法则的应用． 对于a＞0，a≠1，下列结论正确的是(　　) (1)若M＝N，则logaM＝logaN　(2)若logaM＝logaN，则M＝N (3)若logaM2＝logaN2，则M＝N　(4)若M＝N，则logaM2＝logaN2 A．(1)(3) B．(2)(4) C．(2) D．(1)(2)(4) 活动：学生思考，讨论，交流，回答，教师及时评价． 回想对数的有关规定． 对(1)若M＝N，当M为0或负数时logaM≠logaN，因此错误； 对(2)根据对数的定义，若logaM＝logaN，则M＝N，正确； 对(3)若logaM2＝logaN2，则M＝±N，因此错误； 对(4)若M＝N＝0时，则logaM2与logaN2都不存在，因此错误． 综上，(2)正确． 答案：C 点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个． (1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数． 课本本节练习B　1、2. 本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备． [备选例题] 例1将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值． (1)＝ (4)( 解：(1) ＝ (2)x＝4化为指数式是( (3)3x＝ 因为3x＝( (4)( 因为( (5)lg0.000 1＝x化为指数式是10x＝0.000 1， 因为10x＝0.000 1＝10－4，所以x＝－4. 例2计算3log3 解：设x＝log3 所以3log3 例3计算alogab·logbc·logcN(a＞0，b＞0，c＞0，N＞0)． 解：alogab·logbc·logcN＝blogbc·logcN＝clogcN＝N. (者：路致芳) 第2课时　积、商、幂的对数 导入新课　　　　　 思路1.上节课我们学习了以下内容： 1．对数的定义． 2．指数式与对数式的互化． ab＝NlogaN＝b. 3．重要公式： (1)负数与零没有对数；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)对数恒等式alogaN＝N. 下面我们接着讲积、商、幂的对数〔教师板书课题〕． 思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则． am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn； 从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题． 推进新课　　　　　 1在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？ 2如我们知道am＝M，an＝N，am·an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？ 3在上述2的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？ 4你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述., 5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？ 6上述结论能否推广呢？,7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？ 讨论结果：(1)通过问题(2)来说明． (2)如am·an＝am＋n，设M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由对数的定义得到 M＝amm＝logaM，N＝ann＝logaN， MN＝am＋nm＋n＝logaMN， loga(MN)＝logaM＋logaN. 因此m＋n可以用对数式表示． (3)令M＝am，N＝an，则 又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN.所以logaM－logaN＝m－n＝loga 即loga 设M＝am，则Mn＝(am)n＝amn.由对数的定义， 所以logaM＝m，logaMn＝mn. 所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM. 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有 loga(MN)＝logaM＋logaN，① loga logaMn＝nlogaM(n∈R)．③ (4)以上三个性质可以归纳为： 性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和； 性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数． (5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0. (6)性质①可以推广到n个数的情形： 即loga(M1M2M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1、M2、M3、…、Mn均大于0)． (7)纵观这三个性质我们知道， 性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算． 性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算． 性质③从左往右仍然是降级运算． 利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值． 思路1 例1用logax，logay，logaz表示下列各式： (1)loga 解：(1)loga (2)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay； (3)loga (4)loga 点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算. 变式训练 1．用logax，logay，logaz表示下列各式： (1)loga(x2yz)；(2)loga 活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正． 利用对数的运算性质，把整体分解成部分． 对(1)可先利用性质1，转化为两数对数的和，再利用性质3，把幂的对数转化为两数对数的积． 对(2)(3)可先利用性质2，转化为两数对数的差，再利用性质1，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质3，转化为幂指数与底数的对数的积. 解：(1)loga(x2yz)＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz. (2)loga (3)loga 例2计算：(1)lg 解：(1)lg (2)lg4＋lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2； (3)(lg2)2＋lg20×lg5＝(lg2)2＋(1＋lg2)(1－lg2)＝(lg2)2＋1－(lg2)2＝1. 点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；要避免错用对数运算性质，特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视. 变式训练 　计算： (1)lg14－2lg 解：(1)解法一：lg14－2lg 解法二：lg14－2lg ＝lg (2) (3) ＝ 思路2 例1：求下列各式的值． (1)log525；(2)log0.41；(3)log2(47×25)． 解法一：(1)log525＝log552＝2； (2)log0.41＝0； (3)log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19. 解法二：(1)设log525＝x，则5x＝25＝52，所以x＝2； (2)设log0.41＝x，则0.4x＝1＝0.40，所以x＝0； (3)log2(47×25)＝log2(214×25)＝log2219＝19， 或log2(47×25)＝log247＋log225＝7log222＋log225＝2×7＋5＝19. 点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式. 变式训练 　计算：(1)log3(92×35)；(2)lg. 解：(1)log3(92×35)＝log392＋log335 ＝log334＋5log33 ＝4＋5＝9. (2)lg＝ 例2计算下列各式的值： (1) (3) 活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质．先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算．再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算． (1)解法一： ＝ ＝ ＝ 解法二： ＝lg ＝lg( (2)解法一：lg52＋ ＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg2＋lg5)2 ＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3. 解法二：lg52＋ ＝2lg10＋lg5[2(1－lg5)＋lg5]＋(1－lg5)2 ＝2＋lg5(2－lg5)＋(1－lg5)2 ＝2＋2lg5－(lg5)2＋1－2lg5＋(lg5)2 ＝3. (3)解法一： ＝ 解法二： ＝ 点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值. 变式训练 　计算：(1)2log510＋log50.25；(2)2log525＋3log264；(3)log2(log216)． 解：(1)因为2log510＝log5102＝log5100，所以2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log552＝2log55＝2. (2)因为2log525＝2log552＝4log55＝4,3log264＝3log226＝18log22＝18， 所以2log525＋3log264＝22. (3)因为log216＝log224＝4，所以log2(log216)＝log24＝log222＝2. 1．用logax，logay，logaz，loga(x＋y)，loga(x－y)表示下列各式： (1)loga (5)loga( 解：(1)loga ＝ (2)loga(x· ＝logax－ (3)loga(xy (4)loga ＝logax＋logay－loga(x＋y)－loga(x－y)． (5)loga( (6)loga[ 2．已知f(x6)＝log2x，则f(8)等于(　　) A. 解析：因为f(x6)＝log2x，x＞0，令x6＝8，得x＝＝，所以f(8)＝log2＝ 另解：因为f(x6)＝log2x＝ 所以f(8)＝ 答案：D 3．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正确的个数为(　　) ①logax·logay＝loga(x＋y)　②logax－logay＝loga(x－y)　③loga ④loga(xy)＝logax·logay A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 4．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N＋，下列式子正确的个数为(　　) ①(logax)n＝nlogax　②(logax)n＝logaxn　③logax＝－loga A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 5．科学家以里氏震级来度量地震的强度．若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度． 解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I1和I2，由题意，得 因此0.6(lgI2－lgI1)＝0.9，即lg 因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍． 已知x、y、z＞0，且lgx＋lgy＋lgz＝0，求x 活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t. 解：令x lgt＝( ＝ ＝ 1．对数的运算法则． 2．对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用． 3．对数与指数形式比较： 式子 ab＝N logaN＝b 名称 a——幂的底数 b——幂的指数 N——幂值 a——对数的底数 b——以a为底的N的对数 N——真数 运算 性质 am·an＝am＋n； am÷an＝am－n； (am)n＝amn (a＞0，a≠1，m、n∈R) loga(MN)＝logaM＋logaN； loga logaMn＝nlogaM(n∈R) (a＞0，a≠1，M＞0，N＞0) 课本本节练习B　1、2、3. 在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则，推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务． [备选例题] 例 已知a、b、c均为正数，3a＝4b＝6c，求证： 活动：学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程．从求证的结论看，解题的关键是设法把a、b、c从连等号式中分离出来，为便于找出a、b、c的关系，不妨设3a＝4b＝6c＝k(k＞0)，则a、b、c就可用这一变量k表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论． 证法一：设3a＝4b＝6c＝k，则k＞0.由对数的定义得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k， 则左边＝ 右边＝ 证法二：对3a＝4b＝6c同时两边取常用对数得lg3a＝lg4b＝lg6c，alg3＝blg4＝clg6. 所以 点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质．灵活运用指数、对数的概念及性质解题，适时转化． (设计者：卢岩冰) 第3课时　换底公式与自然对数 导入新课　　　　　 思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝ 思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题． 思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题． 推进新课　　　　　 活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了；⑦自然对数与常用对数是两种特殊的对数，它们对科学研究和了解自然起了巨大的作用． 讨论结果：①因为lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3. 不妨设log23＝x，则2x＝3，所以(100.301 0)x＝100.477 1,100.301 0×x＝100.477 1， 即0.301 0x＝0.477 1，x＝ ②根据①我们看到，最后的结果是log23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数， 不妨设log23＝x，由对数定义知道，2x＝3， 两边都取以a为底的对数，得loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝ 也就是log23＝ 这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商． ③证明logab＝ 证明：设logab＝x，由对数定义知道，ax＝b； 两边取c为底的对数，得logcax＝logcbxlogca＝logcb； 所以x＝ 一般地，logab＝ ④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M＞0，N＞0，M＝N，则logaM＝logaN. ⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商． ⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值． 说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log23＝ 即计算log23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”． 再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x＝log1.01 所以x＝log1.01 可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多． ⑦在科学技术中，常常使用以无理数e＝2.718 28…为底的对数．以e为底的对数叫做自然对数．logeN通常记作lnN.根据对数的换底公式，可以得到自然对数与常用对数的关系：lnN＝ 用科学计算器可直接求自然对数．例如，求ln34(精确到0.000 1)，可用科学计算器计算如下： 按键 显示 3.526360525 所以ln34≈3.526 4. 思路1 例1求下列各式的值： (1)log89·log2732的值；(2)ln1. 解：(1)log89·log2732＝ (2)因为e0＝1，所以ln1＝0. 变式训练 　计算：(1)log927；(2)lne5. 解：(1)log927＝ (2)因为lne5＝5lne＝5，所以lne5＝5. 例2 (1)求证：logxylogyz＝logxz. 证明：因为logxylogyz＝logxy (2)求证：loganbn＝logab. 证明：因为loganbn＝ 点评：本题的结论可作为公式直接应用. 变式训练 　本节练习A　3、5. 思路2 例1 (1)已知log23＝a，log37＝b，用a、b表示log4256. (2)若log83＝p，log35＝q，求lg5. 活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决． 解：(1)因为log23＝a，则 又因为log37＝b， 所以log4256＝ (2)因为log83＝p，即log233＝p，所以log23＝3p.所以log32＝ 又因为log35＝q，所以lg5＝ 点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质. 变式训练 　已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645. 解：因为log189＝a，所以log18 所以log182＝1－a. 因为18b＝5，所以log185＝b. 所以log3645＝ 点评：在解题过程中，根据问题的需要，指数式转化为对数式，或对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现，转化思想是中学中重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用. 例2设x、y、z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z. (1)求证： 活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导．(1)利用对数的定义把x、y、z表示出来，根据对数的定义把3x＝4y＝6z转化为指数式，求出x、y、z，然后计算．(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较． (1)证明：设3x＝4y＝6z＝k，因为x、y、z∈(0，＋∞)，所以k＞1. 取对数，得x＝ 所以 即 (2)解：因为3x－4y＝( 所以3x＜4y. 又因为4y－6z＝( 所以4y＜6z.所以3x＜4y＜6z. 点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析． 例3已知logax＝logac＋b，求x. 活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解，或把b转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式来解． 解法一：由对数定义，可知x＝alogac＋b＝alogac·ab＝c·ab. 解法二：由已知移项可得logax－logac＝b，即loga 所以x＝c·ab. 解法三：因为b＝logaab，所以logax＝logac＋logaab＝logac·ab. 所以x＝c·ab. 点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用． (1)已知lg2＝a，lg3＝b，则 A. C. (2)已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则 A．1 B．4 C．1或4 D．4或－1 (3)若3a＝2，则log38－2log36＝__________. (4)lg12.5－lg 答案：(1)C　(2)B　(3)a－2　(4)1 探究换底公式的其他证明方法： 活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质． 证法一：设logaN＝x，则ax＝N，两边取以c(c＞0且c≠1)为底的对数，得logcax＝logcN， 所以xlogca＝logcN，即x＝ 故logaN＝ 证法二：由对数恒等式，得N＝alogaN，两边取以c(c＞0且c≠1)为底的对数，得logcN＝logaN·logca，所以logaN＝ 证法三：令logca＝m，logaN＝n，则a＝cm，N＝an，所以N＝(cm)n＝cmn. 两边取以c(c＞0且c≠1)为底的对数，得mn＝logcN， 所以n＝ 对数换底公式的应用：换底公式logaN＝ 例：化简： 解：原式＝logNM＋logNM＋logNM＋logNM＝4logNM. 1．对数换底公式． 2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a＞0且a≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明． 1．已知 解：因为 所以log37＝3a. 又因为 所以log81175＝ 2．求证：(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9 证明：左边＝(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9 ＝nlog23· 本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段． [备选例题] 例1用科学计算器计算下列对数(精确到0.001)： log248；log310；log8π；log550；log1.0822. 解：log248＝5.585； log310＝2.096； log8π≈0.550； log550＝2.431； log1.0822＝8.795. 例2 (1)证明 (2)已知loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ， 求证：loga1a2…an(b1b2…bn)＝λ. 活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解． (1)证法一：设logax＝p，logabx＝q，logab＝r， 则x＝ap，x＝(ab)q＝aqbq，b＝ar. 所以ap＝(ab)q＝aq(1＋r)，从而p＝q(1＋r)． 因为q≠0，所以 证法二：左边＝ (2)证明：因为loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ， 所以由换底公式得 由等比定理，所以 所以 点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简． 例3一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半．(结果保留1个有效数字) 活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时要使实际问题有意义． 解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.则 经过1年，剩留量是y＝0.84； 经过2年，剩留量是y＝0.842； …… 经过x年，剩留量是y＝0.84x. 方法一：根据函数关系式列下表．根据表内数据描点画出函数的图象． x 0 1 2 3 5 … y＝0.84x 1 0.84 0.71 0.59 0.42 … 从下图中观察，y≈0.5时，对应有x＝4， 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半． 方法二：依题意得0.84x＝0.5，用科学计算器计算得 x＝log0.840.5＝ 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半． 点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．