RSA算法数学原理

表达（实例）。 七、RSA算法的可靠性 回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字： p q n φ(n) e d 这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。 那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？ （1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。 （2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。 （3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。 结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。 可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道： "对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。 假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。 只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。" 举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。 51304949 69595334 40050726 64693899 25192557 50791702 92143116 94080665 143413 它等于这样两个质数的乘积： 86044169 98371376 37938780 43087737 814467999489 × 28244633 16434308 96665112 10270092 798736308917 事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。 八、加密和解密 有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。 （1）加密要用公钥 (n,e) 假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。 所谓"加密"，就是算出下式的c： me ≡ c (mod n) 爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式： 6517 ≡ 2790 (mod 3233) 于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。 （2）解密要用私钥(n,d) 爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立： cd ≡ m (mod n) 也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出 27902753 ≡ 65 (mod 3233) 因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。 至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。 我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。 你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如DES），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。 九、私钥解密的证明 最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子： cd ≡ m (mod n) 因为，根据加密规则 ｍe ≡ c (mod n) 于是，c可以写成下面的形式： c = me - kn 将c代入要我们要证明的那个解密规则： (me - kn)d ≡ m (mod n) 它等同于求证 med ≡ m (mod n) 由于 ed ≡ 1 (mod φ(n)) 所以 ed = hφ(n)+1 将ed代入： mhφ(n)+1 ≡ m (mod n) 接下来，分成两种情况证明上面这个式子。 （1）m与n互质。 根据欧拉定理，此时 mφ(n) ≡ 1 (mod n) 得到 (mφ(n))h × m ≡ m (mod n) 原式得到证明。 （2）m与n不是互质关系。 此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。 以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立： (kp)q-1 ≡ 1 (mod q) 进一步得到 [(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q) 即 (kp)ed ≡ kp (mod q) 将它改写成下面的等式 (kp)ed = tq + kp 这时t必然能被p整除，即 t=t'p (kp)ed = t'pq + kp 因为 m=kp，n=pq，所以 med ≡ m (mod n) 原式得到证明。 （完）