（通用版）2019年高考数学二轮复习 课时跟踪检测（十八）文

（通用版）2019年高考数学二轮复习 课时跟踪检测（十八）文 1．(2017·石家庄质检)设M，N，T是椭圆 (1)若直线MN过原点O，直线MT，NT的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值； (2)若M，N不是椭圆长轴的端点，点L的坐标为(3,0)，△M1N1L与△MNL的面积之比为5∶1，求MN中点K的轨迹方程． 解：(1)证明：设M(p，q)，N(－p，－q)，T(x0，y0)，则k1k2＝ 又 即 (2)设直线MN与x轴相交于点R(r,0)， S△MNL＝ 因为S△M1N1L＝5S△MNL， 所以 又|yM1－yN1|＝|yM－yN|， 解得r＝4(舍去)，或r＝2，即直线MN经过点F(2,0)． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)， ①当MN垂直于x轴时，MN的中点K即为F(2,0)； ②当MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y＝k(x－2)，则 x1＋x2＝ x0＝ 消去k，整理得(x0－1)2＋ 经检验，(2,0)也满足(x0－1)2＋ 综上所述，点K的轨迹方程为(x－1)2＋ 2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； (2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2. 又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为 (2)证明：由(1)知BC的中点坐标为 可得BC的中垂线方程为y－ 由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂线方程为x＝－ 联立 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 故圆在y轴上截得的弦长为2 3．(2017·宁波模拟)已知椭圆 (1)求椭圆的方程； (2)过P点作两条互相垂直的直线PA，PB，交椭圆于A，B，求证：直线AB经过定点． 解：(1)由题意得， 解得a2＝4，b2＝ (2)证明：由对称性知，若存在定点，则必在x轴上， 当kPA＝1时，lPA：y＝x＋2， ∴ ∴x2＋3(x2＋4x＋4)＝4⇒x＝－1. 以下验证：定点为(－1,0)， 由题意知，直线PA，PB的斜率均存在， 设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)． 则x2＋3k2(x2＋4x＋4)＝4⇒xA＝ yA＝ 同理xB＝ 则 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为 解：(1)由题意知椭圆的一个焦点为F(1,0)，则c＝1.由e＝ ∴椭圆C的方程为 (2)由(1)知A(0,1)，当直线BC的斜率不存在时， 设BC：x＝x0，设B(x0，y0)，则C(x0，－y0)， kAB·kAC＝ 不合题意．故直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为：y＝kx＋m(m≠1)，并代入椭圆方程，得：(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0， ① 由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0， 得2k2－m2＋1>0. ② 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，由根与系数的关系得， x1＋x2＝－ 由kAB·kAC＝ 4y1y2－4(y1＋y2)＋4＝x1x2， 即(4k2－1)x1x2＋4k(m－1)(x1＋x2)＋4(m－1)2＝0， 整理得(m－1)(m－3)＝0， 又因为m≠1，所以m＝3， 此时直线BC的方程为y＝kx＋3. 所以直线BC恒过一定点(0,3)． 5．(2017·台州模拟)如图，已知椭圆C： (1)设点A(0,2)，k＝1，求△AMN的面积； (2)设点B(t,0)，记直线BM，BN的斜率分别为k1，k2.问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k，(k1＋k2)·k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由． 解：(1)当k＝1时，直线l的方程为y＝x－1. 由 当x＝0时，y＝－1， 当x＝ 不妨设N(0，－1)，M 所以|AN|＝3. 所以S△AMN＝ (2)由题意知，直线MN的方程为y＝k(x－1)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由 所以x1＋x2＝ 由k1＝ (k1＋k2)·k＝k ＝k2 ＝ ＝ ＝ 若2t－8＝0，则t＝4，(k1＋k2)·k＝0为定值． 若2t－8≠0，则当t2－4＝0， 即t＝±2时，(k1＋k2)·k＝ 所以当t＝4时，(k1＋k2)·k＝0； 当t＝2时，(k1＋k2)·k＝－1； 当t＝－2时，(k1＋k2)·k＝－