数学分析(信阳师范学院)习题库第十五章 傅里叶级数第十五章 傅里叶级数
1 三角级数与傅里叶级数
1.证明
(1)
,
,
,
,
是
上的正交系;
(2)
,
,
,
,
是
上的正交系;
(3) 1,
,
,
,
,
是
上的正交系;
(4) 1,
,
,
,
,
不是
上的正交系;
2.求下列周期为
的函数的傅里叶级数:
(1) 三角多项式
;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
(5)
;
(6)
;
(7)
;
(8)
;
(9)
;
(10)
.
...
第十五章 傅里叶级数
1 三角级数与傅里叶级数
1.证明
(1)
,
,
,
,
是
上的正交系;
(2)
,
,
,
,
是
上的正交系;
(3) 1,
,
,
,
,
是
上的正交系;
(4) 1,
,
,
,
,
不是
上的正交系;
2.求下列周期为
的函数的傅里叶级数:
(1) 三角多项式
;
(2)
;
(3)
;
(4)
;
(5)
;
(6)
;
(7)
;
(8)
;
(9)
;
(10)
.
3.设
以
为周期,在
绝对可积,证明:
(1) 如果函数
在
满足
,则
;
(2) 如果函数
在
满足
,则
.
2 傅里叶级数的收敛性
1.将下列函数展成傅里叶级数,并讨论收敛性:
(1)
;
(2)
;
2.由展开式
,
(1) 用逐项积分法求
,
,
在
中的傅里叶展开式;
(2) 求级数
,
的和.
3. (1) 在
内,求
的傅里叶展开式;
(2) 求级数
的和.
4.设
在
上逐段可微,且
.
,
为
的傅里叶系数,
,
是
的导函数
的傅里叶系数,证明:
,
,
.
5.证明:若三角级数
中的系数
,
满足关系
,
M为常数,则上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数.
6.设
,求证:
.
7.设
以
为周期,在
上单调递减,且有界,求证:
.
8.设
以
为周期,在
上导数
单调上升有界. 求证:
.
9.证明:若
在
点满足
阶的利普希茨条件,则
在
点连续. 给出一个
明这论断的逆命题不成立的例子.
10.设
是以
为周期的函数,在
绝对可积,又设
是
的傅里叶级数的前n项部分和
,
则
,
其中
是狄利克雷核.
11.设
是以
为周期,在
连续,它的傅里叶级数在
点收敛. 求证:
.
12.设
是以
为周期、连续,其傅里叶系数全为0,则
.
13.设
是以
为周期,在
绝对可积. 又设
满足
存在. 证明
. 进一步,若
在
点连续,则
,其中
.
3 任意区间上的傅里叶级数
1.将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数,并讨论其收敛性:
(1) 在区间
展开
(2)
;
(3)
;
(4)
2.求下列周期函数的傅里叶级数:
(1)
;
(2)
.
3.把下列函数在指定区间上展开为余弦级数:
(1)
;
(2)
4.把下列函数在指定区间上展开为正弦级数:
(1)
(2)
.
5.把函数
在
上展开成余弦级数,并推出
.
6.将函数
分别作奇延拓和偶延拓后,求函数的傅里叶级数,其中
7.应当如何把给定在区间
的可积函数延拓到区间
内,使得它在
中对应的傅里叶级数为:
(1)
;
(2)
.
4 傅里叶级数的平均收敛性
1.若
,
以
为周期,在
平方可积,
EMBED Equation.DSMT4 ,
,
则
.
2.设
在
上平方可积,求证:
EMBED Equation.DSMT4 ,
其中
.
_1124293195.unknown
_1124295823.unknown
_1124301765.unknown
_1124302832.unknown
_1124305911.unknown
_1124306029.unknown
_1124572883.unknown
_1124573039.unknown
_1124573105.unknown
_1124573268.unknown
_1124573078.unknown
_1124312914.unknown
_1124312932.unknown
_1124305938.unknown
_1124306027.unknown
_1124306028.unknown
_1124306026.unknown
_1124305924.unknown
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_1124303486.unknown
_1124303487.unknown
_1124303282.unknown
_1124303214.unknown
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_1124302740.unknown
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_1124302357.unknown
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_1124300810.unknown
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_1124295933.unknown
_1124294382.unknown
_1124295455.unknown
_1124295650.unknown
_1124295723.unknown
_1124295481.unknown
_1124295210.unknown
_1124295307.unknown
_1124295049.unknown
_1124294559.unknown
_1124294567.unknown
_1124294485.unknown
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_1124294125.unknown
_1124294234.unknown
_1124294330.unknown
_1124294226.unknown
_1124294101.unknown
_1124294111.unknown
_1124294001.unknown
_1124294068.unknown
_1124293513.unknown
_1124293567.unknown
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_1124274283.unknown
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_1124274068.unknown
_1124274243.unknown
_1124274168.unknown
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