金融数学笔记

- 28 - 第一讲 Black-Sholes的离散形式证明 一、Black-Sholes的期权定价公式 看张期权的定价公式： 看跌期权的定价公式： 其中 为标的物的价格且 ， 为到期时的股票价格； 为无风险利率;k为敲定价格。 二、证明 (1) 两个基本假设：股票市场有波动，不存在风险套利 (a) 分为N等份，每一段时间为 (b)假设初始财富为1，每一期的期末有两种可能：以p的概率变为1+b；以1-p的概率变为1+a。每一个等份内的利率为 ， (2)易知 。 (3)构造离散形式的二叉数模型 上面的二叉树可以一直延续到第N期，期末的财富为 。N阶段必然有N+1个终点，其中包括： 个 ， 个 ，… 个 …, 个 。 (4)在T时刻有 如果我们令 ，就可以得到下式： (5)期权在N时刻的价值 call: put: (6)看张和看跌期权的平价关系 由步骤（5）可知： (7)收益率的换算 因为 ，所以连续复利 。 又因为 根据无套利均衡原理，平均收益率 令 ，则 (8)二项分布的正态逼近 定理：设 ， 独立同分布。对其中的 有 ， 则： (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 证明：由于 ，将 和 带入可以得到： 取极限有： (Ⅰ) EMBED Equation.DSMT4 (Ⅱ) ； 所以有 (Ⅲ) 的特征函数 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 所以 (9)看跌期权的价值 令 所以 令 再令 ， 所以 又因为当 时 所以 令 有 再令 进一步可得到： (10)由步骤(6)的平价关系可知： 第二讲 证券投资组合理论 一、证券投资组合的收益风险测定 1、单一证券的收益风险的测定 R为某种证券在一段时间内的收益率，是随机变量 E(R)——预期收益率 ——证券风险 2、两个证券收益与风险的测定 EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4 预期收益率 ： 风险 3、两个证券 、 、 、 之间的关系 ① ② ③ 4、多种证券的组合 　　　　 　 EMBED Equation.DSMT4 　　　 二、有效边界和最优投资组合 ⑴可行集 ⑵有效集 ⑶风险偏好，无差异曲线 ⑷最优投资组合 三、无风险资产 无风险资产收益确定，方差为零。 四、有效边界线为双曲线 1、两基金分离定理： 有效边界上的任一点都可以由上面的两个不同点的线性组合示 2、有效边界线为双曲线的证明: 资产权重： 资产收益（列向量）： 　　　　 资产的协方差矩阵： 　 　　　 约束条件： 构造拉格朗日函数： 　　　　　　　　　　　① 由①得： 记 　 　 (B>0,C>0,D>0) 则： 解得： 记  得： 设 ， 是对应上式的两个点 ， 。第三点 取一 ，使得： 在有效边界上任取一点P, ⑴ ⑵ ⑶ 即： 最小方差集是均值​—方差坐标系中的双曲线的一支。 第三讲 资本资产定价理论 一、资本市场线 ＝ 令 ＝1,其中， 表示无风险， 表示有风险 如果 >0, =1－ <1 如果 <0, =1－ >1 二、证券市场组合点 A,B表示两种股票(有风险)，F表示无风险债券 A：总市值660亿元, B：总市值220亿元， F：总市值120亿元 三、资本资产定价模型（CAPM） 1、 ＝ ＝ ＝ = = （ , ,……， ） ＝ ＝ 2、 ＝ ＝ 有风险的市场组合，与各个资产i和市场组合的风险有关，而与各个风险之间的风险 无关 ，m, i 越大，市场组合的整体风险越大 E(r ) =a +b 四. 证券市场线（SML） E（ ）= = 其中 为贝塔系数。 资本市场线与证券市场线的区别： 资本市场线中，M表示市场组合。 证券市场线表示某一个证券在市场中的风险， 等。 五. 证明 。 证：设有一投资组合P，风险证券i和有风险的市场组合M。 第i个证券的比例为 ，有风险市场组合M的比例为 。 两式相除： 资本市场线的斜率 其中 为均衡市场上第i 个产品的投资收益率。 资本市场线上 P是资本市场线上的点，为投资人期望的投资收益率。 第四讲 随机 一、Wiener过程 1、定义如果随机过程 满足 （1） （2） 是齐次的独立增量过程 （3）对于每一个 ，有 则称随机过程 为维纳过程。特别的当σ=1时， ， 称为标准的维纳过程。 对于 ， ， 是相互独立且 2、定义 ①均值函数： ②方差函数： ③（自）协方差： ④（自）相关函数： 3、二阶矩过程 定义若随机过程 ，对于任意t，都有 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 二、均方极限 1、Z与 相等， ① ② 有上两式知： 2、均方极限 ，记为： 3、 ， 则： a、b为常数则： 三、均方连续 1、设 为二阶矩过程，若 ，则称 在点t除连续， 2、连续的准则 ， ， 在点t处连续 EMBED Equation.DSMT4 在 处连续。 ，不妨令 则： 若： 反之可推，所以 四、均方导数 1、设 为二阶矩过程，如果 存在则称 在点t处可导，记为： ， 2、均方可微准则 ， ， 在点t处可微 EMBED Equation.DSMT4 在 处可混合二阶偏导。即： 存在并且等于 性质：① ② 例子： ，A位随机变量，若 ，则 证明： 两个不等式 五、均方积分 1、定义黎曼积分（Riemann integral） ① ， ② ， ，令 ③ ， 2、均方可积准则 存在 EMBED Equation.DSMT4 存在 3、性质： ① ② ③ 连续则可积 ④ 连续则， 连续可微，且 。 ⑤ ⑥ 则 ， 例：设 为维纳过程，求 解： ， ，令 ， 则有： 因为 所以 所以： 六、斯第尔切斯积分（Stieljes integral） 1、 或者 或者 2、有界变差 ， 七、二次变差 1、 ， 判断 是否成立 2、维纳过程的二次变差并不趋近于0 ，因为 ，所以 ① ② 因为： ， 且因： 所以： 又因为： 所以：上式 八、伊滕积分（Ito） 　 　 　　 　其中 例如：求证 证明： 　　　 又因为 所以： EMBED Equation.DSMT4 所以： 第五讲 鞅及其相关问题 第1节 条件期望 一、条件概率,y 1、离散型 X＝x ,x ,x …Y=y ,y ,y … P{Y=y ︳X=x }= 2、连续型 （x，y） x～f （x）， y～f （y） （x，y）～f（x，y） f（y︱x）= f(x︱y)= 二、条件期望 1、离散型 E [Y︱X=x ] = E [Y︱x ]= y P{Y=y ︱X=x } 2、连续型 E[Y︱X=x ] = E[Y︱x ]= y·f (y︱x ) dy 三、条件期望的性质 1、当随机变量X与Y相互独立时，E [ Y︱X ] = E [ Y ] 2、 E[E(Y︱X)]= E[Y] 证明：∵E[Y︱X]= y· dy ∴E[E(Y︱X)]= [ y· dy ] f (x) dx = y f (x, y) dx dy = y f (y) dy = E [ Y ] 3、E [ E (Y︱X …X ) ] = E [ Y ] 4、E [ g (X …X ) Y︱X …X ] = g (X …X ) E [ Y︱X …X ] 5、E [ aY + bZ︱X ] = a E [ Y︱X ]+ bE [Z︱X ] 6、E [(Y︱X , X )︱X ] = E [ Y︱X ] 7、E [(Y︱X )︱X X ] = E [ Y︱X ] 第二节 鞅的定义及性质 一、离散鞅的定义 若{ X }为随机序列，n=0,1,2… ①E︱X ︱＜ ②E [X ︱X …X ] = X X , X ,…X … Z , Z ,… Z … Z = H (X , X ,…X ) E [X ︱Z , Z ,… Z ] = X 二、连续鞅的定义 X (t) t [0,+ ] ①E [X (t) ] ＜+ ②E [X (t+h) ︱X (s), 0≤s≤t] = X (t) (h＞0) 三、鞅的性质 （1）若{ X }为鞅序列，则m≥1 n≥0有E [X ︱X …X ] = X ① m=1 时，显然成立 ② m＝k时，上式成立 ③当m＝k+1时，上式也成立 ∵E [X ︱X …X ] ＝E [E（X ︱X …X …X ）︱X …X ] ＝E [X ︱X …X ] ＝X （2）若{ X }为鞅，则E（X ）＝E（X ），E（X ）＝E（X ） （3）{ C }，C ＝C。常数序列为鞅序列 （4）鞅的增量的性质 设{ X }为鞅序列，令S = X ﹣X S = X 1 E [S ] = 0 2 E [S ︱S , S , …S ] = 0 3 Cov (S , S ) = 0 4 Var (X ) = VAR (S ) 四、鞅举例 （1）设随机序列{ Y } （n＝0，1，2…）为独立随机序列 Y = 0 E [Y ] =0 E︱Y ︱＜ 则 X = Y （随机和）为鞅序列 S = X + X +…+X 1 E︱X ︱≤ E︱Y ︱＜ ② ∵E [X ︱X …X ] = E [(X + Y )︱X …X ] = E [X ︱X …X ] + E [Y ︱X …X ] = X +E [Y ] = X { X }是鞅序列 推论:{ Y } Y = C E (Y ) = C 则X = (Y –C )是鞅序列 (2)设{ Y }为独立随机序列，Y ＝ 1，E (Y ) =1 则X = Y （随即积）为鞅序列 推论：为{ Y }为独立随机序列，Y = C ≠0 E (Y ) = C ≠0 则X = （Y / C ）为鞅序列 （3）Brown运动式鞅过程 w (t) ～N (0, t) 2 E [w (t+h)︱w (s) 0≤s≤t ] = w (t) = E [w (t+h)- w (t) + w (t)︱w (s) 0≤s≤t ] = E [w (t+h)- w (t) ︱w (s) 0≤s≤t ] + E [w (t)︱w (s) 0≤s≤t ] = E [w (t+h)- w (t) ] + w (t) = w (t) 推论（3）X（t）独立增量正态分布过程，X (t) ～N ( t, t) 则X（t）- t,= Y (t)为鞅过程 第三节 等价鞅测度 一、风险中性概率测度 （1）风险中性：对冒险持无所谓的态度 特点：对风险资产的预期收益率＝无风险利率的收益率 （2）风险中性概率测度 风险中性概率测度能使风险资产的预期收益率等于无风险利率收益率的那种概率测度。 风险资产S ↗S u = S p ↘S d = S 1-p E [S ] = S e 记E [S ] = S up + S d (1-p) e = p p = 1-p= d