现代交通规划学第五章出行分布预测

第五章 出行分布预测 §5.1 概 念 从出行发生预测可以得知对象区域各个分区出行产生量和出行吸引量。下面的问是：就某个分区而言，它所产生的这些出行量究竟到那个分区去了？它所吸引的这些出行量又究竟来自哪里？也就是要预测未来规划年各个分区之间出行的交换量。我们把分区之间的出行的交换量叫做“出行分布量”，本章就来研究出行分布量的预测问题。 5.1.1 出行分布量 出行分布量是指：分区i与分区j之间平均单位时间内的出行量，单位时间可以是一天、一周、一月等，也可以是专指高峰小时。就一对分区i和j而言，它由两部分qij、qji组成： i分区 h j分区 1 2 f 4 3 h 5 h 6 f 图例：h—家庭；s—学校；f—工厂 图5-1 (例5-1)两个分区间的六次出行 qij——以分区i为产生点（注：不一定是出行的起点），以分区j为吸引点（不一定是出行的终点）的出行量。 qji——以分区j为产生点，分区i为吸引点的出行量。 如同一个分区的产生量不一定等于吸引量一样，qij不一定等于qji。从下面的例子可以看出这一点。 例5-1 如图5-1所示的两分区之间的六次出行中； qij=4（出行1、2、5、6） qji =2（出行3、4） 但以i为起点的出行数=3（出行1、4、5）； 以j为起点的出行数=3（出行2、3、6）。 5.1.2 出行分布矩阵（PA矩阵） 出行分布矩阵是一个二维表（矩阵），行坐标为吸引分区号（Absorbing zone），列坐标为产生分区号（Producing zone），元素为出行分布量。如表5-1所示，表5-1中的行数和列数相等。从理论的严格意义上讲，产生区和吸引区不一定相同，甚至某些分区只是产生区，但不吸引任何出行，因而不是吸引区，如纯住宅区，也可能有某些分区只是吸引区，但不是产生区。但是，实际中，绝大多数分区既是产生区又是吸引区，为了叙述简便起见，我们一般假定产生区和吸引区数相同，用n表示。但在后面也给出两者不相同的实例（例5-5）。 表5-1 出行分布矩阵 P A 1 2 … n 小计 1 q12 q12 … q1n P1 2 q21 q22 … q2n P2 ┊ … … … … ┊ n qn1 qn2 … qnn Pn 小计 A1 A2 … An Q 对于城市交通而言，由于市民在市内的出行都是当天返回的，因此一分区出行的起点数总是等于讫点数，所以基于起讫点的出行量矩阵（OD矩阵）是对称的。早期的分布矩阵是指这种OD矩阵，但正如第四章所指出的，由于以起讫点作为出行端点进行分析不便于出行的预测，所以OD矩阵现在交通规划中基本不用。 由于一个分区的出行产生点和吸引点不一定相等，所以基于产生点、吸引点的出行量矩阵不一定是对称的，这一点是要特别注意的。可是，已有的交通规划书籍仍习惯将这种基于产生点——吸引点的矩阵称做“OD矩阵”。这是不准确的，后来以讹传讹 ，一直传至今天，这很容易引起理解上的失误，这种基于产生点——吸引点的分布矩阵正确的简称应该是“PA矩阵”。今后我们就使用这个新的简称。 与第四章的产生量和吸引量相比，产生量Pi、吸引量Aj是两个不带方向的量（标量）。而本节的出行分布量qij是一个带有方向性的量（矢量），它有两个下标。本书规定：第一个为产生分区号，第二个为吸引分区号。它们关系式是： （5-1） 总出行量： （5-2） 5.1.3 分布量预测 本章的问题是在前一章得出的各分区产生量、吸引量预测值的基础上，求PA分布矩阵中各个元素qij ，即已知PA表小计列和小计行中各元素的值，求其它元素的值。从数学上来说，这是用2n个方程（5-1）式求n×n个未知数的问题。数学常识告诉我们，当n>2时，这是没有唯一解的。为此，我们必须借用其它的一些条件，但是从后面的进一步的研究可以发现，即使是借用了其它条件，仍很难求出精确的解来，而只能求出近似解。 我们通过对调查资料的分析和预测，可以找到和利用的数据有：现状的PA表： （1≤i，j≤n）；两个分区之间的交通阻抗矩阵[Rij]。至今已开发的方法有：增长率法、引力模型法、机会模型法。我们详细介绍前两种，第三种因理论依据不足，且难于实用，不作详细介绍。 §5.2 增长率法 增长率法是一种比较简单的预测方法，包括两大类：增长函数方法和Fueness约束条件方法。增长函数方法是指一大类方法，具体地，它又包括：常增长率法、平均增长率法、Detroit（底特律法）、Frator（弗雷德）法。 5.2.1 增长函数方法的思路 具体的增长函数方法有多种，它们的基本思路相同，不同的是各自采用不同的增长函数。首先我们给出描述共同基本思路的算法，然后就不同的增长函数讨论各个具体的增长函数方法。 增长函数的基本思路可用以下算法描述： 算法5-1： 步1：用 表现状分布量， 、 表现状产生量、吸引量： Pi、Aj表由第四章预测方法得到的规划年产生量、吸引量的预测值，令k=0。 步2：计算各分区第0次产生增长率、吸引增长率： ； （5-3） 步3：设 为增长函数，计算第（k+1）次预测值： ； （5-4） 步4：检验预测结果：计算新的产生量和吸引量 ， （5-5） 令 （5-6） 在允许一定误差率（如3%）的前提下，对所有的i和j考察： ？若是， 为之所求，今 ，停止；否则进行下一步迭代，令k=k+1，转至第3继续。 下面就各种不同的增长函数提出各种具体的增长率法。 5.2.2 各种增长函数法 1 常增长率法 该方法认为，qij的增长仅与i区的产生量增长率有关。增长函数为 （5-7） 这种方法只单方面考虑产生量增长率对增长函数的影响，忽视了吸引量增长率的影响。由于产生量与吸引量的不对称性，因此这种方法的预测精度不高，是一种最粗糙的方法，有时甚至不能保证算法5-1的迭代过程一定能收敛。 2 平均增长率法 该方法认为：qij的增长与i区产生量的增长及j分区吸引量的增长同时相关，而且相关的程度也相同。即 （5-8） 此法明显比第一种方法合情理一些，这是一种最常用的方法。在实际运用时，因迭代步数较多，使计算速度稍慢，但有计算机帮忙也很好用。 3 Detroit法 此法认为，qij的增长与i分区产生量增长率 成正比，而且还与j分区吸引量增长占整个区域吸引量增长的相对比例成正比。全区域在现年和规划年的吸引总量分别为Q0= 、Q= ，因此全区域的吸引量增长率为 ，而分区j吸引量增长率为。于是Detroit增长函数为 （5-9） 该方法是在底特律市1956年规划首次被开发利用，收敛速度较快。 4 Frator法 1954年Frator提出了分别从产生区和吸引区两个角度分析计算qij，然后平均的方法。 先从产生区考虑： ① Frator认为，qij与 i区出行量中j分区的“相对吸引增长率” bij成正比。由于规划年从i区产生的出行量中被分区j吸引去的出行量为 ，因此，这个相对吸引增长率为： （5-10） ② Frator还认为：qij也应与i分区规划年的产生量 成正比； ③ 综上两点，得 （5-11） 再从吸引区j分区的角度分析，同样，类似于以上三步，得 （5-12） 由于上两式的 、 是表示同一个量 ，故预测值应取其平均值： （5-13） 其中： 、 ——分别称为第k轮分区i的“产生位置系数”、分区j的“吸引位置系数”。 故Frator增长函数为： （5-14） Frator法的计算比较麻烦，但它的收敛速度快，应用还是比较广泛的。 例5-2 表5-2（1）是一个只有三个分区的现状PA表，表5-2（2）给出了规划年的各个分区的出行产生量和吸引量。试分别用平均增长率法和Frator法求出规划年PA 矩阵。 表5-2 例5-2的已知数据表 （1）现状PA表 （2）规划年产生量和吸引量 A P 1 2 3 小计 1 2 3 200 100 100 150 250 200 100 150 150 400 600 400 小计 450 500 450 1400 A P 1 2 3 小计 1 2 3 1000 1000 1250 小计 1250 900 1100 3250 解：1）平均增长率法。 表5-3（1）平均增长率函数 1 2 3 1 2 3 2.639 2.150 2.472 2.223 1.734 2.056 2.952 2.463 2.785 用式（5-3）算得第0次的三个分区产生增长率 分别为了：2.500, 1.667, 3.125；三个分区的吸引量增长率 分别为2.778, 1.800, 2.444。从而，算得各个平均增长率（即增长函数 ）如表5-3（1）所示。由式（5-4）可得第1次迭代值如表5-3（2）。从表5-3（2）可见，第1次迭代值的行和列的小计与表5-2（2）中规划年的产生量、吸引量差别较大，故须进一步进行第2次迭代运算。一直进行了6次迭代运算后，得到的结果与表5-2（2）中的值基本一致，收敛误差小于1%。结果见表5-3（3），所以此表即为所求的规划年出行分布预测结果。 表5-3 例5-2平均增长率法计算结果表 （2）平均增长率法第1次迭代结果 (3）平均增长率法第6次迭代结果 A P 1 2 3 小计 1 2 3 525 215 250 335 435 410 295 370 415 990 1180 1080 小 计 1155 1020 1075 3250 A P 1 2 3 小计 1 2 3 565 190 250 310 330 360 370 385 490 1005 1000 1245 小 计 1245 905 1100 3250 2）Frator法。 表5-4（1）第0次位置系数 L 分区 产生位置系数 吸引位置系数 1 2 3 0.408 0.424 0.443 0.440 0.437 0.428 首先求第0次位置系数，结果列在表5-4（1），在此基础上，算得第1次迭代结果如表5-4（2）所示。与平均增长率法的第1次迭代结果相比，此时的结果近似程度要高。实际上，用该法只须进行两次迭代，就可以求出满足收敛要求的结果，见表5-4（3）。 表5-4 例5-2Frator法计算结果表 （2）Frator法第1次迭代结果 (3）Frator法第2次迭代结果 A P 1 2 3 小计 1 2 3 580 190 255 300 330 355 375 370 495 1025 985 1240 小 计 1255 890 1105 3250 A P 1 2 3 小计 1 2 3 565 190 250 305 340 355 375 375 495 1005 1000 1245 小 计 1245 905 1100 3250 可见与平均增长率法相比，Frator的收敛速度要快得多。 5.2.3 Fueness约束条件法 Fueness1956年提出另一种增长率法。他认为，两个分区之间出行分布量qij的预测值与此两个分区之间出行分布的现状值 成正比，还与产生分区的规划年产生量预测值、吸引分区的规划年吸引量预测值有关，这种关系可用两个系数ui、vj表示（分别称之为产生系数、吸引系数），即 （5-15） 但这两个系数不是简单地等于产生量或吸引量的增长率Pi / P0i、Aj / A0j，而是必须满足两个约束条件： (i=1, 2, …, n) （5-16a） ( j=1, 2, …, n) （5-16b） 这个方法被称作“Furness约束条件法”，又叫做“双约束条件增长率法”。 该法的关键是求两组系数ui、vj （i, j=1, 2, …, n）。从数学上来说，由式（5-16）所表示的2n个方程所组成的联立方程组可以解出这两组未知的系数（共2n个）来。但因为这个方程组是非线性的，如果用解方程的方法，那么求解过程将是十分复杂的。为此，Furness提出用迭代法进行求解，具体步骤如下算法。 算法5-2： 步1：初始化。令所有的u0i =1.0，k=0。 步2：用方程组（5-16a）求解vj。此时方程组简化为 (i=1, 2, …, n) （5-17） 这其实是一个线性方程组，用线性代数的知识不难求解，设所得的解为{vkj：(j=1, 2, …, n) }。 步3：用vkj代入方程组（5-16b）求解{uk+1i}，这仍是一个解线性方程组的问题。 步4：再用新求出的uk+1i，代入方程组（5-16a）求解{vk+1j}。 步5：检验收敛性。对所有的i、j，考察ukj与uk+1j、vkj与vk+1j的相对偏差<3%？若是，{ukj}与{vkj}为之所求，停止；否则返回第3步。 Furness法的收敛速度可与Frator法媲美，但需要求解线性方程组，这是比较费时的，尤其是当分区数目n较大时。如果把方程组表示成矩阵形式，如方程组（5-17）可表示为 （5-18） 表5-5 例5-3双约束增长率法结果 A P 1 2 3 小计 1 2 3 565 190 250 305 340 355 375 375 495 1005 1000 1245 小 计 1245 905 1100 3250 那么，它的解就是 （5-19） 这借用可进行矩阵运算的应用软件（如Matlab）就很容易求解了。 例5-3 用Furness法计算例5-2中的出行分布预测值。在进行了三次迭代后，就得到了表5-5所示的结果，达到了精度要求。 §5.3 引力模型法 上述的增长率法的一个缺陷是没有考虑各个分区之间的交通阻抗，它对近期、或肯定至规划年整个交通网络上的交通阻抗都不会什么多大变化的出行分布预测问题是可用的。但一般对象区域的交通阻抗都会因交通设施改进或流量的增加而不断变化，这就要求在进行分布预测时，必须加入交通阻抗的因素。本节的引力模型法就是这样的预测方法。 引力模型是Casey1955年提出的，当时是受物理学中牛顿万有引力定律的启发，其形式也很象万有引力公式，故因此而得名。 5.3.1 简单模型 1、模型 最早的模型是 （5-20） 其中，qij——i、j分区之间的出行量（i为产生区，j为吸引区）预测值； Rij——两分区间的交通阻抗； Pi、Aj——分别为分区i的出行产生量、分区j的吸引量； K——系数。 该模型显然在形式上太拘泥于万有引力公式了，在实际应用中发现也有较大的误差。后人将它改进为 （5-21） 其中：α、β、γ、K是待定系数，假定它们不随时间和地点而改变。据经验，α、β取值范围0.5~1.0，多数情况下，可取α=β=1。 交通阻抗Rij可以是出行时间、距离、油耗等因素的综和，但大多数情况下，为了简便起见，只取其中某个主要指标作为交通阻抗，在城市交通中取时间的情况较多，而在某种方式的地区交通规划取距离的情况较多。 2、参数的标定 采用线性回归方法标定模型（5-14）中的参数。两边取自然对数： （5-22） 此处（Pi，Aj，Rij，qij）可从现状调查数中取若干个分区作为样本，待标定的参数有： lnK、α、β、-γ，故要用多元线性回归方法。设： Y=lnqij, X=(1, X1, X2, X3)=(1, lnPi, lnAj, lnRij) （5-23a） b0=lnK, b1=α, b2=β, b3= -γ （5-23b） （5-23c） 如果预先取α=β=1，则问题简化成了： （5-24） 这只须用一元线性回归方法就能标定参数K和γ了。 例5-4 对例5-2的问题用引力模型（5-24）进行出行分布预测，假定分区之间交通阻抗（时间）如表5-6所示。 解：首先标定（5-24）中的参数γ、K。 用一元线性回归， 。令Y=lnqij- ln(PiAj), X=lnRij, b0=lnK, b1= -γ。得： 。用一元线性回归方法求得：b0=-5.627, b1=0.5224从而得K=0.0036, γ=-0.5224。模型为： （5-25） 再用表5-2（2）的Pi、Aj及表5-6的时间距离Rij预测得表5-7所示的[qij]。 表5-6例5-4分区间的阻抗 Rij 1 2 3 1 2 3 14 32 40 32 16 22 40 22 12 例完。 表5-7 例5-4引力模型的计算结果 A P 1 2 3 小 计 原预测值 1 2 3 1134 534 581 742 766 794 826 812 1360 2249 2202 2998 1000 1000 1250 小 计 2702 2115 2745 7449 原预测值 1250 900 1100 3250 3、讨论 从表5-7的小计栏结果可见与表5-2（2）的原PA预测值相去甚远，可见引力模型存在较大的误差。其原因不是选用公式（5-21）还是（5-24）的问题，因为取（5-24）作为引力模型也是经过实际数据证实的。其原因是这类模型本质上存在以下不足：此模型的系数无法保证： 和 ，即对系数K没有约束范围。解决办法是增加约束条件，下一小节将研究这个问题。 除系数约束问题外，模型（5-21）、（5-24）还存在内内出行的阻抗值问题：对于一个分区内的出行，Rij值不好确定。当Rij→0时，由此模型将得到qij→∞，故对“内内出行”的出行分布量将会产生偏大的估计。解决方法有两种：一是对qii不用引力模型，而改用回归分析法，以分区规模和交通服务条件作自变量；另一方法是修改“阻抗函数”。现在我们来讨论修改阻抗函数。公式（5-21）、（5-24）中的分母，其实是阻抗的函数，而阻抗的函数可以是多样的，一般地，用f(Rij)表示阻抗函数，常用的有： 1）幂型： ； （5-26） 2）指数型： ； （5-27） f 图例： 幂型； 指数型； 复合型； 半钟型 图5-2 四种阻抗函数 3）（幂与指数）复合型： （5-28） 4）半钟型： （5-29） 5）离散型： （5-30） 前面（5-21）、（5-24）式就是用的幂型，其它的如指数型、复合型、半钟型均能弥补上述幂型的不足。其中指数型因只含一个参数，比较容易标定，较常使用。半钟型含两个参数，使用得少些。（幂与指数的）复合型也含两个参数，但在某些特定的交通方式的出行分布中，有其优势。如城市交通中自行车的出行，很短的距离或很长的距离的出行数量都比较少，而中等距离的出行数量较多，这时针对这种特定交通工具的分布量用这种阻抗函数比较好，当然这属于与交通方式划分相结合的出行分布问题了，见后面第六章。 这里要特别说明一下离散型，它是一种特殊的阻抗函数。其函数表达式为 （5-31） 其中，rm——第m级费用内的阻抗平均值； ——狄拉克函数，当 =1表示从分区i到分区j的费用属于第m级，其它情况 =0。 该函数虽然有多个参数,但比较容易从调查资料中得到。对于与交通方式划分相结合的出行分布（见下面第六章），该类型阻抗函数有其特殊用途。如选择公共汽车出行时，许多出行者主要关心一次出行需要换乘几次公共汽车，那么可以根据换乘公共汽车的次数确定两个分区之间的费用等级。 究竟选用哪种类型的阻抗函数要视具体情况决定。可以先用一些调查数据在坐标系上标出散点图，看它与哪类函数的曲线吻合得较好，然后决定选用哪类阻抗函数。 至于模型中的系数约束问题是一个很重要的问题，因为如例5-4所示，没有约束的系数可能导致出行分布预测的结果与预先作出的产生量和吸引量预测值明显不符。下面就专门研究系数约束问题。 5.3.2 单约束引力模型 1 模型 通过例5-4，我们发现简单引力模型无法保证： （5-32） 现在我们来寻找满足（5-32）式的引力模型。代（5-24）式入上面第一个式子，得 （5-33） 从而得 （5-34） 对一般的阻抗函数f(Rij)，（5-34）式就可写成： （5-35） 此时，有 （5-36） 从而，PA表的第i行元素相加， （5-37） 这样，使用（5-35）式的系数K后，预测得到的PA表每行qij相加，正好等于小计列的产生量Pi，也就是说，通过（5-35）式定义的系数K就对分布量qij从行的角度进行了约束，因此式（5-35）所定义的K就叫“行约束系数”。但其结果仍不能保证 。如果欲从列的角度进行约束，类似地，可以定义一个“列约束系数”： （5-38） 引进了行约束系数或列约束系数的引力模型叫单约束引力模型。引进行约束系数后，引力模型变成 （5-39） 此模型的参数标定问题要比前面少一个参数，无须单独标定靠K，只要标定f(Rij)中的参数，因为只要它标定了，由式（5-35）可算出K来。 2 参数的标定 以下以 为例说明单约束引力模型的参数的标定步骤，用被称为“试算法”的算法。意思是首先试探性地给参数b取一个初值，用现状PA表和阻抗矩阵进行检验，若不合乎精度要求，分析其原因是因为b值太大还是太小了，据此调整b值，进一步再作检验，直到合乎精度要求为止。 算法5-3： 步1：给b一个初值，如b=1。 步2：从模型 算得现状的出行量“理论值” （现状PA表中的qij被称为“实际值”），得现状理论分布表。 步3：计算现状实际PA分布表的平均交通阻抗 ；再计算理论分布表的平均交通阻抗： 。求两者之间相对误差： （5-40） 当 接受关于b值得假设，否则执行下一步。 步4：当 ，即 ，这说明理论分布量小于实际分布量，这是因为参数b太大的缘故，因此应该减少b值，令b=b/2；反之增加b值，令b=2b。返回第2步。 算法结束。 3 补充说明 对于单约束引力模型及其参数标定方法，我们还要作以下补充说明。 1）以上标定b的方法完全适用于取 时关于γ的标定。 2）由（5-34）、（5-35）式我们发现，参数K其实不是常数，它大于0且一般随时间推移不断变小。这出乎人们的预料。推导如下： 以（5-34）式为例，经大量的实际数据验证（田志立等，1995），（5-34）式中的γ是一个常数，与出行目的有关，对于全目的的模型，γ≈0.5。由于一般地，Aj随时间的推移而变大（当分区的非住宅建筑物增多时），而Rij随时间的推移而变小（当分区间的交通设施改善时），于是K就随之变小。 3）正因为单约束引力模型不能同时满足行和列的约束条件，在实际中也不常使用它。下面介绍的双约束引力模型就能克服单约束引力模型的这个缺陷。 5.3.3 双约束引力模型 同时引进行约束系数和列约束系数的引力模型叫双约束引力模型。双约束引力模型的形式是： （5-41a） （i=1, …, n） （5-41b） （j=1, …, n） （5-41c） 式中，Ki、K’j分别为行约束系数、列约束系数。 不难证明，（5-41）式的[qij]同时满足行、列约束条件（5-32）式。下面是以f(Rij)=Rij-r为例的参数标定算法。 算法5-4： 步1：给参数γ取初值，可参照已建立该模型的类似城市的参数作为估计初值，此处令：γ=1。 步2：用迭代法求约束系数Ki、K’ j： 2-1、首先令各个列约束系数K’ j=1（j=1, …, n）； 2-2、将各列约束系数K’ j（j=1, …, n）代入（5-41b）式求各个行约束系数Ki； 2-3、再将求得的各个行约束系数K i（i=1, …, n），代入（5-41c）式求各个列约束系数K’j； 2-4、比较前后两批列约束系数，考察：它们的相对误差<3%？若是，转至第3步；否则返回2-2步。 步3：将求得的约束系数Ki、K’ j代入（5-41a）式，用现状Pi、Aj值求现状的理论分布表[ ]。 步4：计算现状实际PA分布表的平均交通阻抗 ；再计算理论分布表的平均交通阻抗： 。求两者之间相对误差δ（见（5-40）式）。 当∣δ∣<3%, 接受关于γ值得假设，否则执行下一步。 步5：当 ，即 ，这说明理论分布量小于实际分布量，这是因为参数γ太大的缘故，因此应该减少γ值，令γ=γ/2；反之增加γ值，令γ=2γ。返回第2步。 算法结束。 在模型（5-41）时中，有两批参数需要标定：约束系数Ki、K’ j；和f(Rij)中的参数。在算法5-6中用了两层循环，第2步是内循环，任务是求Ki、K’ j；外循环的任务是标定f(Rij)中的参数。都是采用试算法。 下面是一个参数标定实例，在此例中，产生区吸引区是不同的，两者的数目也不同。 例5-5 有2个居住区（1、2号，作为出行产生区）和3个就业分区（3、4、5号，作为出行吸引区），它们的现状分布表和作为阻抗的出行阻抗表[Rij]，如表5-8所示，求其双约束引力模型： （5-42a） （5-42b） （5-42c） 表5-8 例5-5的现状分布矩阵和阻抗矩阵 现状PA出行分布量 交通阻抗Rij A P 3 4 5 小计 A P 3 4 5 1 150 100 50 300 1 3 2 5 2 400 100 200 700 2 3 5 4 小计 550 200 250 1000 解：第一步：给参数γ取初值，令：γ=1。 第二步：用迭代法求约束系数Ki、K’ j。 首先令列约束系数K’3 = K’4= K’5=1代入（5-42b）式求两个行约束系数： 再将求得的K1、K 2带入（5-42）式中求K’3、K’4、 K’5： 至此第一遍迭代完。再将新的K’j（j=3, 4 , 5）值代入式（5-42）求第二遍迭代值Ki： 由新的K1、K2求K’3 = K’4= K’5： 。 第二遍迭代结束。再进行第三遍迭代，求得 。它们与第二遍的完全相同（其实只要相对误差<3%即可）迭代达到收敛，停止迭代。得：在γ=1的前提下， ； 。 第三步：把以上参数代入模型（5-42）式，根据现状Pi、Aj值可算得现状分布理论值： 表5-9 例5-5的理论分布表 A P 3 4 5 1 147.6 95.7 56.7 300.0 2 402.4 104.3 193.3 700.0 550.0 200.0 250.0 1000. 其它结果列于表5-9。从表5-9可见 虽不一定等于qij，但 。 第四步：检验。考察 与qij的相差程度。 针对现状实际PA表的理论分布表求各自的平均交通阻抗： 因 ，可认为 可接受。例完。 §5.4 模型的理论解释 前面两类出行分布预测方法（增长率法、引力模型法）都是来源于人们的直观经验和感性认识，并没有多少理论依据，作为一个完整的理论体系，这显然是一个缺陷，不利于它的进一步发展。本节我们要从应用数学理论出发，探讨它们的理论基础问题。主要从两个角度研究这个问题：一是从概率论的角度，一是从信息论的角度。 5.4.1 概率论的解释 作为出行分布预测的已知条件，为了规划年各个分区的产生量Pi和吸引量Aj是预先知道的，因而这个区域的出行总量Q也是已知， 。从调查数据中可以统计出另外一个已知条件：现状出行分布矩阵 ，设 是现状的出行总量，那么就现状而言，Q0个出行量中有 个是从分区i到分区j的出行，即分区i到j的出行量占总出行量的比率是 ， （5-43） 或者说任意一个出行是分区i到j的出行概率为pij。一般地，我们可以把这个概率作为规划年分区i到j的出行先验概率。那么，现在的问题就是，规划年有Q个出行总量，它将分n×n份，而第(i-1)n+j份（分区i到j）的概率是pij，要求各分区之间的出行量分布{ pij：i=1，2，…，n}，并且这个出行量分布必须满足约束条件： 。由概率论知，这是一个多项概率分布。联合概率函数为 （5-44） 我们当然有理由认为，未来规划年真正出现的出行量分布{ pij：i=1，2，…，n}应该是其中取最大概率值的那种情况。为了简化问题，令（5-44）式两边取自然对数： （5-45） 再借用Stirling近似公式： ，上式变为 （5-46） 因此剩下的问题就是求解下面的数学规划问题： （5-47a） s.t. （5-47b） （5-47c） 使用Lagrange（拉格朗日）方法。Lagrange函数为： （5-48） 式中，αi、βj是Lagrange系数，这些系数待定。让L对qij求偏导，并令这些偏导数为零，即 （i、j=1，2，…，n） （5-49） 解得（注意（5-43）式） （5-50） 令： ， （5-51） 得 （5-52） 这正是式（5-14）所指的Fueness约束条件模型（双约束增长率模型）。由约束条件（5-47b）、（5-47c）式可知参数是这样确定的： （5-53） 这是一个两组参数相互确定的问题，可以用解联立方程组的办法来求解，也可以用相互迭代的办法来求解，我们推荐采用后一种，见5.2.3小节的Furness迭代方法。 我们发现，Detroit增长率模型本质上与（5-52）式是相同的。事实上，由§5.2的迭代过程知，Detroit模型可写成（设W=Q/Q0）： （5-54） 只须令： ，即得式（5-52）的形式。 上面从概率论的角度解释了两个增长率模型的理论来源，下面探讨引力模型的理论来源。 5.4.2 最大熵原理 1948年信息论创始人Shannon（香农）借用热力学中熵的概念提出了“信息熵”的概念：设A={a1, a2,… , an}是某个信息系统X的符号表，A中各个符号出现的概率分布为{p1, p2,… , pn}，则信息系统X的熵为： （5-55） 1957年Jaynes提出了最大信息熵原理：在所有备选的概率分布中挑选这样的分布作为信息系统X的分布，它在某些约束条件下，是信息熵达到最大值的分布。这是因为信息熵取最大值时对应的那组概率分布出现的可能性占绝对优势。后人又将最大信息熵原理推广到一般熵原理，作为决定系统概率分布的标准，广泛应用于气象学、交通科学等领域。一般熵原理就是： 一个确定的概率分布对应一个最大熵值；反过来，满足某些约束条件的最大熵状态必然唯一确定一个概率分布。 据此，我们可以应用这个原理解决交通的出行分布问题。在交通分布中，一共有Q个出行，每个出行有n×n个选择，选择概率为{pij=qij/Q: i,j=1, 2, … ,n}，。其熵为 （5-56） 如前所述，出行分布还须满足（5-47）中的两个约束条件。假定规划年的平均出行阻抗已知，设为 ，则有 （5-57） 这样就得到一个新的约束条件。关于交通方式划分的最大熵原理可用下面数学规划问题来描述（略去常数项）： （5-58a） s.q. （5-58 b） （5-58c） （5-58d） 这个规划问题的Lagrange函数为： （5-59） 式中，αi、βj、γ是Lagrange系数（i、j=1，2，…，n），这（2n+1）个系数待定。让L对qij求偏导，并令这些偏导数为零，即 （i、j=1，2，…，n） （5-60） 解得 （5-61） 令： ， （5-62） 得 （5-63） 这正是§3中的阻抗函数为指数型的双约束引力模型。 如果将上面新的约束条件（5-58d）换成 （5-58e） 那么同理可得到的数学规划问题的解就是 （5-65） 这正是§3中的阻抗函数为幂型的引力模型。 如果将上面两个新的约束条件（5-58d）、（5-58e）同时加入，那么数学规划问题的解就是 （5-66） 这正是§5.3中的阻抗函数为幂与指数的复合型的引力模型。 §5.5 从路段观测流量反推分布矩阵 前面谈的是关于规划年分布矩阵（PA矩阵）的预测问题，有时，我们要面临求现状交通分布矩阵的问题。如进行现状交通分析时，一般都需要知道现状交通分布矩阵；又如前面§2节的增长率法预测规划年的分布矩阵就是以现状分布矩阵为基础的，求现状分布矩阵就是它的一项前期工作。 现状分布矩阵包括：人员出行分布矩阵、货物出行分布矩阵，但问题最终都归结到车辆（主要是机动车）的出行分布矩阵。关于现状车辆分布矩阵的获得一般有三种方法：一是在人员和货物出行分布矩阵的基础上进行方式划分（方式划分见下一章），而得到车辆分布矩阵；二是直接调查各个分区的车辆出行分布数据，构建分布矩阵；三是从各分区的现状车辆的出行量和吸引量（可以是由人员和货物出行产生量和吸引量经方式划分得到）出发，用出行分布模型（如前面的引力模型）推求出来。这些方法都少不了到各个分区去进行人员、货物或车辆的出行调查及统计工作，这些工作都是非常费时和费力的。据有人统计，在作实际的交通规划项目时，调查和统计所花的费用要占项目全部费用的1/2甚至更多。因此探求一种调查量小的求现状出行分布矩阵的方法就显得十分有意义了。本节就是讨论一种新的节省费用的方法，只要有选择地直接调查一些路段上的段面车流量就可由它们反推出车辆现状分布矩阵。交通分配（见第七章）是由车辆分布矩阵推出各路段上的流量，而这里的工作顺序恰恰相反，故称此工作为“PA反推”。 PA反推的基本依据是PA分布量与路段上的流量之间的基本关系式： （5-67） 其中，a——表示路段的编号； Va——路段上的流量； Pija——分区(i, j)间的出行选择路段a的比率，称为路段的选择率； qij——分区间的出行分布量，即为本章前面各节的q0ij，因为在本节不涉及预测问题，只分析现状分布矩阵，故省去了上标0。 由上式，马上想到PA反推的一种方法：假设被观测路段共有m条，由（5-67）式式就得到一个由m个方程组成的联立方程组，解此方程组就可得到{qij}。但是这里存在两个问题： ① 被观测的路段数m必须等于n×n，这将导致很大数目的路段需要观测，如n=30时，则m=900。这样，一则如此大的观测量违背了我们节省调查费用的初衷；二则一个城市可能没有这么多数目的路段可供观测。 ② 路段的选择率本身也是未知的。 因此我们一般不考虑用解方程组的办法，转而探讨其它的办法。自1970年代以来，国外的数学规划和交通规划界学者就开始了PA反推问题的研究，提出了一些反推模型和算法。本节就分析和介绍其中一些主要的成果。 从构造问题的目标函数的角度出发，可将反推模型和算法分成两类：最大似然法和最小余差法。在下面的分析中，假定路段的选择率Pija已知，它的值与所采用的交通分配方法有关，若采用单路径分配法，则 若采用多路径分配法，则 具体求法，请参阅第七章§7.3最短路径和§7.4.3阻抗不变多路径分配方法的有关内容。 5.5.1 最大似然法 将分区之间的PA分布量看作是一个随机变量，其平均值用简单引力模型表示（注意，因为这里不涉及预测问题，简单引力模型是完全适用的），即 （5-68） 其中，εij——相互独立且服从正态分布N(0, σij2)； ——εij的方差，其值为 ； K、γ、c、d——待标定的参数；其它符号意义同前。 可以认为实际的PA分布量是各种可能的分布量中最容易出现的那一组，即最大似然函数所对应的那一组。似然函数为 （5-69） 给似然函数取对数： （5-70） 问题归结为下面的数学规划问题（略去常数项）： （5-71a） s. t. （5-71b） 构造Lagrange函数，得 （5-72） 其中，λa是Lagrange系数。令： L/ qij=0，和 L/ λa=0，结合约束条件，经化简整理可得 （i、j=1，2，…，n） （5-73a） （a=1，2，…，m）（5-73b） 可以看出，如果四个参数（c、K、d、γ）已知，（5-73b）式就是一个关于{λa：（a=1，2，…，m）}的方程组，解此方程组就可求出这m个参数；代这m个参数入（5-73a）式，就可求得[qij]；如果{λa }和[qij]都已知，（5-71a）式的f就成为四个参数（c、K、d、γ）的函数，这时，就可以用求最小解的办法求出这四个参数的值来。如此一来，就形成了一个（c、K、d、γ）→{λa }→[qij] →（c、K、d、γ）的循环关系，可以用下面的迭代算法解出这些未知量来。 算法5-5： 步1：给系数c、K、d、γ各取一个初值。 步2：通过求解（6-73b）的联立方程组得系数λa（a=1，2，…，n）。 步3：由（5-73a）的方程组求解{qij}。 步4：代{qij}入（5-71a）的函数f中，视f为c、K、d、γ的函数，用Newton—Raphson 法求解f取最小值时参数c、K、d、γ的值。 步5：如果各个参数的值收敛，则停止；否则返回第2步。 算法结束。 5.5.2 最小变差法 为了使推算出的理论交通分布量与实际分布量符合程度最佳，应保证理论的分布量与实际的分布量的偏差最小。这可以用以下数学规划问题来描述： （5-74a） s. t. qij≥0 （5-74b） 这是一个带约束的非线性数学规划问题，可用惩罚函数法将它转化为无约束的非线性数学规划问题来求解。定义惩罚函数： （5-75） 其中，R(s)——惩罚因子，迭代时，取R(1)=10，R(s+1)=10R(s)。 惩罚函数的第一项为原目标函数，第二项为惩罚项。在目标函数中加入惩罚项的目的就是通过对惩罚因子的逐步递增，使分布量满足非负的约束条件。引进惩罚项后，原问题转化为无约束的非线性数学规划问题： （5-76） 该问题可用下面的算法求解。 算法5-6： 步1：确定分布量的计算精度ε>0，令迭代次数s=1。 步2：求无约束规划问题（5-76）的最优解 （i、j=1，2，…，n）。 步3：若有某个分布量为负值，则取s=s+1，返回第2步；否则停止迭代，得最优解： . 算法结束。 算法5-6的关键是第2步。下面讨论第2步的无约束数学规划问题（5-76）的求解方法。 令 （5-77） （5-78） 问题（5-76）变成 （5-79） 根据取极值的必要条件，有 （5-80） 代（5-77）式入（5-80）式，经化简得 （5-81a） 其中， （5-81b） 剩下的问题就是解方程组（5-81）。这个方程组有些特殊，因为其中g(i, j)的是qij的函数。可以用以下算法来求解。 算法5-7： 步1：首先设所有的qij >0，于是所有的g(i, j)=0，方程组就变成 （5-82） 解此方程组。 步2：若上方程组的解{qij}全部是非负的，则停止，所求的这组解就是所要求的结果；否则，令其中那些为负qij的所对应的g(i, j)=1，代入方程组（5-81）继续求解。 步3：若新解得的这组解{ qij }与原来那组解对应同号，则停止，所求的解就是所要求的结果；否则执行下步。 步4：在根据新的qij重新设定的g(i, j)值，代入方程组（5-81）继续进行求解，返回第3步。 算法结束。 算法5-7可作为算法5-6的一个子过程嵌到算法5-6的第2步去。 5.5.3 讨论 1）本节所研究的方法和模型都只是针对反推现状PA分布矩阵的，不能用于未来规划年分布矩阵的预测工作。这是因为，对规划年而言，无法知道路段上的交通量Va。 2）模型中有一个基本假定：出行分布量服从（简单）引力模型。这对一个封闭的或近似封闭的区域是没有问题的。但对内外交通和通过型交通占相当比例的情况，就会产生一定的误差。因为以一个区域来说，内外交通和通过型交通并不服从引力模型所描述的规律。或者更准确地说，这两类交通与本区域内的交通不在同一层面上服从引力模型（因为更大范围的区域内的交通也是服从引力模型的，只是所对应的参数不同）。对于非封闭区域解决出入境交通的分布就是问题的另一个关键了。怎样求出出入境交通的分布呢？以城市作为对象区域为例，解决这类问题的办法就是，在城市道路网周边的每条入城干道的入城口设一个调查节点，假想外来车辆就是从这个节点产生的，用停车询问的方式调查该入城口出入城市的车辆的城区内的目的地或来源地、以及产生量和吸引量。即直接调查得到这些周边节点之间、周边节点与城区内节点之间的现状分布情况。而对区域内的节点之间则采用本节的PA反推方法。 3）本节将反推方法分成“最大似然法”和“最小偏差法”，还有另一种分类方法： ① 路段流量Va直接包含在目标函数中； ② 路段流量作为约束条件（见（5-67）式）。 最小偏差法属于前者，最大似然法属于后者。这两种不同的处理方法的精度不同。（5-67）式中的路段流量Va是一个观测值，一般情况下，它本身就有一定的观测误差。果真如此的话，（5-67）式就其实是不成立的， 应该等于路段上的真实流量V*a，而不是观测值 Va。如果这个误差很小，那问题还不大，如果误差较大，若将（5-67）式作为约束条件强制性地与出行分布量构成一致关系的话，就可能会反推出不切实际的分布量，如为负值的分布量。如果将路段流量Va直接包含在目标函数中，就象前面所述的最小偏差法的模型（5-74a），它并不要求 丝毫不差地等于Va，只要求它们的偏差尽可能地小，加之有（5-74b）的约束（根据具体要求，还可以加入其它的约束条件），是不会导致不切实际的分布量来的。因此，一般情况下，选用路段流量Va含在目标函数中的方法（如最小偏差法）比较好。 82 88 _1041573613.unknown _1041749294.unknown _1041861121.unknown _1041863389.unknown _1041864562.unknown _1041865188.unknown _1041865568.unknown _1041919552.unknown _1048515549.unknown _1041919665.unknown _1041919435.unknown _1041919461.unknown _1041865582.unknown _1041865472.unknown _1041864928.unknown _1041864988.unknown _1041864693.unknown _1041864487.unknown _1041864537.unknown _1041864222.unknown _1041861406.unknown _1041861651.unknown _1041862694.unknown _1041861634.unknown _1041861272.unknown _1041861364.unknown _1041861243.unknown _1041753023.unknown _1041756234.unknown _1041756280.unknown _1041756405.unknown _1041756506.unknown _1041756594.unknown _1041756293.unknown _1041756263.unknown _1041755173.unknown _1041756199.unknown _1041754120.unknown _1041749986.unknown _1041752391.unknown _1041752483.unknown _1041750776.unknown _1041749943.unknown _1041749956.unknown _1041749309.unknown _1041581325.unknown _1041603918.unknown _1041619600.unknown _1041623000.unknown _1041659541.unknown _1041660054.unknown _1041666974.unknown _1041747975.unknown _1041749241.unknown _1041749106.unknown _1041661151.unknown _1041664915.unknown _1041660258.unknown _1041659726.unknown _1041660044.unknown _1041659650.unknown _1041623758.unknown _1041659417.unknown _1041623269.unknown _1041620762.unknown _1041621209.unknown _1041621224.unknown _1041620795.unknown _1041620528.unknown _1041620602.unknown _1041620722.unknown _1041620320.unknown _1041604303.unknown _1041619160.unknown _1041619305.unknown _1041606815.unknown _1041604193.unknown _1041604201.unknown _1041603951.unknown _1041582871.unknown _1041602646.unknown _1041603561.unknown _1041603741.unknown _1041602665.unknown _1041603464.unknown _1041601199.unknown _1041602521.unknown _1041583388.unknown _1041582330.unknown _1041582783.unknown _1041582854.unknown _1041582736.unknown _1041581693.unknown _1041582318.unknown _1041581367.unknown _1041580104.unknown _1041580988.unknown _1041581247.unknown _1041581268.unknown _1041581212.unknown _1041580257.unknown _1041580947.unknown _1041580256.unknown _1041579549.unknown _1041579888.unknown _1041579956.unknown _1041579829.unknown _1041576862.unknown _1041579343.unknown _1041573680.unknown _1041496749.unknown _1041519033.unknown _1041519412.unknown _1041520853.unknown _1041520102.unknown _1041520364.unknown _1041520468.unknown _1041520485.unknown _1041520325.unknown _1041520075.unknown _1041519208.unknown _1041519265.unknown _1041519041.unknown _1041497744.unknown _1041516381.unknown _1041518757.unknown _1041498178.unknown _1041515072.unknown _1041515279.unknown _1041516380.unknown _1041512372.unknown _1041497819.unknown _1041496781.unknown _1041496897.unknown _1041496765.unknown _1041493635.unknown _1041494048.unknown _1041494656.unknown _1041494678.unknown _1041494126.unknown _1041493660.unknown _1041493919.unknown _1041493652.unknown _1021643600.unknown 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