高等电磁场《讲义》EM19演讲==================== 高等电磁场讲义 ( 第19讲 ============================ 褚庆昕 =======
第19讲 电磁场量的Lorentz变换(I)
19.1 时间和空间坐标的Lorentz变换
在上一讲我们简单地介绍了Einstein狭义相对论。为了分析简单,假设了惯性系
和
只是沿
轴方向作相对匀速运动。本节我们推广到一般情形。
设惯性系
相对于
的运动速度
为任意方向,如下图所示,在
时刻两惯性系的坐标原点重合。
设
和
分别为
系中
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==================== 高等电磁场讲义 ( 第19讲 ============================ 褚庆昕 =======
第19讲 电磁场量的Lorentz变换(I)
19.1 时间和空间坐标的Lorentz变换
在上一讲我们简单地介绍了Einstein狭义相对论。为了
简单,假设了惯性系
和
只是沿
轴方向作相对匀速运动。本节我们推广到一般情形。
设惯性系
相对于
的运动速度
为任意方向,如下图所示,在
时刻两惯性系的坐标原点重合。
设
和
分别为
系中
时刻和
系中
时刻点
的矢径。将这些矢径分解为平行于速度
和垂直于
的两个分量,即
,
,下标
和
分别
示平行于
和垂直于
的分量。根据上讲给出的Lorentz变换,可以得到
(19-1)
式中,
。因为
,
,所以
以及
于是
(19-2)
式中,
(19-3)
也可将(19-2)写成矩阵形式,并采用Minkovski的四维空间坐标表示为
(19-4)
这时
,
,
,
称矩阵
(19-5)
为Lorentz变换矩阵。显然,
,
,
表示
的转置共轭。
19.2 时间和空间导数的Lorentz变换
· 时间导数变换
设一函数
。由Lorentz变换可知,
又是
和
的函数,所以
利用(19-2), 可得
,
,于是,
,即
(19-6)
· 空间导数变换
因为
根据(19-2),有
由于
,
,
,所以,
,
,于是
即
(19-7)
将(19-6)和(19-7)写成矩阵形式,得
(19-8)
上式的逆变换为
(19-9)
可见,空间和时间导数的变换矩阵仍然是Lorentz矩阵。
下面讨论在低速情况下Lorentz变换的两种近似情况。
1. 一阶Lorentz变换:运动速度远小于光速的低速情况
,即
,
这时,
,
,则空间时间坐标变换近似为
(19-10)
微分算子变换近似为
(19-11)
2. 伽利略变换
如果满足下列条件
(1)
低速, 则
,
(2)
空间小范围
(3)
时间缓慢变化
则Lorentz变换近似为伽利略变换
(19-12)
和
(19-13)
所以,伽利略变换反映的规律是属于低速、小范围和随时间变化缓慢的情况。
19.3 电荷和电流的变换
Einstein相对论的基础是相对性原理和光速不变原理。前面已利用光速不变原理导出了时空坐标以及微分算子的Lorentz变换。下面再结合相对性原理给出电磁场物理量的变换关系。本节考虑电流连续性方程。设在惯性系
中电流连续性方程为
(19-14)
根据相对性原理,在相对
系以速度
运动的惯性系
中,电流连续性方程应保持相同形式
(19-15)
将时间空间微分算子变换式(19-6),(19-7)代入(19-14),得
整理后有
考虑到
,
,
不是时间和空间的函数,则
与(19-15)比较可知
(19-16)
即
从上式可以看出,
系中的电荷在
系中不仅构成电荷,而且还形成一项
方向的电流
,而
系中的电流在
系中既是电流,又形成电荷
,于是构成了两个惯性系中电流连续性方程形式保持不变。电流与电荷仍满足Lorentz变换。
假设在
系中电荷
是静止的,电荷密度为
,电流密度
,由(19-16)得
,根据Lorentz长度收缩可知,
系中的体积元
在
系中收缩为
,
,所以
由此可见,在体积元内包含的电荷在
系和
系中是一个不变量,将上式在整个体积内积分,便得到一个重要的结论:电荷总量在惯性系中是一个不变量,称为Lorentz不变量。不过,应当注意,在
系中的静止电荷,在
系中虽然电荷总量保持不变,但运动状态变了,变成了运动电荷,因而形成了电流。
四、关于张量
的若干公式
在讨论场矢量变换之前,我们先给出
的一些有用公式。
·
(19-17)
也就是说,
是一个对称并矢。根据
的定义(19-3),上式显而易见成立。
·
(19-18)
证:
又
因为
,
所以
。
·
(19-19)
证:由
知,
,而
同理可证
·
(19-20)
·
(19-21)
证:利用
和(19-19)可得
同理可证
·
(19-22)
·
(19-23)
式中,
为任意矢量。
证:
,将(19-21)代入,得
引入并矢
定义
显然,
,即
为反对称张量。引入
的最大好处是可以把矢量的叉乘运算转化成矢量与张量的点乘运算,如,
,
。
满足如下有关公式。
·
(19-24)
证:
.
同理可证
·
(19-25)
·
(19-26)
证:考虑
,由于
为任意矢,则
习题 19
19-1 设有一刚性杆,在惯性系
中是静止的,其长度矢量为
。已知
系相对于惯性系
以速度
匀速运动,问在
系中测量该杆的长度矢量
应是多少?
19-2 证明
((
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PAGE
19-22
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