大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题(本大题共16小题，总计80分)1、(本小题5分)x312x16求极限　limx22x39x212x42、(本小题5分)x求dx.(1x2)23、(本小题5分)1求极限limarctanxarcsinxx4、(本小题5分)x求dx.1x5、(本小题5分)dx2求1t2dt．dx06、(本小题5分)求cot6xcsc4xdx.7、(本小题5分)211求cosdx．1x2x8、(本小题5分)xetcost2dy设确定了函数yy(x),求．ye2tsintdx9、(本小题5分)求3x1xdx．010、(本小题5分)求函数　y42xx2的单调区间Y11、(本小题5分)sinx求2dx．08sin2x12、(本小题5分)设　kt，求．x(t)e(3cost4sint)dx13、(本小题5分)dy设函数yy(x)由方程y2lny2x6所确定,求．dx14、(本小题5分)求函数xx的极值y2ee15、(本小题5分)(x1)2(2x1)2(3x1)2(10x1)2求极限limx(10x1)(11x1)16、(本小题5分)cos2x求dx.1sinxcosx二、解答下列各题第1页，共9页(本大题共2小题，总计14分)1、(本小题7分)某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿问晒谷场的长和宽各为多少时才能使材料最省,,.2、(本小题7分)x2x3求由曲线y和y所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28三、解答下列各题(本大题6分)设证明有且仅有三个实根f(x)x(x1)(x2)(x3),f(x)0.一学期期末高数考试(答案)一、解答下列各题(本大题共16小题，总计77分)1、(本小题3分)3x212解:原式limx26x218x126x　　　limx212x18　　　22、(本小题3分)xdx(1x2)21d(1x2)222(1x)11c.21x23、(本小题3分)1因为arctanx而limarcsin02xx1故limarctanxarcsin0xx4、(本小题3分)xdx1x1x1dx1xdxdx1xxln1xc.5、(本小题3分)dx2求1t2dt．dx0原式2x1x46、(本小题4分)第2页，共9页cot6xcsc4xdxcot6x(1cot2x)d(cotx)11cot7xcot9xc.797、(本小题4分)211求cosdx．1x2x211原式cosd()1xx12sinx118、(本小题4分)xetcost2dy设确定了函数yy(x),求．ye2tsintdxdye2t(2sintcost)解：　　dxet(cost22tsint2)et(2sintcost)　　　　　(cost22tsint2)9、(本小题4分)求3x1xdx．0令　1xu2原式2(u4u2)du1u5u32()25311161510、(本小题5分)求函数　y42xx2的单调区间函数定义域(,)解：y22x2(1x)当，x1y0当x1，　y0函数单调增区间为,1当，函数的单调减区间为x1y01,11、(本小题5分)sinx求2dx．08sin2xdcosx原式209cos2x13cosxln263cosx01ln26第3页，共9页12、(本小题6分)设　kt，求．x(t)e(3cost4sint)dx解：dxx(t)dt　kte(43k)cost(4k3)sintdt13、(本小题6分)dy设函数yy(x)由方程y2lny2x6所确定,求．dx2y2yy6x5y3yx5yy2114、(本小题6分)求函数xx的极值y2ee定义域，且连续解：(),1y2ex(e2x)211驻点：xln22由于xxy2ee011故函数有极小值,,y(ln)222215、(本小题8分)(x1)2(2x1)2(3x1)2(10x1)2求极限limx(10x1)(11x1)1111(1)2(2)2(3)2(10)2原式limxxxx11x(10)(11)xx101121610117216、(本小题10分)cos2xcos2x解:dxdx1sinxcosx11sin2x2d(1sin2x1)211sin2x21ln1sin2xc2二、解答下列各题(本大题共2小题，总计13分)1、(本小题5分)某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿问晒谷场的长和宽各为多少时才能使材料最省,,.第4页，共9页512设晒谷场宽为x,则长为米,新砌石条围沿的总长为x512L2x　　(x0)x512L2　　　唯一驻点　x16x21024L0　　　即x16为极小值点x3512故晒谷场宽为16米,长为32米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省2、(本小题8分)x2x3求由曲线y和y所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28x2x3解:　,8x22x3　x0,x4.281123464xx4xxV()2()2dx()dxx284640011114(x5x7)4564701151244()5735三、解答下列各题(本大题10分)设f(x)x(x1)(x2)(x3),证明f(x)0有且仅有三个实根.证明在连续可导从而在连续可导:f(x)(,),,[0,3];,.又f(0)f(1)f(2)f(3)0则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在(0,1),(1,2),(2,3)使f()f()f()0123123即至少有三个实根又是三次方程它至多有三个实根f(x)0,f(x)0,,,由上述有且仅有三个实根f(x)高等数学（上）试题及答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）21、lim(13x)x______.。x0exx02、当k=1时，f(x)在x0处连续．x2kx0第5页，共9页dxx/x+13、设yxlnx,则______dyy=x+14、曲线yexx在点（0，1）处的切线方程是25、若f(x)dxsin2xC，C为常数，则f(x)cos2x。二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）x1、若函数f(x)，则limf(x)（D）xx0A、0B、1C、1D、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（B）1x2A.ln(x0)B.lnx(x1)C.cosx(x0)D.(x2)xx24C3、满足方程f(x)0的x是函数yf(x)的（）．A．极大值点B．极小值点C．驻点D．间断点4、下列无穷积分收敛的是（B）11A、sinxdxB、e2xdxC、dxD、dx000x0x5、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则AMB=AA、B、C、D、342三、（每小题7分，本题共56分）4x21、求极限lim。x0sin2x112、求极限lim()x0xex1cosxet2dt3、求极限lim1x0x24、设ye5ln(x1x2)，求yxln(1t2)d2y5、设fy(x)由已知，求yarctantdx2第6页，共9页126、求不定积分sin(3)dxx2x7、求不定积分excosxdx1x01ex8、设f(x)，求2f(x1)dx1x001x四、应用题（本题7分）求曲线yx2与xy2所围成图形的面积A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。五、证明题（本题7分）1若f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)f(1)0，f()1，证明：2在(0,1)内至少有一点，使f()1。参考答案一。填空题（每小题3分，本题共15分）x1、e62、k=1．3、4、y15、f(x)2cos2x1x二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、D2、B3、C4、B5、A三．计算题（本题共56分，每小题7分）4x2x12x11.解：limlimlimx0sin2xx0sin2x(4x2)2x0sin2x(4x2)811ex1xex1ex12.解：lim()limlimlimx0xex1x0x(ex1)x0ex1xexx0exexxex2cosxet2dtsinxecos2x13、解：lim1limx0x2x02x2e1114、解：y(1)x1x21x21x2第7页，共9页1dy1t215、解：dx2t2t1t21d2yddy1t2()dx2t2dx2dtdxdt2t4t31t212122126、解：sin(3)dxsin(3)d(3)cos(3)Cx2x2x32x7、解：excosxdxcosxdexexcosxexsinxdxexcosxsinxdexexcosxexsinxexcosxdxex(sinxcosx)C8、解：2f(x1)dx1f(x)dx0f(x)dx1f(x)dx…0110dxdx0111ex01xex0(1)dxln(1x)111ex01ln(1ex)0ln211ln(1e1)ln(1e)四．应用题（本题7分）解：曲线yx2与xy2的交点为（1，1），于是曲线yx2与xy2所围成图形的面积A为12311A(xx2)dx[x2x2]133030A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为：1y2y513V(y)2y4dy251000第8页，共9页五、证明题（本题7分）证明：设F(x)f(x)x，11显然F(x)在[,1]上连续，在(,1)内可导，2211且F()0，F(1)10.221由零点定理知存在x[,1]，使F(x)0.121由F(0)0，在[0,x]上应用罗尔定理知，至少存在一点1(0,x)(0,1)，使F()f()10，即f()1…1第9页，共9页