高等电磁场《讲义》EM19演讲

==================== 高等电磁场讲义 ( 第19讲 ============================ 褚庆昕 ======= 第19讲 电磁场量的Lorentz变换(I) 19.1 时间和空间坐标的Lorentz变换 在上一讲我们简单地介绍了Einstein狭义相对论。为了分析简单，假设了惯性系 和 只是沿 轴方向作相对匀速运动。本节我们推广到一般情形。 设惯性系 相对于 的运动速度 为任意方向，如下图所示，在 时刻两惯性系的坐标原点重合。 设 和 分别为 系中 时刻和 系中 时刻点 的矢径。将这些矢径分解为平行于速度 和垂直于 的两个分量，即 ， ，下标 和 分别表示平行于 和垂直于 的分量。根据上讲给出的Lorentz变换，可以得到 (19-1) 式中， 。因为 ， ，所以 以及 于是 (19-2) 式中， (19-3) 也可将(19-2)写成矩阵形式，并采用Minkovski的四维空间坐标表示为 (19-4) 这时 ， ， ， 称矩阵 (19-5) 为Lorentz变换矩阵。显然， ， ， 表示 的转置共轭。 19.2 时间和空间导数的Lorentz变换 · 时间导数变换 设一函数 。由Lorentz变换可知， 又是 和 的函数，所以 利用(19-2), 可得 ， ，于是， ，即 (19-6) · 空间导数变换 因为 根据(19-2)，有 由于 ， ， ，所以， ， ，于是 即 (19-7) 将(19-6)和(19-7)写成矩阵形式，得 (19-8) 上式的逆变换为 (19-9) 可见，空间和时间导数的变换矩阵仍然是Lorentz矩阵。 下面讨论在低速情况下Lorentz变换的两种近似情况。 1. 一阶Lorentz变换：运动速度远小于光速的低速情况 ，即 ， 这时， ， ，则空间时间坐标变换近似为 (19-10) 微分算子变换近似为 (19-11) 2. 伽利略变换 如果满足下列条件 (1) 低速， 则 ， (2) 空间小范围 (3) 时间缓慢变化 则Lorentz变换近似为伽利略变换 (19-12) 和 (19-13) 所以，伽利略变换反映的规律是属于低速、小范围和随时间变化缓慢的情况。 19.3 电荷和电流的变换 Einstein相对论的基础是相对性原理和光速不变原理。前面已利用光速不变原理导出了时空坐标以及微分算子的Lorentz变换。下面再结合相对性原理给出电磁场物理量的变换关系。本节考虑电流连续性方程。设在惯性系 中电流连续性方程为 (19-14) 根据相对性原理，在相对 系以速度 运动的惯性系 中，电流连续性方程应保持相同形式 (19-15) 将时间空间微分算子变换式(19-6)，(19-7)代入(19-14)，得 整理后有 考虑到 ， ， 不是时间和空间的函数，则 与(19-15)比较可知 (19-16) 即 从上式可以看出， 系中的电荷在 系中不仅构成电荷，而且还形成一项 方向的电流 ，而 系中的电流在 系中既是电流，又形成电荷 ，于是构成了两个惯性系中电流连续性方程形式保持不变。电流与电荷仍满足Lorentz变换。 假设在 系中电荷 是静止的，电荷密度为 ，电流密度 ，由(19-16)得 ，根据Lorentz长度收缩可知， 系中的体积元 在 系中收缩为 ， ，所以 由此可见，在体积元内包含的电荷在 系和 系中是一个不变量，将上式在整个体积内积分，便得到一个重要的结论：电荷总量在惯性系中是一个不变量，称为Lorentz不变量。不过，应当注意，在 系中的静止电荷，在 系中虽然电荷总量保持不变，但运动状态变了，变成了运动电荷，因而形成了电流。 四、关于张量 的若干公式 在讨论场矢量变换之前，我们先给出 的一些有用公式。 · (19-17) 也就是说， 是一个对称并矢。根据 的定义(19-3)，上式显而易见成立。 · (19-18) 证： 又 因为 ， 所以 。 · (19-19) 证：由 知， ，而 同理可证 · (19-20) · (19-21) 证：利用 和(19-19)可得 同理可证 · (19-22) · (19-23) 式中， 为任意矢量。 证： ，将(19-21)代入，得 引入并矢 定义 显然， ，即 为反对称张量。引入 的最大好处是可以把矢量的叉乘运算转化成矢量与张量的点乘运算，如， ， 。 满足如下有关公式。 · (19-24) 证： . 同理可证 · (19-25) · (19-26) 证：考虑 ，由于 为任意矢，则 习题 19 19-1 设有一刚性杆，在惯性系 中是静止的，其长度矢量为 。已知 系相对于惯性系 以速度 匀速运动，问在 系中测量该杆的长度矢量 应是多少？ 19-2 证明 (( � EMBED Word.Picture.8 ��� PAGE 19-22 _1036480873.unknown _1036481323.unknown _1036481620.unknown _1036481790.unknown _1036481829.unknown _1036483909.unknown _1036483971.unknown _1069233235.unknown _1069233258.unknown _1069230810.unknown _1036483928.unknown _1036481867.unknown _1036481875.unknown _1036481882.unknown _1036481886.unknown _1036481879.unknown _1036481871.unknown _1036481835.unknown _1036481852.unknown _1036481858.unknown _1036481863.unknown _1036481855.unknown _1036481848.unknown _1036481832.unknown _1036481804.unknown _1036481815.unknown _1036481824.unknown _1036481811.unknown _1036481798.unknown _1036481800.unknown _1036481793.unknown _1036481634.unknown _1036481692.unknown _1036481784.unknown _1036481649.unknown _1036481628.unknown _1036481631.unknown _1036481623.unknown _1036481524.unknown _1036481542.unknown _1036481603.unknown _1036481606.unknown _1036481553.unknown _1036481532.unknown _1036481535.unknown _1036481528.unknown 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_1036479181.unknown _1036479184.unknown _1036479177.unknown _1036479133.unknown _1036479163.unknown _1036479169.unknown _1036479153.unknown _1036479146.unknown _1036479102.unknown _1036479107.unknown _1036479128.unknown _1036478195.doc � EMBED Equation.2 ��� P � EMBED Equation.2 ��� � EMBED Equation.2 ��� � EMBED Equation.2 ��� � EMBED Equation.2 ��� 0 � EMBED Equation.2 ��� _974177695.unknown _974177998.unknown _974178068.unknown _974178228.unknown _974177867.unknown _974177631.unknown _1036479098.unknown _973770751.unknown