浙江省专升本历年真题卷

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷一、填空题函数的连续区间是。。(1)x轴在空间中的直线方程是(2)过原点且与x轴垂直的平面方程是14.设函数f(x)1(x1)22e(",x1(x1)2a,x1,当abx1,x1,b时，函数f(x)在点x1处连续。5.设参数方程，(1)当r是常数，是参数时，则鱼dx(2)当是常数，「是参数时，则dx选择题1.设函数y()时，HYPERLINK"bookmark359"\o"CurrentDocument"当当当当2.设函数yf(x)在［a,b］上连续可导，cf(x)在xc处取得极大值。(a,b)，且f'(c)0，则当f'(x)0,当cxb时，f'(x)0,当cxb时，f'(x)0,当cxb时，f'(x)0,当cxb时，axc时，axc时，axc时，axc时，f'(x)0,f'(x)0,f'(x)0,f'(x)0.f(x)在点xxo处可导，则f(x。3h)f(x。2h)(A)f(x。)，(B)3f(x。)，(C)4f(x。)，(D)5f(x。).TOC\o"1-5"\h\zx2ce,x0i3.设函数f(x)0,x0,贝U积分Jxdx()。e,x01(A)1,(B)0(C)—,(D)2.e设级数和级数都发散，则级数是().发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)可能发散或者可能收敛三.计算题1.求函数y(xx1)x的导数。2.求函数y2x21在区间(一1,2)中的极大值，极小值。3.求函数f(x)x2ex的n阶导数dnfodxn4.计算积分。5.计算积分。6.计算积分10x2exdxo8.把函数展开成x1的幂级数，并求出它的收敛区间。求二阶微分方程的通解。设a,b是两个向量，且|a2,^3,求|a2b2a2b2的值，其中|a示向量a的模。四.综合题.计算积分sin_xsin—xdx，其中n,m是整数。022.已知函数f(x)4ax33bx22cxd,其中常数a,b,c,d满足abed0,(1)函数f(x)在(0,1)内至少有一个根，（2）当3b28ac时，证明函数f（x）在（0,1）内只有一个根。2005年高数（一）答案（A）卷一.填空题1.连续区间是（,0）(0,1)(1,)2.123.（1）或者，或者xt,y0,z0（其中t是参数），（2）x04.a0,b15.(1),(2)3y2x'.选择题题号12345答案BDBD二.计算题。1.解:令Inyxln(x2x1),（3分）则'rx(2x1),/2y[2ln(xx21)](xx1)xx1（7分）2.解：y'23x4xx(3x4），驻点为(分）（法一）y6x4,y"(0)40,y(0)1(极大值），(5分),（极小值）.（7分）（法二）x-1(-1,0(0,43)(43,2)20）1y正0负0正y-2递增1递减男7递增5分）当x0时，y1（极大值），当X43时，y527（极小值）（7分）解：利用莱布尼兹公式dnfdxn（7分）[x22nxn（n1）]ex1x23x0dx21（x1）（x2）dx—]dx1（3分）（7分）5.解:（7分）5.解:（其中（3C是任意常数）（7分）6.解:6.解:=（x22）ex1（2x01）eXdx（3分）=2-=2—（3e1）2e33e2e（7分）8:解：（2分）（『3-1,（5分）收（7分）9.解：特征方程为2210，特征值为1（二重根），齐次方程的通解是~（qC2x）ex，其中Ge是任意常数.（3分）的特解是yx2,所以微分方程的通解是是任意常数2(gc2x)ex，其中(6分)c1,c2（7分）10.解：（3分）a2b22b(a2b)(a2b)(a2b)(a2b)2(a26（7分）四.综合题：1.解：（法一）sin红」xdxsin如」xdx0分）-[cos(n2。m1)xcos(nm)x]dx(4丄[2nm11[cos(nm1)x20分)(法二)当nm时.2n1,.2m1,sinxdxsinxdx=02分)sin(n1)x1]dx—1—sin(nnm12，—1[cos(n2。m)x]-sin(n11)x0,n(10cos(nm)x]dxm1)x1sin(nnmm)x]0(7分)当nm时sin也」xdxsinxdx=0222m1.22nsin021xdx[1cos(2n1)x]dx0:业专考报(10分)2.证明：(1)考虑函数F(x)ax4bx3cx2dx,(2分)F(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，F(0)F(1)0,由罗尔定理知，存在(0,1)，使得F'()0，即F'()f()0，就是f()4a33b22cd0,所以函数f(x)在(0，1)内至少有一个根.(7分)(2)f'(x)F"(x)12ax26bx2c因为3b28ac，所以222(6b)4(12a)(2c)36b96ac12(3b8ac)0，f'(x)保持定号，f(x)函数f(x)在(0，1)内只有一个根.(10分)2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷一、填空题TOC\o"1-5"\h\z1.limn2^3_5n。n函数f(x)26xx28的间断点是。(x2x3)(x5)若f(x)；C1xJx),x0在x0处连续，则AA,x04.设yxln(x.x21)，贝U史。dxHYPERLINK"bookmark276"\o"CurrentDocument"。微分方程的通解y。选择题函数f(x)的定义域为0,1，则函数的定义域()。校学考报ABCD0,1当x0时，与x不是等价无穷小量的是(当x0时，与x不是等价无穷小量的是(Asinxx2Bxsin2xCtanxx3Dsinxx3.设F(x)0f(t)dt，其中，则下面结论中正确(BF(x)1x3?°x1x,1x2DF(x)13,x,°x132x,1x234.曲线yx(x1)(2x),(°x2)与x轴所围图形的面积可表示为()。Aqx(x1)(2x)dx12Box(x1)(2x)dx1x(x1)(2x)dxx(x1)(2x)dx21x(x1)(2x)dx2Dox(x1)(2x)dx设a,b为非零向量，且ab，则必有(Bab-ab*■—*■-f-―1Dabab计算题•计算。.设yx[cos(Inx)sin(lnx)]，求业dx.设函数，求业。dx4•计算不定积分。计算定积分。求微分方程满足的特解。7.求过直线，且垂直于已知平面x2y3z50的平面方程。8.将函数f(x)ln(x23x2)展开成x的幂级数，并指出收敛半径。10.当a为何值时，抛物线yx2与三直线xa,xa1,y0所围成的图形面积最小，求将此图形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积。综合题:业专考报:业专考报1.(本题8分)设函数f(t)在［0,1］上连续，且f(x)1，证明方程:2xoxf(t)dt1在(0,1)内有且仅有一实根。2.(本题7分)证明：若m0,n0,a0,则xm(ax)nmn(mn)mna。(本题5分)设f(x)是连续函数，求证积分—型凹一dxf(sinx)f(cosx)校学考报：号证考准：名姓校学考报：号证考准：名姓2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷(A卷)答案填空题1.limn2^3_5n5。n2.函数f(x)；6x(x22x—2x8的间断点是x3。3)(x5)3.若f(x)1x1x),x0在x0处连续，则A1A,x04.。设yxln(xJx21)，则5dxln(xx1)Jx2132(1x)cosx,5.22dx21sinx28.微分方程的通解为yx2In(eC），其中C为任意常数选择题1、C2、D3、D4、C5、B计算题1•计算。x6（3\（X解：=Hm（1丄）寸汁（2）3分xx63-23-25分6分7分2.设yx[cos(Inx)sin(lnx)]，求dy。dx解;dy[cos(Inx)sin(Inx)]x[sin(Inx)1dxx分2.设yx[cos(Inx)sin(lnx)]，求dy。dx解;dy[cos(Inx)sin(Inx)]x[sin(Inx)1dxx分cos(lnx)-]x2cosInx2cosInx7分3.设函数，求dydx解2分dxdt2e2tcos212e2tsintcost2t22t2esint2esintcostdt4分dy2t22dydt2e(costsintcost)(costsintcost)dxdx2e2t(sin2tsintcost)(sin2tsintcost)dt7分•计算不定积分.1——22~dxsinxcosx.22sinxcosx~~22dxsinxcosx■-■■■■■■■■■3分……7分5.计算定积分。解…^3^分■-■■■■■■■■■3分……7分5.计算定积分。解…^3^分11[2厂]dxsinxcosxcotxtanxC1dx0xx0ee012xdx1arctanex0arctane—4…'5分7分求微分方程满足的特解。解：微分方程对应的特征方程为2r3r20(r1)(r2)0特征根为r11,r221分而1，所以r11为单根5………2分对应的齐次方程的通解为YGexC2e2x3分非齐次方程的通解为y*Cxex代入原方程得C24分有通解yGexC2e2x2xex5^分有C1C21G2C220G0,c21有解2xye2xex7.求过直线，且垂直于已知平面x2y3z50的平面方程。解：通过直线的平面束方程为3x2yz1(2x3y2z2)0即(32)x(23:)y(12)z(12)03分要求与平面x2y3z50垂直，则必须1(32)2(23)3(12)042026分所求平面方程为x8y5z50………7分8.将函数f(x)In(x23x2)展开成x的幂级数，并指出收敛半径。f(x)ln(x1)(x2)ln(x1)ln(x2)In2ln(1ln(1x)■-■■■■■■■■■■3分ln20古)n1(1)0ln21)n2*1—)x7分10.当a为何值时，抛物线yx2与三直线xa,xai,y0所围成的图形面积最小，求将此图形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积。解：设所围面积为S(a)S(a)3312’(a1)axdx3………2分S'(a)(a1)22a1S"(a)20所以为最小的面积12/754分122Vx1y2dx2-2"x4dxo80四；综合题1•设函数f(t)在［0,1］上连续，且f(x)1，证明方程2x:f(t)dt1在(0,1)内有且仅有一实根。X证明：令F(x)2xof(t)dt1，贝U在［0,1］上F(x)连续，………2分11F(0)10,F(1)20f(t)dt110f(t)dt0,4分由闭区间上连续函数的介值定理知道在(0,1)内至少存在一点c,使得F(C)05^分又因为F'(x)2f(x)10，所以F(x)单调上升，F(x)0在0,1内最多有一个根，所以2x:f(t)dt1在0,1内有且仅有一个实根。………7分2.证明：若2.证明：若m0,n0,a则xm(ax)n(mmnmn(an)F(x)xm(ax)nF(x)mxm1(anmn1x)nx(ax)m1/x(ax)n1[m(ax)nx]xm1(ax)n1[ma(mn)x]令，(当m,n1时，x0,xa,此时F(0)F(a)0)''maF()mnm(m八/ma、m2/nano/ma、m1,na、n11)()()2mn()(nmnmnmn)所以是F(x)在ma、mzna、n2n(n1)(mn1n1mn2mna.、mn3(mn)上的极大值，有唯一性定理知：是最大mnma、mnmnF(x)F()mramn(mn)3.设f(x)是连续函数，求积分f(sinx)dx的值。f(sinx)f(cosx)解:2f(sinx)0f(sinx)f(cosx)dxf(cosx)dxf(sinx)f(cosx)2I-f(sinx)f(cosx)dx0f(sinx)f(cosx)2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷一、填空题TOC\o"1-5"\h\z函数的定义域是。.设y5sin3x，贝y业。dx•极限lim1xn1x2dx。n0积分.设则yTOC\o"1-5"\h\z6.积分sin7xsin9xdx。08•微分方程xdxx2yy3ydy0的通解。选择题11.设fx3x1sincx1，则x1是fx的（）。3x22lnxx1（A）连续点（B）跳跃间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点2.下列结论中正确的是（）(A)右，贝Uhman存在，(B)若limanA，贝»,n(C)若limanA,limbnB,n7n7则lim(an)bnAB,n(D)若数列a2n收敛，且a2na2r,10n,则数列an收敛。3.设，，贝U当x0时，x是x的（）。（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶但非等价无穷小（D）低阶无穷小已知函数，贝卩（）(C)e2(D)（A）e2（B）2e计算题设，求dy。dx.由方程所确定的y是x的函数，求3。dx•计算极限。.计算积分e3sinx2cosxdx。计算积分。计算积分。求经过点1,1,1且平行于直线的直线方程。9.任给有理数a，函数fx满足fxQxfatdt1，求fx将函数在点x。1处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不考虑）。综合题设直线yax与抛物线yx2所围成的图形的面积为S1，直线yax,x1与抛物线yx2所围成的面积为S2，当a1时，，试确定a的值，使得SSS2最小。当Ox时，求证。《高等数学（一）》答案填空题:TOC\o"1-5"\h\z1.2,33.y3sin2xcosx5sinxin504.5.498.lnx2y2y2C选择题：1、A2、D.计算题:1.解。y2lncosx1ln21y2tanx14ln3x；21ln4x1ln4xlnx2tanx24—x1lnx3、C4、D2。解：方程两边对x求导数，得1xy2xy2x2yxyy22xy2x2yy1xyy2x2yy12yx2x2y2x2yx2y12x12xyyyy0x2y3.解:令tx31limcos、x1limcost0limsint11xy2xy2x2yxyy22xy2x2yy1xyy2x2yy12yx2x2y2x2yx2y12x12xyyyy0x2y3.解:令tx31limcos、x1limcost0limsint12x0xtotto2t213sinxe4.解：原式=5.解：=13xd(ex3sinxed3sinx3xd^£lmexC壬e1e1xIn1exC.解：=4e2xsec2x02tanxdx「Ne^sec2xdx20^e2xtanxdx=e2xtanx204e2xtanxdx204e2xtanxdx尹怡nxe2解：平行于直线的直线的方向向量应是i7j3k所求直线方程为。解：原方程两边对x求导数，得1)所以fx满足fxfx2)由原方程令x0，得f01，由方程(方程(2)对应的特征方程为2所以(2)有通解fxC1cosxC2sinxo1,得G1，即fxcosxC2sinxosinxC2cosx，f0C2facosaC2sina，所以，则f所以，则fcosxcosasinxo1sina解:收敛区间为，四、综合题:1.解：当0SSS2axa3，令SaSa2a当a0时，SS]S2x1x1n"Tn0"T1时，x2dx得。所以在0axx2dxayax与n1x1。02x2的交点坐标是0,0和1x2axdxax2的交点坐标是0,0和1x2axdx02a,a，则a,a2，则a.a.1旦a3a12332623°，则Sa在a0时单调减少。故在a0时，S0为Sa的最小值，即。又因为，所以在a1时，S的最小值在时取到，即SminSmin1"23、证明：令，则TOC\o"1-5"\h\zxxxcostan222x—x当0X时，，fX0，从而fx在0,内单调减少，所以fx2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷选择题TOC\o"1-5"\h\z1.函数fXX21COSX是（）o（C）有界函数（D）（A）奇函数（B）偶函数周期函数2.设函数fx|x，则函数在x0处是（）。（A）可导但不连续（B）不连续且不可导（C）连续且可导（D）连续但不可导3.设函数fx在0,1上，，则成立（）dfdxdfdxx1dfdxdfdxx0dfdxdfdxdfdfdxx0dxx1方程zx2y2表示的二次曲面是（）（A）椭球面（B）柱面（A）椭球面（B）柱面（C）圆锥面（D）抛物面5.设fx在a,b上连续,在a,b内可导,fafb,则在a,b内，曲线yfx上平行于x轴的切线（）（C）不一定存在（A）至少有一条（B）仅有一条（D）不存在填空题TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK"bookmark88"\o"CurrentDocument"计算。设函数fx在x1可导，且，则。.设函数f2xInx,贝U。曲线yx33x2x的拐点坐标。设arctanx为fx的一个原函数,贝卩fx。。7.定积分x2xdx。10.设平面过点1,0,1且与平面4xy2z80平行，则平面的方程为。计算题:（每小题6分，共60分）计算。设函数fxex,gxcosx,且,求。dx计算不定积分。计算广义积分。设函数，求。设fx在0,1上连续，且满足，求fx。求微分方程的通解。将函数fxx21n1x展开成x的幂级数。综合题设平面图形由曲线yex及直线ye,x0所围成，1求此平面图形的面积；2求上述平面图形绕x轴旋转一周而得到的旋转体的体积。:号证考求函数yx33x21的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.求证:当x0时,.《高等数学（一）答案选择题:（每小题4分,共20分）题号12345答案BDCCA.填空题:（每小题4分,共40分）TOC\o"1-5"\h\z1；2.2;3.丄；4.2x（1,3）；5.；6.fx；7.-3；10.4xy2z2.3计算题（每小题6分，共60分）解法一.由洛必达法则到..41.6分xIn1t于令ex1t,则2分是，lim-一1limt1.x°xt0In1t2.dgdxsinxsinxedxx1x2tdt11t2dtt22arctantC.则..2故•..6分3.解法t2.5分2arctan.xC.6分解法idx2d(.x)—2—2x1x1,x….4分2arctanxC.分4.xexdxxxedx.3分xe01..6分5.0x4dx21fxdx20fxdx21fxdx01cosxdx0.3分.6分6.解.设,两边对已给等式关于1fxdx01exdx012Adx0.4分fxex21….6分7.解.特征方sinx翌sin15积分,得到2Ak2kfxdx..5分得到特征根..1分TOC\o"1-5"\h\zkiOK1,故对应的齐次方程的通解为yC|c2ex,..3分由观察法，可知非齐次方程的特解疋，•…..5分因而，所求方程的通解为，其中C1,C2是任意常数..6分8.解■因为234n1In1xxxxx1nx(1x1),….3分234n1234n1所以x2In1xx2/x(xxx1nx)234n1456n3_3xxx1nx(1x1).=x234n1O分..6TOC\o"1-5"\h\z综合题:（每小题10分，共30分）解法一(1)..4分1exexee110..6分⑵...9分2xe2e2-e21e2122..12分解(1)….3分X1.ee01..6分(2)..9分2x12分令,得至Ux10,x22(驻令,得至Ux10,x22(驻解.定义域为(，),-y3x26x3xx2dx点),.2分由，得到X31,.3分x(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)dy_dx+0————0+d2ydx2————++yt极大值——11V极小值——5..8分【、FI-故(,0)(2,)为单调增加区间，(0,2)为单调减少区间；分极大值为—1,极小值为-5,……..11分(,1)为凸区间，(1,)为凹区间…12分分3.证明.令Fxxln11丄x[ln(x1)Inx],xdFin1xdxInx111xIn1XInX,x1xx1….2分利用中值定理,,其中xx1,.4分所以，因此,当x0时，Fx是单调增加的，•…5时,.时,...6分2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷一、填空题写出函数的水平渐近线和垂直渐近线。选择题4•可微函数、.；-r一在点」—处有I:是函数I/I...在点..处取得极值的(充分条件，「"充分必要条件，)。必要条件，■':既非充分又非必要条件。计算题计算极限.函数方程，其中变量匸是变量.的函数，求;和厂ax必求微分方程cosxdy(sinx)ysinx的通解.dx直线x1把圆x2y24分成左，右两部分，求右面部分绕y轴旋转一周所得的旋转体体积•综合题：（本题共2个小题，每小题10分，共20分）设n,m是整数，计算积分2005年高数（二）答案（A卷）一.填空题3.(1)y0,(2)x2选择题4、D计算题.解：==7.解:Fx,y2x22xyy204x2y2dyx一单0dxdx2(2xy)2(x、dyy)7~dx0dy2xyx1dxxyxydy(xy)x(1)dx_d2ydx2(xy)x(xy)2(xy)2(xy)2x2(xy)32x22xyy2(xy)3(3分)7分）解:（5分）yCcosx1（其中（7分）yCcosx1（其中（7分）C为任意常数）10.解：直线x1与圆x2（2分）右面部分绕.3V［（4（5分）10.解：直线x1与圆x2（2分）右面部分绕.3V［（4（5分）y24的交点是R（1,.3）,P2（1,.3）,y轴旋转一周的所得几何体的体积y2）i]dy（7分）1[cos（nm）xcos（nm）x]dx201[cos（nm）xcos（nm）x]dx20（3分）综合题:1.解：（10分）2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷一、填空题3axsin4xe1若f(x)x，x0在x0连续，则TOC\o"1-5"\h\zax0ao曲线在t2处的切线方程为o设函数y(2x1)slnx，则其导数为o22(1xcosx)dx=o设ycos(sinx),贝Udydxo曲线y.IFx与直线x1,x3及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周，所得旋转体体积为o微分方程y4y5y0的通解为o若级数收敛，则的取值范围是o二.选择题1・()-在当x0时，f(x)(A)高阶无穷小(D)低阶无穷小级数为((A)绝对收敛无法判断二.选择题1・()-在当x0时，f(x)(A)高阶无穷小(D)低阶无穷小级数为((A)绝对收敛无法判断-(C)xsinx是比x2的(等价无穷小).(B)条件收敛1(D)不存).同阶无穷小(C)发散(D)().2(A)2(B)3345.广义积分为()(A)1(B)0().2(A)2(B)3345.广义积分为()(A)1(B)04.曲线yx2与直线y1所围成的图形的面积为(D)1计算题1.计算极限。计算函数的导数y3计算由隐函数eyxlny确定的函数yf(x)的微分dy。4•判别正项级数的敛散性。计算不定积分。求幂级数的收敛半径与收敛区间。计算定积分0计算微分方程满足初始条件y(0)1的特解。计算函数ysin(lnx)的二阶导数y。将函数ylnx展成(x1)的幂级数并指出收敛区间.综合题nn1.设0ab，证明不等式an1-abn1(n2,3,…)。n(ba)2.设函数f(x)x2of(x)dx，求f(x)在区间［0,2］上的最大值与最小值。13.设f(x)a3.设f(x)asinx，x0,(为实数)0,x0试问在什么范围时，f(x)在点x0连续；f(x)在点x0可导。4.若函数f(x)Qx(xt)f(t)dtex，求f(x)。2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷(A)参考答案及评分一、填空题1.若f(x)x°在x0连续，则x0sin4xe3ax1a1.2.曲线在t2处的切线方程为y3x7.3.设函数y(2x1严，则其导数为y(2x1严［cosxln(2x1)沁］.2x14.2(1xcosx)dx=4.5.设ycos(sinx)，贝卩dycosxsin(sinx)dx.曲线y战与直线x1,x3及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周，所得旋转体体积为(31n32).7.微分方程y4y5y0的通解为ye2x(C1cosxC2sinx).若级数收敛，则的取值范围是二、选择题1、B2、A3、B4、C5、D二、计算题计算极限解：=解：=(5分)(6分)计算函数的导数y.解1:两边取对数，得lnylny2lnx-ln(1x)1ln(122x)(1分)两边求导数:；蠱F（4分）(6分)解2:由于y12lnx[ln(1x)ln(1x)]e2，所以2lnxx)ln(1x)](4分)=（6分）3计算由隐函数eyxlny确定的函数yf（x）的微分dy.解：方程两边关于x求导数，把y看成x的函数.（3分）解得（4分）所以函数yf（x）的微分（6分）（4分）5•判别正项级数的敛散性.解1:由于，所以an,nln（1g）nn13（3分）nn迈已知级数收敛（5分）由比较判别法知级数收敛.（6分）小V^ln（1A）1ln（12）解2:取，limlimnbnnn1limn—一1（4分）n13~2n㊁n因为级数收敛（5分）所以原级数收敛。（6分）5.计算不定积分解1:=（4分）=2arctanxC（6分）解2:设tx，则xt2,dx2tdt，于是2arctantC2arctantC（5分）2arctan,xC(6分)(6分)解:Unilim3n1x2(n1)|un3nx2n当X0时，limn3x2（2分）所以当3x21，即时，幂级数收敛；当3x21，即时，幂求幂级数的收敛半径与收敛区间级数发散，所以幂级数的收敛半径（3分）由于时，级数成为1发散。（5分）n0因此幂级数收敛区间为（6分）11.计算定积分xsin2xdx0解：由于公式，所以xsin2xdx=0（2分）111=-(xxcos2x)dx—xdx—xcos2xdx202020=（3分）—2xsin2x1sin2xdx(5分)4404012.计算微分方程满足初始条件y（0）1的特解.解:分离变量得（2分）两边积分于是有1d(1y2)21y2d(1x2)1x24(6分)13.解:14.解:12121即一ln(1y)—ln(1x)-C222或ln(1y2)ln(1将初始条件y(o)所求特解是y2计算函数yx2)C1代入得2x21In2(4分)(6分)sin(lnx)的二阶导数y.(5分)(3分)sin(lnx)cos(lnx)sin(lnx)cos(lnx)(§分)将函数x2x2ylnx展成(x1)的幂级数并指出收敛区间.因为yInxln[1(x1)](1分)根据幂级数展开式ln(1x)3「(1)nn1x——…，1x1n(2分)于是23lnx(x1)7区丄231)n1(x1)nn(5分)收敛区间是x(0,2］(6分)四、综合题1.设0ab，证明不等式nn1bn(ba)(n2,3,…)证明：设f(x)xn,n2，(2分)则f(x)在闭区间［a,b］上满足定理条件，于是存在一点(a,b)，使(3分)(4分)因为n2且ab，所以an1n1bn1,(5分)因此，从而.(7分)2.设函数f(x)x2：f(x)dx，求f(x)在区间［0,2］上的最大值与最小值.22解：由于定积分of(x)dx是一确定的实数，设of(x)dxk(1分)对f(x)的等式两边积分有222f(x)dxxdx00于是kof(x)dx2k2kdx0(2分)由上式解得(3分)令f(x)2x0得驻点(4分)当x(0,2)时，恒有f(x)0，表明f(x)在区间(0,2)内严格增加，(5分)所以是函数f(x)在［0,2］的最小值所以是函数f(x)在［0,2］的最小值(6分)3.3.是函数f(x)在［0,2］的最大值.(7分)丄设f(x)xsin7x0，(为实数)试问0,x0在什么范围时(1)f(x)在点x0连续;(2)f(x)在点x0可导.解:(1)当0时，x是x0时的无穷小量，而sin1是有界变x(2分)所以当所以当(3分)0时，limf(x)limxsin丄0f(0)x0x0xTOC\o"1-5"\h\z即当0时，f(x)在点x0连续。(4分)(2)当1时，由导数定义及有界变量乘无穷小量是无穷小量，得f(0)[i叫f(x)f(0)Xm0x(6分)xoxx0x=(7分)所以当1时，f(x)在点x0可导.(8分)4.若函数f(x)o(xt)f(t)dtex，求f(x).解：f(x)x0f(t)dtotf(t)dtex上式两边关于x求导数f(x)of(t)dtxf(x)xf(x)ex,f(x)of(t)dtex(1分)f(x)f(x)ex(2分)记yf(x),则上式是二阶常系数非齐次微分方程，即yye(I)yy0的通解是y*GexC2ex,GC为任意常数。(3分)由于1是yy0的特征方程r210的单根，所以设yaxex是方程(I)的一个特解，于是有yaexaxex与y2aexaxex将它们代入方程(1)得(4分)于是方程(1)的通解为yC1exC2ex珅,()这里G,C2为任意常数.从已知条件可求得，f(0)1,f(0)1并代入方程()(5分)f（0）C1C21f（0）c,C2解得所求函数f(x)?e4xxe2（8分）（7分）2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷填空题填空题••业专考报校学考报：号证考校学考报：号证考TOC\o"1-5"\h\z设y1ln(x1)，其反函数为。设，函数y的可去间断点为。设y(x)xex，则曲线y(x)与直线x1及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为。级数收敛的必要条件为。确定曲线的垂直渐近线为；斜渐近线为。广义积分。对于y(x)2y(x)2y(x)xexsinx，其特解可以假设为。、选择题1.曲线y3x1的拐点为()(A)(0,1)(B)(1,0)(C)(1,2)(D)无拐点2.当x0时，(1cosx)2是sin2x的().(A)冋阶但不是等价无穷小(B)等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小3.若f(1)2,则()(A)2(B)2(C)1(D)0对于幂级数，下列说法中正确的为()(A)当p1时，发散(B)当p1时，条件收敛当p1时，条件收敛(D)当p1时，绝对收敛若yxsinx，ysinx分别为非齐次线性方程ypyqyf(x)的解，则y(x1)sinx为下列方程中()的解：(A)ypyqy0(B)ypyqy2f(x)(C)ypyqyf(x)(D)ypyqyxf(x)二、计算题1.求曲线y2xex1在点(0,1)的切线方程和法线方程。2.,求y(x)。3.求微分方程y2y5y2ex的通解。设函数yy(x)由方程xy20edt2确定，求微分dy求极限。确定级数的收敛性。计算定积分0x2、..4x2dx.确定幂级数收敛半径及收敛域，其中a为正常数。求。10.求解微分方程yycosxsinxe四、综合题四、综合题1.将函数yarctanx展开为麦克劳林级数2.2.12n](x)cosxc(0)1，(0)1，3.设f(x)x,x0，其中(x)具有二阶导数，且x-ea,x0(0)0，(0)1，(1)确定a的值，使f(x)在x0处连续;⑵求f(x)。4.设f(x)在[1,)具有连续导数，且满足方程x2f(x)：(1t2)f(t)dt1,求f(x)。2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》试卷(A)参考答案及评分标准一、填空题：(只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分)设y1ln(x1)，其反函数为yex11.设，函数y的可去间断点为一.设y(x)xex，则曲线y(x)与直线x1及x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为.级数Un收敛的必要条件为limUn0.nn1确定曲线的垂直渐近线为二」，斜渐近线为yx1.广义积分1.对于y(x)2y(x)2y(x)xexsinx，其特解可以假设为*xye[(AxB)cosx(CxD)sinx].二、选择题1、A2、C3、A4、D5、B二、计算题11.求曲线y2xex1在点（0,1）的切线方程和法线方程.解：y(x)2ex2xex（1分）y(0)2（1分）切线方程：y2x1（2分）法线方程：（2分）12.,求y(x)）.解:lny1x122In(x21)（3分）y#(1-2x2-)（3分）2x21x113.求微分方程y2y5y2ex的通解.解:1)y2y5y0特征方程为r22r50，解为r12i(2分）通解为yex(C1cos2xC2sin2x)(2分）2）设特解为y*Aex，代入求得（1分）故原方程通解为yex(C1cos2x1xC2sin2x)e4（1分）14.设函数yy（x）由方程xy2yt2edt02确定，求微分dy.解:2y22xyyyey0（4分）（2分）15.求极限.解：（2分）（2分）（2分）16.确定级数的收敛性.解:（1分）由比值判另I」法（3分）由比较判别法判断原级（2分）17.计算定积分x24x2dx.0x2sintdx2costdt（1分）2x2sint0x2.4x2dx22204sin12costdt（1分）（2分）（2分）22（1cos4t）dt18.确定幂级数收敛半径及收敛域，其中a为正常数.解:（2分）收敛半径为Ra(1分）当xa时级数发散(1分）当xa时级数收敛(1分）故收敛域为[a,a)(1分）19.求•解x2x:332x122x(x1)xx1(3分)(1分)x2x322dx3lnxln(x1)arctanxCx(x1)（3分）20.求解微分方程yycosxesinx.解:1)yycosx0（1分）InysinxCyCesinx(1分)2)sinxyu(x)e(1分）sinxsinxu(x)eu(x)cosxeycosxu(x)esinxesinx,解得，u(x)X(1分)(1分）（XsinxC)e四、综合题4.将函数yarctanx展开为麦克劳林级数.解：y11x2n2n(1)x0(3分)arctanx斗"1°2n1(3分)[1,1](1分)5.计算nim[」1_-n22n解:nn22n_1_n22nnn22(3分)limn_n2^21(3分)可得lim[n(1分）（x）cosx6.设f(x)xxea,,x0，其中（x）具有二阶导数，且（0）1，x0(0)0，(0)⑶确定a的值，使f(x)在x0处连续;⑷求f(x).limf(x)1x0(1分）limf(x)x0lim(x)11x0cosxx(1分）limx0(x)x(0)1cosxx(0)f（x）在x0处连续，且f（0）(1(1分）(2)f'(x)((x)sinx)x((x)cosx)x2(1分）f'(x)(1分）0时，已知（x）具有二阶导数，且(0)1，(0)(0)1,由f(0)limx0(X)cosxf(0)xxlimx0(x)cosx2x(x)sinxlimx02xlim且~x02x(0)sinx2x(0)2(1分)(1分）因为f(0)f(0)1,所以f'(0)1.((x)sinx)x((x)cosx)(1分）4.设f(x)x2f(x)x1°(1分）(1分）Iny(1分）(1分）(1分)在［1,)t2)f(t)dt1(xCe2x1)y2lnx2ln|x|1y(1)f(x)1,xe,求f(x).f(x)2xf(x)x2f(x)(1x2)f(x)0y(1)1(2分)B.单调函数必是D.连续函数必是D.有综（1分）2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一.选择题1.当x0时,secx21是—的（2）。A高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不是等阶无穷小D.等阶无穷小下列四个命题中成立的是（）‘A.可积函数必是连续函数连续函数C.可导函数必是连续函数可导函数TOC\o"1-5"\h\z设fx为连续函数，则等于（）A.fxCB.fxC.D.4.函数fx乂3$"乂是（）.A偶函数B.奇函数C.周期函数界函数