一、等价无穷小的概念与性质概念:当x→x(或x→∞)时,limf(x)=O,那么称
f(x)在x→x时(或x→00∞)时为无穷小量。当lim=1,就说与是等价无穷小。性质1:设,,,,等均为同一自变量转变进程中的无穷小,11若~,~,且lim1存在,那么lim=lim1.1111性质2:设,,,等均为同一自变量转变进程中的无穷小,且~,~,那么~注:性质1说明等价无穷小量的商的极限求法。性质2说明等价无穷小的传递性关于等价无穷小的和与差,有以下性质:性质3:设,,,,是同一极限进程中的无穷小量,且~,~,1111且lim≠-1,那么+~+11性质4:设,,,是同一极限进程中的无穷小量,且~,~,1111若是lim≠1,那么-~-11性质5:设、、、及、、、是同一极限进程中的无穷小量,1111AC知足~,~,~,~,且lim≠-1,lim≠-1,其中1111BDABABA、B、C、D为常数,那么有lim=lim11CDCD11另外等价无穷小在幂指函数中有以下性质;性质6:设,,,是同一极限进程中的无穷小量,且~,~,111111那么有lim(1)=lim(1)11性质7:设,,,是同一极限进程中的无穷小量,且~,~,1111其中〉0,〉0,那么有lim=lim111性质8:当x→0时,无穷小量(x)~(x),且(x)与(x)在[0,x]xx上持续,那么有(t)dt~(t)dt00二、等价无穷小的应用⑴、利用等价无穷小的性质求函数极限①利用等价无穷小的传递性直接求函数极限常见的等价无穷小有:当x→0时,x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(1+x)~ex-1,1x1-cosx~x2,n1x~1+,(1x)2-1~2x2ntanxsinx例1.limx0x3x2解:∵当x→0时,tanx~x,1-cosx~2tanx(1cosx)那么原式=limx0x31x.x2=lim2x0x31=2注:此
也可用罗比塔法那么,但通过比较,显然等价无穷小代换计算更直接简单。1例2:求lim(cot2x)x0x2tan2xx2解:原式=limx0x2tan2x(tanxx)(tanxx)=limx0x42x(tanxx)=lim(∵tanx~x)x0x42(tanxx)=limx0x32(sec2x1)=limx03x22tan2x=lim3x0x22=3注:假设直接用罗比塔法那么,那么会显现以下结果:tan2xx2原式=limx0x2tan2x2(secx.tanxx)=limx02xtan2x2x2tanx.secxsecx(tan2xsec2x)1=limx0tan2x4x.tanx.secxx2secx(sec2xtan2x)式子越变越复杂,不能求出极限,而结合等价无穷小那么专门快可求出。另外等价无穷小思想也可用二元函数求极限ln[1x(x2y2)]例3:求lim(x,y)(0,0)x2y2解:因为当(x,y)→(0,0)时,ln[1x(x2y2)]与x(x2y2)为等价无穷小x(x2y2)因此原式=lim(x,y)(0,0)x2y2=limx(x,y)(0,0)=0②利用等价无穷小的和差的性质求极限1cosx3sinx例4:求limx0ex1sinxx21cosx解:∵lim=lim2=0≠-1x03sinxx03xex1exlim==1≠-1x0sinxcosx由性质3可知:x23x1cosx3sinx3lim=lim2=x0ex1sinxx0xx2ln(13xsinx)arcsinx2例5:求limx0ex2sinx1ln(13xsinx)3xsinx解:∵lim=lim=3≠1x0arcsinx2x0x2ex21x2lim=lim=0≠1x0sinxx0x由性质4可知:ln(13xsinx)arcsinx2原式=limx0(ex21)sinx3xsinxx2=limx0x2x3sinxx=limx0x1=0注:利用性质3时必然要注意,假设~,~,有前提条件lim≠-111时,有+~+;同理,利用性质4时必然要注意若~,~,有1111前提条件lim≠1时,才有-~-。11tanxxtanxxxx假设求lim假设直接如此计算lim=lim=0那么是错误的。x0x3x0x3x0x3因为忽略了性质3的前提条件,不知足条件,故不能用等价无穷小取代。③利用等价无穷小在幂指函数的性质求极限1tanx1例6:求lim()sin3xx01sinx1tanx1sinxtanxsinxtanx(1cosx)解:因为==1+1sinx1sinx1sinxtanx(1cosx)x2x3当x→0时,~x.=sin3x~x31sinx22由性质5可知:1tanx1原式=lim()sin3xx01sinx1=lim(1x3)x3x02=e例7:求lim(arcsinxsinx)x2sinxx0解:当x→0时,arcsinxsinx~2xx2sinx~3x由性质6可知:lim(arcsinxsinx)x2sinx=lim(2x)3x=lim23xx3x=lim(xx)3=1x0x0x0x0④利用等价无穷小在积分中的性质求极限sin2xln(1t)dt例8:求lim0x01x21解:∵ln(1t)~tsin2xsin2x由性质8有:ln(1t)dttdt00sin2xtdt∴原式=lim01x0x221sin22x=lim21x0x224sin2xcos2x=limx02xsin4x=limx0x=4⑵、利用泰勒
确信等价无穷小求极限泰勒局部公式:假设(1)函数f(x)在x某邻域xx内有概念;00(2)在此邻域内有一直到n-1阶的导数f'(x),f''(x),…f(n1)(x);(3)n阶导数fn(x)在x点存在;00nfk(x)则f(x)a(xx)x(xxn)其中a0(k=0,1,…,n)k00kk!k0nfk(0)专门当x=0时,有f(x)xk(xn)k!k0