数学数列中由递推关系求数列的通项题型归类(完整版)实用资料

数学数列中由递推关系求数列的通项题型归类（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）数列中由递推关系求数列的通项题型归类新教材明确指出：数列可以由其递推关系式及前几项给定。根据递推关系求解通项，除用计算----猜想----证明的思路外，通常还可以对某些递推关系式进行变换，从而转化成等差、等比数列或易于求出通项的数列的问题来解决。下面分类说明这些常见的递推关系的类型及其解法。1　类型一：（其中d是常数）显然，由知｛｝是等差数列，则2　类型二：（其中q是不为0的常数）显然，则知｛｝是等比数列，于是3　类型三：，方法：叠加法例1、在数列｛｝中，，且，求.解：由得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………由上面等式叠加得，故。　　4　类型四：，方法：叠乘法　　例2、在数列｛｝中，，且，求.　　解：由已知得，，则有，，，……，，这（）个等式叠乘得，，则。　　5　类型五：（其中p，q是常数，且）方法：参数法　　例3、已知数列｛｝满足，且，求.　解：引入参数c，令，即，与已知比较知c=1，于是有，即数列｛－1｝是以为首项，3为公比的等比数列，则，故　　6　类型六：　　　（1）若（其中k,b是常数，且）方法：升降足标法　　例4、在数列｛｝中，，且满足，求.解：∵①，∴，两式相减得，，令，则，利用类型五的方法知，，即②，再利用类型三的方法知，；亦可联立①、②解出。　　（2）若（其中r是常数，且）　方法：两边同乘　　例5、在数列｛｝中，，且满足，求.　　解：将已知的两边同乘，得，令，则，利用类型五的方法知，则。　　7　类型七：（其中p，q是不为0的常数）　方法：倒数法　　例6、数列｛｝中，若，，求.解：∵，∴，即数列｛｝是以为首项，为公差的等差数列，则，即。　　变式：若类型七变为的结构时，仍可使用倒数法。　　例7、在数列｛｝中，若，，求.　　解：∵，∴，令，则，利用类型五知，，则。　　8　类型八：（其中p，r为常数，且）方法：对数法　　例8、在数列｛｝中，若，，求.　　解：由，知，对两边取以3为底的对数得，，则数列｛｝是以为首项，2为公比的等比数列，则，，即。　　9　类型九：（其中p，q为常数，且）方法：转化法　　例9、数列｛｝中，若，，且满足，求.　　解：把变形为，则数列｛｝是以为首项，3为公比的等比数列，则利用类型三的方法可得，。　　变式：若结构变为（其中p，q为常数，且满足）方法：待定系数法　　例10、已知数列｛｝满足，且，，求.　　解：令，即，与已知比较，则有　，故或下面我们取其中一组来运算（另一组同学们自己练习），即有，则数列｛｝是以为首项，3为公比的等比数列，故，即，利用类型六（2）的方法，可得。　　十　类型十：递推关系由与的关系给出　方法：运用互化解决　　例11、已知数列｛｝的前n项的和为，且满足，又，求.　　解：∵时，有，∴由，得即，亦即，故数列｛｝是以为首项，2为公差的等差数列，∴，则　　故当时，　　显然上式对时不成立，则　　十一　其它类型　　例12、数列｛｝中，，，求.　　解：由知，，即有，故数列｛｝是以为首项，为公差的等差数列，从而，则　　评注：方法是配方法。例13、设数列｛｝是首项为1的正项数列，且满足，求.　　解：原递推式可以分解为由于，则有，故知，利用类型四的方法可解出。　　评注：方法是因式分解法。例14、已知数列｛｝中，，数列｛｝中，，且当时，，，求，.解：由于，两式相加得①再由两式相减得，这表明数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，则②联立①、②，解之得：，　　评注：方法是加减法。　　例15、已知数列｛｝中，，，，（其中），求.　　解：由知，，再由知，，于是，则于是综上可知：当时，　　　　　当时，　　评注：方法是奇偶分类法。　　总之，由递推关系求数列的通项，核心是把所给递推式变形构造成等差或等比数列来解决。同学们应该熟练掌握上面归纳整理的这些常见的递推关系，以利于正确、快速地解决相关问题。征方程法求解递推关系中的数列通项    湖北省竹溪县第一高级中学　徐　…   wybylw   毕业论文   2021-9-191:48:18        考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列的项满足               其中求这个数列的通项.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1　设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1　已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2　已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须现在考虑一个分式递推问题（*）.例3　已知数列满足性质：对于且求的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2　如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换则      ①∵是特征方程的根，∴将该式代入①式得  ②将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是                               ③当，即=时，由②式得故当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：      ④由是方程的两个相同的根可以求得∴将此式代入④式得令则故数列是以为公差的等差数列.∴其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得       ⑤由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由⑤式可得：       ⑥∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.∴将上两式代入⑥式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注：当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题.解：依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有∴∴即例4　已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）∵对于都有（2）∵∴令，得.故数列从第5项开始都不存在，当≤4，时，.（3）∵∴∴令则∴对于∴（4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.    相关论文    数学活动是初中数学教学的主旨越复数的多元数（二）组对边相等一组对角相等的四边形是平行四边形吗放创新，以情施教怎样将数学教学变为数学活动的教学浅析        由递推公式求数列的通项（说课稿）青浦一中叶志丰一、学情分析和教法设计：1、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节专题探究课，将会根据递推公式求出数列的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。2、教法设计：本节课设计的指导是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。在教学过程中采取如下方法：①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。二、教学设计：1、教材的地位与作用：递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。对数列的递推公式的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考常新的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。2、教学重点、难点：教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。教学难点：解题过程中方法的正确选择。3、教学目标：(1)知识与技能：会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、化归等方法求数列的通项公式。(2)过程与方法：①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力；②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。(3)情感、态度与价值观：①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；②通过对数列递推公式和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。三、教学过程：（1）复习引入：复习数列的递推公式、等差和等比数列的递推公式，并解决问题例1。（2）问题探究及变式训练：例2：例3：根据下列递推公式求通项公式：例4：根据下列递推公式求通项公式：（3）课堂小结（4）作业布置三、课后反思：递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。求递推数列通项公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、换元法等等。只要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。2008/11/25