多项式插值的震荡现象

多项式插值的震荡现象————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：?第二次作业——多项式插值的振荡现象实验２.1多项式插值的振荡现象问题提出:考虑在一个固定的区间上用插值迫近一个函数。明显Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关怀插值多项式的次数增添时，Ln(x)能否也更为凑近被逼进的函数。设区间[－1,１]上函数1f(x)125x2实验内容:考虑区间［－１，1]的一个等距区分，分点为xi12i,in则拉格郎日插值多项式为nLn(x)i010,1,2,,n,125xi2li(x)此中，li(x),i0,1,2,,n是n次lagranｇe插值基函数。funcｔioｎt_charpt2％输入插值结点resuｌｔ＝iｎputdｌg({'请输入插值结点数N1：'},'chaｒpｔ＿2',1，{'３'})N1=stｒ2nuｍ(cｈar(resｕlt)）;reｓult=ｉｎｐutｄｌg({＇请输入插值结点数N2:'},'cｈａrｐt＿2',1,｛＇5'}）N2＝ｓtｒ２ｎｕｍ(char(reｓｕlt)）；result=inｐutdlg({＇请输入插值结点数N3:'},'charpt_2'，１,｛'10'})Ｎ3=str2ｎum(chａｒ(result））；result=inputdlｇ({＇请输入插值结点数N４:'},'ｃｈarｐt_2',1，{'１5'})N4=str2num(chaｒ（rｅｓult));ｉf（N1<1|N2<1｜N3<1|Ｎ4<１)eｒrordlg（'结点输入错误!＇);retｕrｎ;ｅｎd％插值结点小于1时错误f=inlinｅ('１./（1+2５*x．^2)'）;a=－1;b=1;％函数fｘ1=linspace(a,b,N１+1)；2=linspace(ａ,b,Ｎ2+1)；x3=linｓpａｃe(a，b,N3+1);x4=lｉｎspaｃe（a,ｂ，Ｎ4+１);y1=ｆeｖal(f,x1);y2=feｖal(ｆ,x2);y３=feval（f,x3）；y4＝feｖal(f,ｘ4）；ｘ=a:0.1:b;inｔｅr1＝Lａｇｒanｇe(ｘ1,y1,x);iｎtｅr２=Lagｒａnge(x2,y2，x);inteｒ３=Lagrainter4=Lａgｒanｇｅ(x4,ｙ4，x);%intｅｒ１为插值结点为３,iｎｔer2为插值结点为5，iter4为插值结点为1５fｐｌot(ｆ,［a,b]，'-'）;%画标准函数f的图形ｎge(x3ｎｔer3，ｙ3，x);为插值结点为１0,ｉｎoldｏn；plot(x,inter1，'-－＇）;plot（x，iｎter2,＇*');plot(x,ｉnter３,＇－．＇);plｏt(ｘ,inter4，':')；％画插值迫近函数legend('f','inteｒ１','inｔｅｒ2','iｎter3','ｉnｔer4')xlａbel（＇ｘ'）;ylabｅl（'y＝f(x)oandy=Ln(x)-－＇);％---－----－－---－------------－－－-----－－-----－--－--－---------－-－-－-funcｔionｙ＝Ｌａgrange(x0,ｙ0,ｘ)n=ｌｅnｇｔｈ(x0);ｍ=ｌength(x）;ｆori=１:mz＝x（i);s=０.0;ｆork=１:ｎp=1.0；ｆｏrj=1:ｎif（j~=k)ｐ=p*（z-x0(j）)/(ｘ0（k）－x0(j));endends＝s＋ｐ*y０（ｋ);ｎｄ（ｉ）＝ｓ；eｎd1图1、函数f(x)125x2的拉格朗日插值多项式结果剖析:多项式插值迫近结果如下图,ｉnｔｅr1为插值结点为3,inｔer２为插值结点为５,iｎteｒ3为插值结点为10,inteｒ４为插值结点为15。当结点数由3个结点增添为5个结点时，函数图形越凑近,当插值结点增添到１０时，曲线圆滑,函数迫近成效在曲线的中间部分（-0.6，0.6）比较好,可是由上图在两个端点处x=－1和x=1邻近时会出此刻与原函数f(ｘ)误差会很大（龙格现象）。能够看出，适合提升插值多项式次数，能够提升迫近的精度,可是太高反而会产生不良的现象。由函数x1x4和g(x)arctanx的拉格郎日插值多项式的迫近结果能够得出h(x)同样的结论。x图2、函数h(x)1x4的拉格郎日插值多项式图3、函数g(x)arctanx拉格郎日插值多项式由上图函数h(x)x的拉格郎日插值多项式和函数g(x)arctanx拉格郎日插值多式x41的拟合图形能够看出，采纳插值多项式时,适合增添插值结点能够提升拟合的精度,可是当插值结点过于大时都会出现龙格现象。