新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测（四十六） 三角函数的应用

课时跟踪检测（四十六）三角函数的应用A级——学考合格性考试达标练1．简谐运动y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(π,3)))的相位与初相是(　　)A．5x－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)　　　　　　　B．5x－eq\f(π,3)，4C．5x－eq\f(π,3)，－eq\f(π,3)D．4，eq\f(π,3)解析：选C　相位是5x－eq\f(π,3)，当x＝0时的相位为初相即－eq\f(π,3).2．最大值为eq\f(1,2)，最小正周期为eq\f(2π,3)，初相为eq\f(π,6)的函数达式是(　　)A．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,6)))B．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))C．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))D．y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))解析：选D　由最小正周期为eq\f(2π,3)，排除A、B；由初相为eq\f(π,6)，排除C.3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(π,3))).则在时间t＝eq\f(2π,3)时，s1与s2的大小关系是(　　)A．s1＞s2B．s1＜s2C．s1＝s2D．不能确定解析：选C　当t＝eq\f(2π,3)时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2.选C.4.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　)A．2，eq\f(1,π)B．eq\f(1,2)，eq\f(1,π)C.eq\f(1,2)，πD．2，π解析：选B　当t＝0时，θ＝eq\f(1,2)sineq\f(π,2)＝eq\f(1,2)，由函数解析式易知单摆周期为eq\f(2π,2)＝π，故单摆频率为eq\f(1,π).5．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是(　　)A．y＝3sineq\f(π,6)t＋12B．y＝－3sineq\f(π,6)t＋12C．y＝3sineq\f(π,12)t＋12D．y＝3coseq\f(π,6)t＋12解析：选A　由相邻两次高潮的时间间隔为12h，知T＝12，且T＝12＝eq\f(2π,ω)(ω＞0)，得ω＝eq\f(π,6)，又由高潮时水深15m和低潮时水深9m，得A＝3，k＝12，由意知当t＝3时，y＝15.故将t＝3，y＝15代入解析式y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋12中，得3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×3＋φ))＋12＝15，得eq\f(π,6)×3＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ(k∈Z)．所以该函数的解析式可以是y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋2kπ))＋12＝3sineq\f(π,6)t＋12.6．函数y＝－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))(x≥0)的初相为________．解析：由诱导公式可知y＝－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，故所求的初相为－eq\f(π,3).：－eq\f(π,3)7．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60]．解析：秒针1s转eq\f(π,30)弧度，ts后秒针转了eq\f(π,30)t弧度，如图所示，sineq\f(πt,60)＝eq\f(\f(d,2)　,5)，所以d＝10sineq\f(πt,60).答案：10sineq\f(πt,60)8．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωπt＋\f(π,4)))＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．解析：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωπt＋\f(π,4)))＋60，最高油价80美元，所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150ωπ＋\f(π,4)))＝－1，此时150ωπ＋eq\f(π,4)＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，因为ω>0，所以令k＝1，得150ωπ＋eq\f(π,4)＝2π－eq\f(π,2)，解得ω＝eq\f(1,120).故ω的最小值为eq\f(1,120).答案：eq\f(1,120)9．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．解：(1)T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)(min)．(2)f＝eq\f(1,T)＝80.(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)．即收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90mmHg，在正常值范围内．10．如果某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足y＝Asin(ωx＋φ)＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，如图所示．(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)观察图象知8～14时这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，eq\f(1,2)T＝14－8＝6，∴T＝12，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).b＝eq\f(1,2)×(50＋30)＝40，A＝eq\f(1,2)×(50－30)＝10，∴y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，又|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).∴所求解析式为y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))＋40，x∈[8，14]．B级——面向全国卷高考高分练1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则(　　)A．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3　　　　B．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5解析：选B　由题意知A＝3，ω＝eq\f(2π×4,60)＝eq\f(2π,15).2．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)A．[0，1]B．[1，7]C．[7，12]D．[0，1]和[7，12]解析：选D　由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).又∵当t＝0时，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，t∈[0，12]．可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]．3．已知简谐振动的振幅是eq\f(3,2)，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))，则该简谐振动的频率和初相是(　　)A.eq\f(1,6)，eq\f(π,6)B.eq\f(1,8)，eq\f(π,3)C.eq\f(1,8)，eq\f(π,6)D.eq\f(1,6)，eq\f(π,3)解析：选B　由题意可知，A＝eq\f(3,2)，32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))eq\s\up12(2)＝52，则T＝8，ω＝eq\f(2π,8)＝eq\f(π,4)，y＝eq\f(3,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋φ)).由eq\f(3,2)sinφ＝eq\f(3,4)，得sinφ＝eq\f(1,2).∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).因此频率是eq\f(1,8)，初相为eq\f(π,6).4．如图所示，一个大风车的半径为8m，每12min旋转一周，最低点离地面2m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是(　　)A．h＝8coseq\f(π,6)t＋10　B．h＝－8coseq\f(π,3)t＋10C．h＝－8sineq\f(π,6)t＋10D．h＝－8coseq\f(π,6)t＋10解析：选D　依题意可设h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，易知T＝12，A＝8，B＝10，所以ω＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，则h＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πt,6)＋φ))＋10，当t＝0时，8sinφ＋10＝2，得sinφ＝－1，可取φ＝－eq\f(π,2)，所以h＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋10＝－8coseq\f(π,6)t＋10.5．示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标M(2，4)和P(6，0)，已知M，P是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则得曲线的方程是________．解析：由题意可设曲线方程为y＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0)．因为eq\f(T,4)＝4，所以T＝16，所以ω＝eq\f(2π,16)＝eq\f(π,8)，所以y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ)).又曲线经过点M(2，4)，所以eq\f(π,8)×2＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以φ＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z，所以y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4))).答案：y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4)))6．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0解析：设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，T＝0.8，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,0.8)＝eq\f(5π,2).又由4sinφ＝－4.0，可得sinφ＝－1，取φ＝－eq\f(π,2)，故y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t－\f(π,2)))，即y＝－4coseq\f(5π,2)t.答案：y＝－4coseq\f(5π,2)t7.如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过ts到达OB，求h与t间关系的函数解析式．解：(1)过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.当eq\f(π,2)＜θ≤π时，∠BOM＝θ－eq\f(π,2)，h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))；当0≤θ≤eq\f(π,2)，π＜θ≤2π时，上述解析式也适合．综上所述，h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))).(2)因为点A在⊙O上逆时针运动的角速度是eq\f(π,30)rad/s，所以ts转过的弧度数为eq\f(π,30)t，所以h＝4．8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＋5.6，t∈[0，＋∞)．8．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如下表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0(1)作出这些数据的散点图；(2)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b和y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．解：(1)散点图如图所示．(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．令A＞0，ω＞0，|φ|＜π.由图可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).把t＝0，y＝1代入y＝0.4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1(0≤t≤24)．(3)由y＝0.4sineq\f(π,6)t＋1≥0.8，得sineq\f(π,6)t≥－eq\f(1,2).则－eq\f(π,6)＋2kπ≤eq\f(π,6)t≤eq\f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．C级——拓展探索性题目应用练如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝keq\r(x)(k＞0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)，x∈[4，8]))的图象，图象的最高点为Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(8\r(3),3)))，且DF⊥OC，垂足为点F.(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为eq\f(4,3)，点E在OC上，求儿童乐园的面积．解：(1)由图象，可知A＝eq\f(8\r(3),3)，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,4×（8－5）)＝eq\f(π,6)，将Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(8\r(3),3)))代入y＝eq\f(8\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))中，得eq\f(5π,6)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq\f(π,3)(k∈Z)．因为|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)，故y＝eq\f(8\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))，x∈[4，8]．(2)在y＝eq\f(8\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))中，令x＝4，得D(4，4)，从而得曲线OD的方程为y＝2eq\r(x)(0≤x≤4)，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4\r(3),3)))，所以矩形PMFE的面积为S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,3)))×eq\f(4\r(3),3)＝eq\f(32\r(3),9)，即儿童乐园的面积为eq\f(32\r(3),9).