群决策理论与方法

PAGE\*MERGEFORMAT#群决策理论与方法四川农业大学经济管理学院研究生教学讲义陈冬冬第一章前言把主体关于客体的价值判断作为衡量事物优劣的根本，以便在是非优劣之间作出选择，是人类最基本的实践活动之一。以抉择活动为研究对象的科学，即决策科学，主要研究非确定性客体和多属性客体的价值判断理论和抉择方法。决策的本质是选择。决策人的愿望和要求、价值观，即偏好可以用数值效用来度量。决策过程就是在各种可行的中选择，以尽量满足决策者的愿望和要求。决策理论与方法在过去几十年中得到了快速发展，其理论研究和应用研究成为数学界、经济学界、社会学界、政治学界和管理决策研究者共同关心的热点话题和前沿领域。群决策的意义在处理实际的复杂决策问题时，多领域知识的需求和兼顾多方利益的需求导致群决策的出现，而群决策又带来冲突处理等问题，这是处理复杂决策问题时必须面对的。（1）需要多领域知识和信息社会发展、科技进步、知识和信息量急剧增长，待解决的问题多、复杂，需要具有不同知识结构、不同经验的专家集中以弥补决策者个人才智、经验和精力的不足。如在企业生产经营决策中，与其说是企业负责人个人在作出决策，不如说是有企业负责人领导一群人共同作出决策。（2）需要兼顾多方面利益广义的讲，任何重大的决策都会影响一群人，因此作为公正、民主的社会，每一项重要决策都应尽量满足受其影响的群众的愿望和要求。因此，决策所面对的问题往往是多目标（多属性）、多备选方案、多学科领域，并且具有一定不确定性的决策。必须由若干个决策者组成的决策群体进行决策，需要建立一个由不同知识结构组成的、运用科学理论方法和手段、可以相互启迪、具有丰富知识的决策群体，保证决策的科学性。群决策：无论决策的组织和实现的方式有何不同，多人构成的决策群体在决策理论中都称为“群(group)”，所作出的决策称为“群决策(groupdecisionmaking)”。根据群中成员的行为准则可将群决策分为两类：一、从伦理道德出发，追求群作为整体的利益，属于集体决策，即社会选择和社会福利问题；二、追求自身利益及与他人对立的价值，是对策即博弈问题。需要处理冲突的策略在决策过程中，冲突是不可回避的问题，也是必然发生的。群决策可以用合作与非合作程度来描述。“合作”是指约束自己以满足他人的利益同事保障自己的利益；“冲突”是指为满足自己的利益发生的博弈和策略行为。处理冲突的策略有五种，即强制、回避、妥协、克制和双(多)嬴。1.2群决策概念与定义群决策是集数学、政治学、经济学、社会心理学、行为科学、管理科学和决策科学等多门学科研究于一体的交叉学科。不同的学科对群决策的定义术语也有所不同。这里对群决策定义如下：定义01群决策是一个包含成员集、对象集、方法集、环境集的五元组系统GDS二(M,O,W,S,C)其中，M决策成员集，决策者是决策的主体和决策行为发出者；O——决策对象集，包括决策问题的目标，在此，决策目标是决策者的期望，一般用方案的损益函数表示：V二(v),i二1,2,…,n;j二1,2,…,m(/其中v二g(c),c为方案i在状态j下的损益值；(/(/(/W——方法集，指决策中采用的理论、方法和手段及决策过程中采用的控制和协调策略；S—方案集，指所有可能选择的决策方案，这些方案是多个可相互替代的可行方案的集合；C—决策环境，指各种方案可能面临的自然状态或背景，这些客观条件不以人的意志为转移，因此，决策过程中必须给予充分考虑：若用Q表示自然状态的集合，q表示第j(j=1,2，•…m)个可能的环境因素，则Q=q,q，…,qj12m本定义的含义：群决策是由一定组织形式的群决策成员，面对共同的环境,为解决存在的问题并要达到预定的目标，依赖一定的决策方法和方案集，按照预先设定的协同模式进行的决策活动。群决策过程可以一般地描述为：决策者针对共同的决策问题给出自己的判断和偏好，然后按照某种商定的预设规则进行群意见的集结和方案的选择，根据群的偏好进行排序选择，以给出方案的排序，或在不满足一致性的情况下调整决策者偏好，直到达成群体一致的决策为止。1.3群决策的理论基础从早期投票理论中发展而来的社会选择理论是群决策的主要理论基础。其他理论基础分别是效用理论和行为决策理论将在后续课程中详细介绍上述三个理论及其应用。1.4群决策方法一般而言，科学决策程序包括：找出问题确定目标、收集信息探索方案、方案选择判断和决策执行等几个阶段，并采用不同的方法。严格地说，大部分群决策方法都是在单个的优化选择决策方法的基础上，选择合适的方法来集结决策者的意见。不同种类的群决策问题大致可分类如下：（1）按决策者职能分为专业决策和公共决策；（2）按决策环境分为确定性决策、风险性决策和不确定性决策（随机（外在不确定性）和模糊（内在不确定性））；（3）按模型形式分为结构化决策和非结构化决策；（4）按群成员关系分为合作决策和非合作决策；（5）按决策过程中沟通情况可分为交互式群决策和非交互式群决策；（6）按群体的组织结构可分为层次型、多头政治和委员会。群决策中的各种方法可归类如下：（1）作为决策科学基础的决策方法学：重点研究决策的基本概念、原理原则、步骤方法等，是群决策科学体系中发展最快、比较成熟的部分；（2）作为决策科学中间层次的决策行为学：主要关注决策者的行为在群决策中的表现，影响决策者行为心理的、知识的、信息的、文化的、方法的因素，以及他们之间的关系。目前此领域的研究有待大力发展。（3）作为决策科学的最高层次的组织决策：将一个组织的全部决策过程作为一个系统，探索各子系统之间的各种联系，充分利用各种有利因素，最大限度消除和防范各种冲突和消极因素，提高整体决策的效率和水平。本讲义主要涉及方案评价选择判断阶段的方法，在此阶段的方法中，涉及不同领域的多种方法，如投票表决（选举）体制、社会选择理论、委员会理论、排队论与分散决策、递阶优化、专家评估、一般均衡理论、对策论、谈判与仲裁等。第二章选择理论群决策问题涉及面最广、最为重要的部分之一就是社会选择问题，即如何将社会成员的个体偏好集结为群体（社会）的偏好，如重要职位人选、政策制定乃至国家政治体制的确定等。现代政治中的选举需要解决的根本问题也是如何在充分考虑个人意愿的基础上形成合理的全社会的选举结果。群决策的核心价值在于研究和探索“个人价值与社会选择之间的冲突和求得一致的条件”。选择理论本质上就是根据社会中各成员的价值观和对不同方案的选择产生社会的决策，即要把社会中各成员对各种状况的偏好模式集结成为单一的社会模式，因此，理性的社会选择问题都可以用投票模型来描述和研究。社会选择指公众就有关的重要问题进行决策的过程。投票选举不仅是社会选择理论研究的典型问题，也是日常生活中经常遇到的社会现象。社会选择问题社会选择最常用的方法主要有传统、独裁、投票表决和市场机制等，这些方法并不是都公平合理。民主投票和市场机制是现代社会经常采用的社会选择方法，投票通常用于政治决策；市场机制则常用作经济决策（其本质也是用货币进行投票的一种特殊形式）。对于选举问题，一般认为按照赞同人数的多少作为社会公认的结果是合理的。以此为出发点并在解决问题中逐步发展，相继提出了基于选举理论的许多不同的群决策方法：（1）用于解决社会政治决策问题的社会选择函数;（2）用于解决经济决策问题的社会福利函数目前，社会选择理论形成了两大框架，即Arrow理论和Sen理论，但是尽管二者研究的重点不尽相同，但其问题结构和基本假设是类似的，并可以在展示偏好公理的基础上得到统一。几种选择准则：社会选择理论提出某种与群中成员的偏好有关的数量指标来反映群，即社会对各候选人的总体评价，这种指标称为社会选择函数（socialchoicefunction），根据此函数探索性的方法论体系，在给出定理性假设的基础上，构造理想的合理指标体系，并设计满足该指标体系的社会选择函数和方法。（1）简单多数准则考虑群决策中只有两个备选方案x,y进行决策的情形，其形式化描述为：群中n(nb>c>d；4人偏好为b>a>c>d；3人偏好c>a>d>b，1人偏好d》a》c》b此例群中成员有11人，有3人认为候选人a最好，其他成员认为a为第二好；虽然有4人认为b最好，但是其他成员都认为b最差，按排序赋权法应由a当选，但是按照简单多数票法则，b将当选。例2.3将上例中投票人对个候选者的偏好次序修改为表2.1。表2.1个体偏好分布表个体人数偏好排序3b》a》c》d3b》a》d》c3a》c》d》b2a》d》c》b表2.1中近半数的投票人（5位成员）认为a最好，6人认为a是第二位好,而b在5位成员中认为是最差的。应该a当选较为合适。但是无论是按照简单多数还是按过半数票决策规则，都将是b当选，这是因为无论是简单多数准则还是过半数票决策规则都是非排序式选举，都不能充分考虑投票人的偏好。例2.4将各投票人对候选人的偏好次序修改为表2.2。表2.2个体偏好分布表个体人数偏好排序2b》a》d》c3c》a》b》d1b》a》c》d1c》a》d》b1d》a》c》b1d》a》b》c1a》b》d》c1a》d》c》b本例中，按过半数票准则，第一次投票后无人当选，但是有4人选c，3人选b,2人选d，2人选a，所以第一轮a,d被淘汰，由c,b做候选人做第二次投票,c将当选。而事实上，没有人认为a处于第二位以下，却又4人认为c最糟，还有3人认为c是第三位的。针对上述现象，Borda提出了偏好选举方法，，投票人只需要在无记名投票上对各候选人排序，即对最满意的候选人名字前标1，排名第二的候选人名字前标2,直至最后一个候选人；在投票完成之后按排序位置i赋权重m-i后计数即可，这就是排序赋权选举法。此方法合乎自然而合理，凡是从多个候选人中进行选择时，多采用此方法；在同时有多人当选的时候，只要使用适当的计票方法，也准确可靠，还能保护少数派，能在大范围内合理地分配代表名额。2.3选择规则分析社会选择的多种准则及其一致性分析,是正确使用这些规则去处理多人群体的带偏好的投票选择问题的关键。分析方法框架为了建立社会选择的分析框架，引入如下符号和概念。社会状态(socialstate):是社会选择中需要进行价值判断的对象，即备选方案(alternative)或候选人(candidate)。社会状态通常用具有多维属性的向量X二(x,x,x)来描述，其每一个分量代表一备选方案或候选人。12k所有社会状态的集合，简称社会状态集|,或用X,Y,ZgA分别表示不同的社会状态集。Y匸X(Y打)(即X的任一非空子集)表示可行社会状态集(feasibleset).社会状态不同，指相应的两个向量X二(x,x,x)和Y=(y,y，—,y)，12k12m各分量的值或各分量的属性不完全相同。个体(individual)：是社会选择中进行价值判断的主题，一般情况下个体是涉及自身利益的社会成员，但是在专家咨询情况下，可以是利益中立的第三者。用N二｛1,2,3,…n｝表示个体的集合，称个体集，或社会成员集，i,jgN分别表示不同的个体，两个或以上的有限个体2N(yax)，贝UxAy；iiG若N(xay)二N(yax)，则x〜y。iiG据此定义，Condorcet原则可以表述为：若A'{x}表示方案集A去掉方案x以后的集合，当N(xAy)>N(yAx),VyeA\{x}，则x获胜。ii例2.6一个群有60个成员，要从a,b,c3位候选人中选举一位领导人，这60个成员对3为候选人的偏好见表2.3。表2.3个体偏好分布表个体人数偏好排序23aAbAc19bAcAa16cAbAa2cAaAb根据Condorcet原则，进行候选人的两两比较：a,b相比较时，有23+2=25个成员认为aab；另外19+16=35个成员认i为baa；因为N(baa)>N(aab)，按半数票原则有baaTOC\o"1-5"\h\ziiiGa,c相比较时，有23个成员认为aac；另外19+16+2=37个成员认为icaa；因为N(caa)>N(aac)，按半数票原则有caaiiiG⑶b,c相比较时，有19个成员认为bac；另外23+16+2=41个成员认为icab；因为N(cab)>N(bac)，按半数票原则有cabiiiG以上分析表明，按过半数票决策准则，群的意见是cabbaacaaGGG即cabaa，候选人c当选。GG例2.7设60个成员对3个候选人的偏好如表2.4表2.4个体偏好分布表个体人数偏好排序23aAbAc17bAcAa2bAaAc8cAbAa10cAaAbN(aab)二33iN(bac)二42iN(aac)二25i在对候选人做两两比较时有:N(baa)二27，结果是：aabTOC\o"1-5"\h\ziGN(cab)二18，结果是：bAciGN(cAa)二35，结果是：cAaiG按过半数票决策准则，群的意见是:bAGc由于过半数票决策规则的合理性和简明性，被广泛用于从两个备选方案或候选人中选择一个的投票表决。但在从多个方案中选择一个时，这一规则会遇到麻烦。如在多个候选人做两两比较时，有时会出现多数票循环，如对上例稍作修改，见例7，表2-4。(例2.7)这表明，虽然群中每个成员的偏好，即对候选人优劣的排序是传递的，但是用Condorcet原则对候选人两两比较，按过半数票规则得出的群的排序就可能会出现上述两两不兼容的结果，即群的排序不再具有传递性而是出现多数票循环，这就是Condorcet在18世纪末揭示的选举问题的“投票悖论(theparadoxofvoting)”，也叫“Condorcet现象、Condorcet效应”。简单多数票规则及过半数票决策规则只有在从两个候选人中选择一个时，才是行之有效的群决策方法。在候选人或方案数m>3时，由于多数票循环的存在而不可靠，即使不存在多数票循环，投票结果的合理性也难以保证。可见，要能集结群中各成员的偏好已形成社会或群的偏好，还有一些问题需要深入的研究和讨论。投票悖论分析一般来说，某个群要从3个备选方案a,b,c中选择一个时，假设群中各成员的偏好是一致的，即对方案的排序满足传递性，则在不考虑方案间的无差异情况时，成员中可能有如下6种观点：(1)a》b》c；(2)a》c》b；(3)b》c》a；(4)b》a》c；(5)c》b》a；(6)c》a》b。将群中的成员按其观点分成6个子群，设群中成员总数为n,以n(j二1,2,^,6)记j为群中持第j种观点的子群的成员数。为了得出群的总体偏好，可以按Condorcet原则对n个成员进行分类。根据群中成员对a,b的态度分成两类：N(aAb)=n+n+n；N(bAa)=n+n+nTOC\o"1-5"\h\zi125i346类似的，对其他方案有：N(aAc)=n+n+n；N(cAa)=n+n+ni124i356N(bAc)=n+n+n；N(cAb)=n+n+ni134i256按过半数票决策规则，若n+n+n>n+n+n，群的判断为aab，因此，当125346Gn+n+n>n+n+n(21)125346n+n+n>n+n+n(22)134256n+n+n>n+n+n(23)356124二个不等式成立时，将出现aab,b》c,cAa,就会出现Condorcet效应，GGG即投票悖论。将式(21)(22)(23)中的不等号反向，且三式同时成立时，也会出现多数票循环。由上述分析可知，只要适当选择n(j二1,2,^,6)，使式(2.1),(2.2),(2.3)三个j不等式同时成立，就会出现投票悖论。可见，只要愿意就可以构造任意多个投票悖论的例子。出现投票悖论最简单的例子是：当n=n=n=1;n=n=n=0135246这相当于群有三个成员，这三个成员分别持观点(1)aAbAc；bAcAa；(3)cAaAb。这时若按过半数票决策规则形成群的判断，则所产生的群判断是aAb，bAc，GGcAa，出现多数票循环，即群的判断不具有传递性。G由上述分析可知，在采取过半数票据侧规则进行社会选择时，产生多数票循环机投票悖论是不可避免的。用排列组合的知识对出现Condorcet效应的概率进行分析。例如，在三个投票人三种方案中选择一种，第一个成员可以持6中观点中的任意一种；第二、第三个成员也一样；共有6x6x6=216种可能的排列。其中三个成员分别持观点(1)、(3)、(5)；或(1)、(5)、(3)；或(3)、(1)、(5)；或(3)、(5)、(1)；或(5)、(1)、(3)；或(5)、(3)、(1)和由观点(2)、(4)、(6)构成的组合，共计12种情况下会出现Condorcet效应，及多数票循环。设各种情况发生的概率相等，则产生多数票循环的概率为12/216=00556。当群中成员增加时也可以进行类似的计算。计算结果表明随着投票人数n的增加，产生多数票循环的概率也略有增加，其极限值为00877。Niemi等给出了与不同方案相对应的产生多数票循环的概率极限值，见表2.5。Garman等则给出了群中成员数量与产生多数票循环的概率的关系，见表2.6。表2.5方案数与多数票循环概率极限万案数概率极限万案数概率极限30.0877150.608740.1755200.681150.2513250.729760.3152300.764870.3692350.791480.4151400.812390.4545450.8292100.4887500.8405表2.6成员数和方案数与多数票循环概率的关系成员数方案数35711152530.05560.06940.0750.07980.0820.08430.087740.11110.140.150.681150.160.200.220.251360.200.250.270.315280.280.330.370.4151100.320.400.4887次序效应分析在群或社会的选择出现多数票循环时，可以通过议事程序的安排利用简单多数票规则，让循环中的任何一个候选人或备选方案入选，在三个方案的多数票循环中，后参与投票的方案一定能入选，如想要a胜出，就让b与c先表决，b胜出后再与a比，a即能击败b入选。定义2.2决策过程中因议事程序不同而造成结果差异的现象称为次序效应。（1）在相互偏好信息完全未知的条件下，当其他方案的表决次序不变时，方案a投入表决的次序越靠后，胜出的可能性越大；（2）在相互偏好信息完全已知的条件下，当其他方案的表决次序不变时，方案a投入表决的次序越靠前，胜出的可能性越大。（3）在某些情况下决策过程对方案的选择取决于议事程序的选择，无论是诚实投票还是策略投票，一般修正案表决程序和一般顺序表决程序都不能防操控，即都不稳定,相比之下一般修正案表决程序比一般顺序程序更稳定。上述研究结论说明为什么许多国际组织和机构讨论议事程序要比正式开会花费更多的时间和精力，而且现实中也不乏这样的例子，自己这一方的提案无法直接击败对手的提案，可以构造出一个提案来击败对手的提案，等对方提案出局后，再以修正案方式让自己这一方的原提案获得通过。策略投票分析策略性投票又叫投票的操纵性。策略性投票主要有下列几种表现形式，为了便于理解，以例子予以说明。谎报偏好而获益例2.8设A={a,b,c},其中a,c是分别持有两种极端观点的党派或团体推举的候选人，b为持有中间立场的候选人。30位候选人中三派力量对比是13:9:8。具体态度是：13人认为a》b》c，4人认为b》c》a，5人认为b》a》c，8人认为是c》b》a若投票人真实的表达各自偏好，则无论按Condorcet原则或过半数票决策规则(二次投票)，还是用Borda法，都应该是b当选。按Condorcet原则：N(a>b)二13，N(bAa)二17，结果是bAaiiGN(aac)=18，N(cAa)=12，结果是aAc；N(bAc)二22，N(cAb)二8，有iiGiibAc；群的排序是bAaAc。GGG按过半数票决策规则：第一次投票后，a,b,c三人得票均未超过15票,无人当选，需要进行第二次投票；第一次得票最少的c在第一轮淘汰，a,b进行第二轮竞争，a,b分别获得票数为13和17.b当选。按Borda法：a的得分是13x2+5x1二31；b的得分9x2+(13+8)x1二39；c的得分8x2+4x1二20；群的排序仍是baaac。GG但是倘若在采用Borda法时，支持a的13人改变投票策略，其中9人谎报其偏好序为aAcAb，其余成员真实的宣布偏好。按Borda法：a的得分是13x2+5x1二31，b,c的得分分别是30，29，群的排序变为aabacGG按Condorcet原则：N(aab)=13，N(bAa)=17，结果是bAa；TOC\o"1-5"\h\ziiGN(aac)=18，N(cAa)=12，结果是aAc；N(bAc)二13，N(cAb)二17，有iiGiicAb；群的排序bAa，a>c，cAb，出现多数票循环，没有胜者。GGGG按过半数票决策规则：第一次无人当选，对得票最多的两个候选人进行第二次投票。若在第一次投票时，支持候选人a的13人当中有两人改为支持c，其他人都诚实的表达自己的意愿，则a,b,c分别得票为11,9,10，b被淘汰；第二次投票时，所有人都诚实表达自己的意愿时，a,c分别获得18和12票，a获胜。这个例子说明，a的支持者可以通过谎报自己的偏好这种投票策略来操纵社会的排序而获益。（2）选票交易例2.9一个简单的有甲、乙和丙三人组成的群体，就A,B亮相工程是否投建进行决策。工程建成后各成员的效益如表2.7所示。表2.7工程建设效益表ABA+B甲20-515乙-51510丙-5-5-10合计10515显然，甲希望投资工程A,乙希望投资工程B；但是，若A,B,两项工程单独投票,均会因为有两票反对被否决。因此，甲乙二人可以达成

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：乙投票支持工程A投建，甲投票支持工程B投建，这样一来，由于A,B均能获得两票支持得以通过；甲可得15个单位的总收益，乙可以获得10个单位的总收益。丙则无疑是这场投票交易的受害者。这个例子说明可以通过选票交易来达到有利的决策结果。（3）小集团操纵例2.10某个群有100个成员，有一只大蛋糕本应由这100人公平分享。假设其中有一个人具有某种组织能力，和政治头脑，他首先设法取得50人的信任，形成51:49的过半数“合法”的排除49人应得的权利，由51人分享蛋糕。此后，还可以如此继续，最终可由2人甚至由他一人分享大部分蛋糕。这个例子说明，策略的多次使用过半数决策方法就有可能将权利与好处集中到极少数人手中；投票的次数和级别越多，小集团操纵群的机会也越大。投票表决程序的可被操纵性和决策者的策略行为是普遍存在的，社会选择的本质就是“在一定选择规则下进行的对策过程”。社会选择中无关方案独立性和正响应性条件导致社会选择规则的可操纵性。选择函数性质要防止出现上述示例的情况，衡量各种社会选择函数即群决策规则的优劣，需要客观公理化的评价标准，包含3条准则。能否充分利用社会中各成员偏好信息；若存在满足Condorcet原则的方案应该能入选；对策略性投票是否有防御能力。为了引入如下符号：N二｛1,2,3,…n｝表示群，即投票人的集合；A二｛a,a，…,a｝表示备选方案集或候选人集合；12mn或N(aAa)表示群中a优于a的成员数。jkjkjk由此，过半数票决策规则可以表示为：对a,aeA，若n>n，贝UaAa；若n二n，贝Ua〜a。jkjkkjjGkjkkjjGk设群中有n个成员，对成员i及方案x,yeA，引入变量D，取值为-1,0,1,即iIifxay;iD={0ifx〜y;ii—1ifyAx.i群中个成员的偏好分布为D=(D,D，…,D)；偏好分布的集合{-1,0,1}n。社会选择12n函数F要从各成员的偏好分布产生社会的排序，即F(D)=f(D,D,…,D)，且12n1ifxay;GF(D)={0ifx〜y;G—1ifyax.JnF:{-1,0,1}"T{-1,0,1}采用上述记号，根据May等提出的公理系统，可以定义选择函数的性质如下:(1)明确性(decisiveness)D丰0tF(D)丰0其含义是指社会福利函数确定的群决策法贝对于决策者们的每一种选择意向都应能导致一个有意义的、唯一的决策结果。(2)中性(neutrality),又称对偶性，指对候选人的公平性。f(—D，—D，…，—D)=—f(D,D，…，D)12n12n其含义是如果所有人都改变选择意向，贝原决策的结果将被推翻，其作用是防止任何候选人或候选方案被外部势力内定为决策的必然结果。匿名性(anonymity)，又称平等原则，指各成员的权利相同。f(D,D，…,D)二f®宀，…，2)12n5(1)5(2)5(n)其中5是1,2，…，n的新排列。(4)单调性(monotonicity),又称正响应性若D>D',则F(D)>F(D')。指如果一个或几个决策成员的选择意向朝对方案x有利的方面转化，而对其他方案的选择意向保持不变，则方案x所处的选举位置只会变好，不会变差。(5)齐次性(homogeneity)对任意正整数m,F(mD)>F(D),其含义是当某个决策者认为方案x和方案y无差异时，可设想用两个决策者代替，其中的一人投票赞成x,另外一人投票赞成y,若果有多个方案被认为无差异时，也可用类似的方式处理。(6)Pareto性Vi,De{1,0}，且对某些kD二1TF(D)二1,Vi,D二0TF(D)二0iki而弱Pareto性又称一致性(unanimity)f(1,1,-1)二1orf(-1,-1,-,-1)=—1Pareto最优性(也成全体一致性)指当所有的人都选择x时，则x胜；当所有的人都选择y时，则y胜。2.4社会选择函数自从Condorcet发现在投票时会出现投票悖论后，投票悖论引起了许多数学家、政治科学家、经济学家的浓厚兴趣。由于投票悖论的不可避免性，提出采用某种与群中的成员偏好有关的数量指标来反映群，即社会，对各候选人的总体评价，这种指标称为社会选择函数(socialchoicefunction)。Condorcet函数MarquisdeCondorcet(1743-1794。是法国的哲学家、数学家、经济学家和社会科学家。Condorcet原则和投票悖论是他在1785年提出的。Condorcet原则规定，在多个候选人中选择一个时，若果存在某个候选人x,能在与其他候选人逐一比较时按过半数决策规则击败其他候选人，则x称为Condorcet候选人，应该由他当选。Condorcet还提出，若不存在Condorcet候选人，则应采用函数f(x)=minN(yAx)CyeA\|x|i(2-5)按f(x)值的大小来排列候选人x的优劣次序。cf(x)称为Condorcet函数，它是x与其他所有候选人逐一比较时得票最少的那一次c的得票数，因此它是极大化极小函数。四川农业大学经济管理学院研究生教学讲义四川农业大学经济管理学院研究生教学讲义PAGE\*MERGEFORMAT#iPAGE\*MERGEFORMAT#例2.10用Condorcet函数解例2.7。设60个成员对3个候选人的偏好如表2.4表2.4个体偏好分布表个体人数偏好排序23aAbAc17bAcAa2bAaAc8cAbAa10cAaAb在对候选人做两两比较时有：N(aab)二33,N(bAa)二27，结果是：aAbiiGN(bac)二42,N(cAb)二18，结果是：bAciiGN(aac)二25,N(cAa)二35，结果是：cAa出现过半数票循环。需要采用Condorcet函数，即由N(aab)二33，N(aAc)二25Tf(a)二25TOC\o"1-5"\h\ziic由N(baa)二27，N(bAc)二42tf(b)二27iic由N(caa)二35，N(cAb)二18Tf(c)二18iic这里应该是b当选。f(•)的值还可以这样求：首先将成对比较的结果排列成矩阵形式，候选人x所在c行中最小值即f(x)。对本例，有下表：cabcf(x)ca—332525b27—4227c3518—18Fishburn(1977)指出，Condorcet函数满足明确性、中性、匿名性、单调性、齐次性和Pareto最优性，因此是比较好的社会选择函数。Borda函数N(xAy)2.6)Borda(1733-1799)是法国数学与航海家。他提出的判断各候选人优劣的方法是：由每个投票人对各候选人排序，设A中有m个候选人，则将m-1，m-2，…，1,0这m个数分别赋予排在第一位、第二位……最末位的候选人，然后计算各候选人的总得分(Borda分)。得分最高的候选人为胜者，Borda分即Borda函数为f(x)=工ByeA\{x}候选人按f(x)值的大小排序。f(x)是X与其它候选人逐一比较时m-1次中所得票数的总BB和。例2.10用Borda函数解例2.7。设60个成员对3个候选人的偏好如表2.4表2.4个体偏好分布表个体人数偏好排序23aAbAc17bAcAa2bAaAc8cAbAa10cAaAbBorda分的计算：将2,1,0分别赋权排在第一、第二、第三位候选人，则有a的Borda分：23x2+1x(2+10)二58b的Borda分:(17+2)x2+1x(23+8)二69c的Borda分：(10+8)x2+1x17=53由于f(b)>f(a)>f(c)，因此bAaAc。BBBGGBorda分还可以通过表示候选人之间两两比较结果的矩阵来计算，f(x)的值B是x所在行各元素的总和，如下表：abcf(x)ca—332558b27—4269c3518—53Borda函数满足明确性、中性、匿名性、单调性、齐次性和Pareto最优性，因此也是比较好的社会选择函数。Copeland函数2.5社会福利理论