Wald

Wald恒等式求恒等式求恒等式求恒等式求Markov时间时间时间时间（（（（停时停时停时停时））））的期望与方差的期望与方差的期望与方差的期望与方差 ⋯,,,0 210 YYY = 独立同分布。矩母函数 )()( iYeE θθ =Φ 有限，令 ∑Φ== − iYn n eXX θθ )(,10 确定一个Martingale 令 TYSS n in ∑== 1 0 ,0 是一个 Stopping time 则有： 1])([ =Φ − TST eE θθ （（（（4.1）））） 对（4.1）求导数： 0＝ ])([])([)( 1 TT STTST eSEeTE θθ θθθ −−− Φ+ΦΦ′− 令 ][)0(,1)0(,0 iYE=Φ′=Φ⇒=θ )2(][ ][][][][][0 i T Ti YE SE TESETEYE =∴+−=⇒ 对（4.1）求二阶导数： ])([])([)( ]})()1([)(])([){(])([)(0 1 211 TT TTT S T TST T STST T ST eSEeTSE eTTEeTSEeTE θθ θθθ θθθ θθθθθθ −−− −−−−−− Φ+ΦΦ′− Φ−Φ′−ΦΦ′−ΦΦ ′′−= )5(]}[{ ][][][][ )4(]}[{ ][][][]}[{][ )3(]}[{ ][][][2][][][][ ][][][)]}1([][][]{[][][0 ][)0(],[)0(,1)0(,0 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 i i i i i TTii TTiiTii ii YE TEYE TETVar YE TEYE TETETE YE SETSEYETEYE TETE SETSEYETTEYETSEYETEYE YEYE +−= +−= −+ +−= +−−−−−= ⇒=Φ ′′=Φ′=Φ⇒=θ令 应用举例：习题习题习题习题 6. ⋯,, 21 YY 独立同分布，且 qppqYPpYP ii >>−==−=== 2/11}1{,}1{ 令 ∑== n in YSS 1 0 ,0 对某正数 b，令 }:min{ bSnT n ≥= ， 求停时 T的期望 E[T]与方差 Var[T] 解 ： 先 求 出 iY 的 矩 母 函 数 θθθ −+=Φ qepe)( ， 并 求 出 其 期 望 与 二 阶 矩 1][][ 2 =+=−= qpYEqpYE ii 代入（2）得： qp bTE − =][ 注：此处 bSE T =][ 将相应值代入（5）可得： 3 2 22 2 )( ])(1[ )( )/( ]}[{ ][][][][ qp qpb qp qpb qp b YE TEYE TETVar i i − −− = − − + − −=+−= 详细求解过程略。 用此种解法最大的优越性在于不必先求出停时停时停时停时这个条件。例中的两个变量的期望均看成不相关。