进制与位值原理

第十一讲进位制与位值原理—4,经典精讲进位制部分重点在于各种进位制与十进制之间转换及计算的规律，并熟悉进制的应用．在有些数论问题中，用代数式来表示数往往能使问题迎刃而解，或收到意想不到的效果，起到简化解题过程的作用．⑴掌握进位制的基本方法和常见技巧；⑵了解整数的代数表现形式并能熟练应用．同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满十进一”，十进制是最常用的进位制，这与人们屈指计数的习惯相符，使用起来也很方便．随着人类对数的认识不断深入，产生了各种不同的进位制，我们来一起看一些例子．两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于1平方米，100平方厘米等于1平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于1千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；…….进制问题与我们的生活息息相关，我们有必要掌握一些进制方面的知识，它会给我们的生活带来很多便利哦！什么叫二进制所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”．大家知道：数是计算物体的个数而引进的，0代表什么也没有，有一个，记为“1”；再多一个，记为“10”（在十进制下记为2）；比“10”再多一个，记为“11依次类推，我们很容易接受二进制下从小到大的数列，列表如下:十进制二进制十进制二进制十进制二进制十进制二进制11510191001131101210611010101014111031171111110111511114100810001211001610000二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1．这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮（在计算机中主要用电压的高与低）等等手段加以表示.当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多.十进制与二进制的互相转化今天，当我们写上一个数目1999时,实际上意味着我们使用了“十进制”数，1999=1x1000+9x100+9x10+9x1，也就是说：1999中含有一个1000，九个100，九个10与九个1.为了叙述的方便，我们约定：用（）表示括号内写的数是二进制数，如0010）；用（）“表示2210括号中写的数是十进制数，如（66）；十进制的标志可省略，66就代表十进制下的数.二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律：二进制数1000000应该表示十进制数64，….那进制与位值原理么我们可以得到，二进制数中计数单位与十进制数有如下关系:二进制数十进制数111021004=2x210008=2x2x21000016=2x2x2x210000032=2x2x2x2x2■■⑴关于进位制的两个需要注意的地方：二进制数有0,1两个数符，由低位向高位是“逢二进一”八进制数有0，1,2,……，7八个数符，由低位向高位是“逢八进一”十六进制数有0，1，2,……，13,14,15十六个数符，由低位向高位是“逢十六进一”．根据科学技术的需要,还可以扩充其他进位制数的概念和运算．为了区别各种进位制数，n进制中的数用a表示•如果n>10，那么从10到n-1的这些数符可(n)用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示•比如，用A表示10,B表示11,C表示12,D表示13,E表示14,F表示15等等.⑵十进制数与n进制数的互换:n进制数aaaa写成十进制数是anr+anr-1++an2+an+a・rr-110(n)rr-1210十进制数化成n进制数，只要把十进制数用n除，记下余数；再用n除它的商，又记下余数；直到商为0;将余数自下而上依次排列，就得到一个n进制的数•这叫做“除n取余法”如把1234化成三进制数31234「020021余余余余余余余34113137所以，1234=1200201(10)(3)⑶一般地，一个自然数N可表•示为aaaaa的形式，其中a,a，…，a,a是0,1,rr-1r-210rr-1102,3,…，9中的一个，且a丰0，即：N二ax10r+ax10r-1++ax10+a・rrr-110这就是十进制数，记作N，简记为N・十进制数有两个特征：(10)一是有十个不同的数符：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；二是“逢十进一”的法则：有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、千分位等自左向右的数位・⑷对于进位制需要注意其本质：n进制就是逢n进一.［分析］掌握十进制转化为n进制的基本方法：短除法.以(37)=()和(888)=()为102108例.我们用2去除37，记下每次得到的余数，一直除到商为0为止.然后将余数由下至上写出来，就是37的二进制数.(37)=(100101).102237218...129...024...12辽...02_1...00...188888111...of813...78口...50...1同样的方法，我们用8去除888一直除到商为0为止，把余数由下至上写出来，得到：(888)=(1570).108(37)=(100101);(242)=(22222);(156)=(1111);(888)=(1570).102103105108［巩固］(基础学案1)将(30)、(72)改写成二进制数．1010［分析］可以按照短除法来做，也可以按照如下的方法.(30)=16+14=16+8+6=16+8+4+2+0x1=41110)102(72)=64+8=64+0x32+0x16+8+0x4+0x2+0x1=(1001000)102［巩固］(提高学案1)将(301)、(472)改写成七进制数．1010［分析］短除法.(301)=(610)；(472)=(1243)107107［提高］(尖子学案1)十六进制从古至今一直影响着我们的日常生活.我国古代1斤等于十六两，所以会有“半斤八两”这样一个成语.现在，我们通常用A,B,C,D,E,F来表示十六进制中的10,11,12,13,14,15.那么，聪明的同学们，你们能把十进制中的234化成十六进制数吗？［分析］仍然用短除法.(234)=(EA)相加即可得结果．(101001)=1x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20=(41)2(12021)=1x34+2x33+0x32+2x31+1x3。=(142)1010当然计算时，数位是0的可以省略.(11000111)-(10101)三(11)=(199)-(21)三(3)=(192)=(11000000)；222101010102如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对(10101)+(11)进行除法计算，只是每次借位都是222,可得(11000111)—(10101)-(11)=(11000111)-(111)=(11000000)；222222(2)十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n.原式=(63121)—［(1247)+(26531)］—［(16034)+(1744)］88888=(63121)—(30000)—(20000)=(13121)；8888(3)本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下.统一到十进制比较适宜：(3021)+(605)=(3x43+2x4+1)+(6x7+5)=(500).7101010［铺垫］(基础学案2)尝试用竖式来计算二进制的加减法(1001)+(111)=()(11010)-(101)=()222222［分析］十进制的加减法运算，需要“满十进一”，“借十当一”.那么在二进制里面也一样，“满二进一”，“借二当一”.10011101011110101铺垫］(提高学案2)尝试用竖式来计算二进制的乘除法［分析］⑴列竖式：101101x1011101101101101101101111101111得：(101101x(1011)=(111101111)222⑵列竖式：100110011/101010111001110011100110得:(10101011),0011)=4001222［拓展］(尖子学案2)完成下列进制的转化(110010011011)=();(9A5E)=()216162［分析］不同进制之间的互化有一个通法，就是先化成十进制，再从十进制再转化.二进制和十六进制的互化有一个更简单的方法.二进制是计算机工作的基本语言.但是二进制数位太长了，不利于人类识别和使用，因此我们把二进制的每4位和在一起24=16，就变成了十六进制.那么第一个问题，(110010011011)我们把它每4位数码合在一起(1100)=(C),(1001)=(9),2216216(1011)=(B)，因此(110010011011)=(C9B).216216第二个问题，(9A5E)我们把它每一位拆成4位二进制数，(9)=(1001),(A)=(1010),16162162(5)=(0101),(E)=(1110)，因此，(9A5E)=(1001101001011110).1621621624［分析］利用尾数分析来解决这个问题：由于(4)x(3)=(12)，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位.所以101010进制与位值原理说进位制n为12的约数，也就是12,6,4,3,2中的一个.但是式子中出现了4,所以n要比4大，不可能是4,3,2进制.另外，由于⑷x（13）=（52）,101010因为52<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道n<10,那么n不能是12.所以，n只能是6.［巩固］（基础学案3）在几进制中有125x125=16324?［分析］注意（125）X（125）=（15625）,因为15625<16324，所以一定是不到10就已经进位，才能得101010到16324,所以n<10•再注意尾数分析，（5）x⑸=（25），而16324的末位为4,于是25-4=21进101010到上一位.所以说进位制n为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3.因为出现了6，所以n只能是7.［拓展］（提高学案3）算式1534x25=43214是几进制数的乘法？［分析］注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4x5=20,但是现在为4，说明进走20-4=16，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2.因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534x25=38350<43214，所以在原式中不到10就有进位,即进位制小于10,于是原式为8进制.［拓展］（尖子学案3）记号（25）表示k进制的数，如果（52）是（25）的两倍，那么，（123）在十进kkkk制表示的数是多少？［分析］可用位值原理来进行计算.（25）=2k+5,（52）=5k+2，依题意，2x（2k+5）=5k+2，解得k=8.kk（123）=1x8x8+2x8+3=（83）.4316a+4b+c=9c+3b+an15a+b-8c=0.又a,b,c是三进制中的数字，所以a,b,c=0,1,2，那么易得a=1,b=1,c=2,(112)=1x16+1x4+2=22.十进制表示是22.4［巩固］在七进制中有三位数abc，化为九进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？［分析］首先还原为十进制:（abc）=ax72+bx7+c=49a+7b+c；7（cba）=cx92+bx9+a=81c+9b+a.9于是49a+7b+c=81c+9b+a；得到48a=80c+2b，即24a=40c+b.因为24a是8的倍数，40c也是8的倍数，所以b也应该是8的倍数，于是b=0或8.但是在7进制下，不可能有8这个数字.于是b=0,24a=40c，则3a=5c.所以a为5的倍数，c为3的倍数.所以，a=0或5，但是，首位不可以是0,于是a=5,c=3；所以（abc）=（503）=5x49+3=248.77于是,这个三位数在十进制中为248.进制与位值原理TOC\o"1-5"\h\z［拓展］用a,b,c,d,e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果(ade),(adc),(aab)是由小到大排列的连续正整数，那么(cde)5所表示的整数写成十进制的表示是多少？55［分析］注意(adc)+(1)=(aab)，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则b二0，而55c=(10)-(1)=(4)，则c二4.555而(ade)+(1)=(adc)，所以e+1二c，贝Ue二3.555又d+1=a，所以d=1,a=2.男P么，(cde)为(413)=4x52+1x5+3=108.55即(cde)所表示的整数写成十进制的表示是108.5［提高］自然数x=(赢)10化为二进制后是一个7位数Qabcabc)2,那么x是多少？［分析］根据位值原理100a+10b+c=64+32a+16b+8c+4a+2b+c=64+36a+18b+9c，于是64=64a-8b-8cn8=8a-b-c.又a,b,c是二进制中的数字，因此a,b,c=0,1，那么易得a=1,b=0,c=0.x=100.［补充］a,b是自然数，a进制数(47)和b进制数(74)相等，a+b的最小值是多少？ab［分析］a,b>8，根据位值原理，4a+7=7b+4n7b-4a=3.左右两边取4的模，有3b三3(mod4)nb三1(mod4)，那么，b的最小值是9，此时a=(7x9-3)十4=15.那么，a+b=24.0000000010，…，1000000000，即在十个盒子对应的数位上是1，而其余位上均为0.这样我们可以任意抽出：(1111)=(1023)以内的任何发子弹，但由于现在总共只有1000发子弹，所以先在前921010个盒子中分别装：1，2,22，，28发子弹，相当于二进制数中的000000001,000000010,000000100，■■-，100000000发子弹，最后一个盒子中只能放(29-23)发子弹，即489发子弹.即可凑出1000以内的任何数发子弹.所以十个盒子中应分别装子弹数为：1，2，4，8，16，32，64，128，256，489.［铺垫］(基础学案4)茶叶店以“两”为单位整两出售茶叶，顾客来买茶叶时，店员们先用天平称出重量，再打成小包交给顾客．由于顾客时多时少，所以店员们有时忙不过来，有时又闲的无事．于是，老板想出一个办法，闲的时候让店员们将茶叶称好后打成小包，忙的时候让店员们直接拿出小包交给顾客，省去了用天平称重量，效率大大提高．现在我们的问题是：如果顾客要买1~31中的任何整两数茶叶，那么茶叶店至少要有几包茶叶才能一次付给顾客？这些茶叶的重量分别是多少两？［分析］我们知道任何一个正整数都可以唯一的用二进制数来表示•因为31<32=25，所以用24，23，22，21，20就可以表示1~31中的所有整数.因为20=1，21=2，22=4，23=8，24=16，所以茶叶店只要有5包茶叶，分别重1，2，4，8，16两，就可以满足一位顾客1~31两茶叶的需要.［拓展］(提高学案4)现有六个筹码，上面分别标有数值：1,3,9,27,81,243.任意搭配这些筹码(也可以只选择一个筹码)可以得到很多不同的和，将这些和从小到大排列起来，第39个是多少？［分析］由例题我们可以知道一共有63个不同的和.在2进制中的第39个非零自然数，即将10进制中的39转化为2进制，应记为：(100111)2．所以，在3进制中，只用1和0表示的数，第39个也是100111，将其转化为10进制，有(100111)=1x35+1x32+1x3+1=256.即其中第39个数是256.3［拓展］(尖子学案4)我们可以通过天平和砝码来称量物体的重量.一般来说我们把砝码放在天平的左边，物体放在右边.现在我希望这台天平能称量从1克到1000克的所有整数克的物体，那么最少需要几个砝码？［分析］称量1克，需要1克的砝码；称量2克，需要2克的砝码；称量3克，需要1克和2克的砝码；称量4克，需要4克的砝码；有了这3个砝码，我们可以称量1克到7克的所有重量了，接下来还需要一个8克的砝码.以此类推，共需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.接下来，我们可以验证，有了这10个砝码可以称量1克到1000克的全部重量.10个砝码分别对应于二进制中的(1),10),100),1000),10000),100000),222222(1000000)，(10000000)，(100000000)，(1000000000).1到1023之间的任何一个十进制的自然数都可以2222用一个不超过10位的二进制数.如1023=(1111111111).那么对于其二进制表示的每一位，如果是1就2代表需要这个砝码，如果是0就代表不需要这个砝码.如513=(1000000001)，代表我们可以用一个2512=(1000000000)克和一个1=(1)克砝码来称量513克.22因此最少需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.越玩越聪明：超常挑战：1.把下面的二进制数改写成十进制数．⑴(101110)；(2)(111101)；22［分析］(1)(101110)=0x1+1x2+1x4+1x8+0x16+1x32=(46)210(2)(111101)=1x1+0x2+1x4+1x8+1x16+1x32=(61)210TOC\o"1-5"\h\z2・①567=()=()=();852②在八进制中，1234-456-322=；［分析］本题是进制的直接转化：567=852；②原式=1234-(456+322)=1234-1000=234.3.计算：(1)(1111)+(101)=()⑵(357y+(521)2=()2888［分析］(1111)+(101)=(10100)(357)1(521)；(1100)2888转化进位制(10247)=()82［分析］(10247)=(1000010100111)82在算式2学+2习+2必+2须+2努+2力=2000中，不同的汉字代表不同的数字，并且学、习、必、须努、力按从大到小的顺序排列，那么，学、习、必、须、努、力应分别是多少？［分析］通过观察题目给出的算式，我们很容易将题中的2的乘方和二进制数联系到一起，所以我们只需将2000化成二进制数，再利用二进制定义即可．(2000)=(11111010000),2000=1x210+1x29+1x28+1x2+1x26+1x24102所以学、习、必、须、努、力分别代表的是10、9、8、7、6、4．