2022年中考数学几何模型之动点最值之瓜豆模型(讲+练)(原卷版)

专16动点最值之瓜豆模型模型一、运动轨迹为直线问题1:如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？A解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且ZPCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？CCBBQAPC:)AP解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1理由：易知△CPP^ACPP],则ZCPP]=CQQ],故可知Q点轨迹为一条直线.模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例1.如图，在平面直角坐标系中，A(—3,0),点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求例2.如图，已知点A是第一象限内横坐标为2、汽的一个定点，AC丄x轴于点M,交直线y=—x于点N,若点P是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°,BA丄PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点0运动到点N时，点B运动的路径长是．【变式训练1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG,求CG的最小值是多少？【变式训练2】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点,△EDM为等边三角形.若点E从点B运动到点A,则M点所经历的路径长为.【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，AB=4,QDCA=30。，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF以DF为斜边作△DFE=30。的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是—.DC【变式训练4】如图，已知线段AB=12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF,连接DF,点M是DF的中点，连接MB,则线段MB的最小值为.模型二、运动轨迹为圆问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.当点P在圆O上运理由：Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP半，任意时刻，均有口AMQDOAOP,QMPOAQ=1AP2问题2.如图，△APQ是直角三角形，ZPAQ=90沮AP=2AQ,当P在圆0运动时，Q点轨迹是?TMQp.AO解析：0点轨迹是一个圆理由：•.•/尸口/0,・・・0点轨迹圆圆心M满足AMUAO；又•••AP：AQ=2：1,・Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1.即可确定圆M位置，任意时刻均有QAPODOAQM,且相似比为2.模型总结：条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(ZPAQ是定值)；主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).结论：(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：ZPAQ=ZOAM；(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.例1.如图，点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点，点C是MB的中点,则AC的最小值是.例2.如图，A是囹B上任意一点，点C在囹B外，已知AB=2,BC=4,囹ACD是等边三角形,则△BCD的面积的最大值为（）A.4叮3+4C.4品+8例3.如图，正方形ABCD中，AB=21,O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF.求线段OF长的最小值.OC【变式训练1】如图，在等腰RtAXBC中，AC=BC=2込，点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为【变式训练2】如图，AB为OO的直径，C为OO上一点，其中AB=6,ZAOC=120。,P为OO上的动点，连AP,取AP中点Q,连CQ,则线段CQ的最大值为（）C.2+3万D.2+泸变式训练3】如图，△ABC中,AB=AC,BC=6,AD丄BC于点D,AD=4,P是半径为2的。A上一动点,连结PC,若E是PC的中点，连结DE,则DE长的最大值为A．3B．3.5C．4D．4.5课后训练1.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰RtADCE,使ZCED=90°,连接BE,则线段BE的最小值为.BDE3.如图，AB=6，点0在线段AB上,AO=2,OO的半径为1,点P是GO上一动点，以bp为一边作等边△BPQ，则AQ的最小值为4•点A是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一交令一分支点B,以AB为斜边作等腰Rt^ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为•8•如图，已知点M(0,4),N(4,0),开始时，口/EC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点A在尹轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着