动态数学软件GeoGebra使用教程

GeoGebra使用入门数字式的坐标平面系统GeoGebra使用入门 1安装................................................3基本概念.............................................5跨系统、跨平台........................................5使用者接口............................................5输出..................................................6重要的网络资源........................................7基础操作................................................81-新点、交点、中心点.................................82-直线、线段、向量...................................103-垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹...............134-多边形、正多边形...................................205-圆形、扇形、圆弧...................................226-角、斜率...........................................267-对称、平移、旋转...................................288-数值滑杆、文字.....................................349-对象的属性设定.....................................37进阶操作范例............................................381-直线方程式、...................................382-动态文字处理、代数式定义处理：if语法的应用........393-参数曲面(Curve)....................................414-序列物件(Sequence).................................425-自订工具列管理.....................................45附录：以代数式建立对象之指令速查表......................472 GeoGebra使用入门安装Windows接口下的安装请先到GeoGebra的网站：http://www.GeoGebra.org/cms/(若要阅读中文画面，请将下拉式选单切换到Chinese。)这画面中包含大部分的资源，如「Help」、「中文讨论区」等。从「WebStart」画面中进行安装，可以保证安装到目前最新的版本，而「下载」页面，则列出目前最稳定的版本。本说明建议读者可以「WebStart」方式进行安装，点选「启用GeoGebra」这个连结，画面会导向到「WebStart」页面，步骤如下页：GeoGebra使用入门 3按下「GeoGebraWebStart」按钮后，因为GeoGebra是在「Java」环境下执行的软件，若您的计算机没有安装「Java」环境，则画面会自动导向到「Java」安装网页，若您的计算机没有「Java」环境，且浏览器没有导向到「Java」安装网页，您可以自行输入网址：http://java.com/zh_TW/，来进行在线安装，该网站上有详细的安装说明。结束「Java」的安装后，若您是以「GeoGebraWebStart」按钮进行安装，则会自动进行GeoGebra的安装，若浏览器没有自动进行安装，则您可以考虑切换到「下载」页面下载GeoGebra的各系统版本进行安装。4 GeoGebra使用入门基本概念跨系统、跨平台GeoGebra是一个在「Java」虚拟机器环境上执行的解析几何作图程序，可以说是一个数字式的平面直角坐标系统。所以用GeoGebra做出来的动态图文件，可以轻易的在不同操作系统，如Windows、Linux、FreeBSD、Mac等不同的操作系统上执行。或可以在不同执行平台，如MicrosoftIE、MozillaFirefox等不同的网际网络浏览器上，完整而无碍的执行。使用者接口GeoGebra使用入门 5我们大概可以把GeoGebra这样的动态几何软件，想成一个「数字式的坐标平面作图程序」。这样的程序里，包含了两个主要区域，即代数区、几何区。几何区负责显示对象，如点、线、角、函数图形、方程式图形、参数曲面图形、轨迹、文字、布尔值等，可以让使用者以直觉的方式操作与体验。代数区负责列出对象的数学式型态的定义，都是一般数学课本中所熟悉的描述形式。例如点是以「P＝(2,3)」、直线方程式以「L：2x＋3y＝5」的形态将其显示。对于每一个对象，可以用鼠标在几何区的「移动功能」下选取或代数区中直接选取，之后可以按鼠标右键点选出它的属性窗口，进行此对象各个属性的调整编辑，如名称、定义、样式、大小、装饰、显示条件、显示型式、在几何区的显示状态等，接口简单易懂，极易操作。另外此区将对象分成「自变对象」、「应变对象」两类，例如直线可能就是两个点的应变对象。而不管是自变对象或应变对象皆可以被归类于「辅助对象」，并可在菜单中设定是否在代数区中显示出来。对象的建立方式，可以用直觉的几何方式或精确的代数定义方式来建立。几何建立方式，为先选取上方功能按钮后，在窗口上方列右侧即会出现其使用方式说明，使用者依照其操作即可，所以原则就是先选功能，再依规则操作。代数建立方式则为在下方输入列，直接以指令方式输入，例如建立一个点为「A=(3,2)」，其余对象的输入语法，可以查阅菜单中的「说明」，或先以几何方式建立后，在其属性窗口中，查阅其定义也可以，这是比较简易的方法。对于已经制作完成的ggb档，也可以在播放按钮区调整每个对象播放的顺序。输出制作完成的档案，将以「.ggb」的扩展名储存，此外也可以用图档、网页等形态另外汇出。或将ggb文件直接内嵌于动态网页中，并在网页浏览器中直接操作。另外GeoGebra也支持LATEX数学式标示语言。6 GeoGebra使用入门基础操作1.新点、交点、中心点范例图8 GeoGebra使用入门各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例新点点选「新点」，再以鼠标点出位置。A=(3,2)交点点选「交点」，再以鼠标点出两个对象后建立。A=Intersect[a,b]直线a、b的交点。中心点点选「中心点」，再以鼠标点出两个点后建立，或点出一线段。C=Midpoint[A,B]点A、B之中点。C=Midpoint[s]线段s之中点。辅助说明以几何操作方式建立新点，仅需先选择工具按钮中的「新点」，然后直接在几何显示作图区中之适当位置按下鼠标左键，即完成新点建立。若以代数式建立，则使用一般在平面坐标上点的表示法，键入A=（3,2）这样的指令，即完成一个名为A且坐标为（3,2）的点。以几何操作方式建立交点的方式比较多元，凡是两对象间有交点者，皆可以在选择「交点」功能按钮后，连续点选出二个对象来完成操作。而若以代数式建立，原则是以A=Intersect[对象1,对象2]，这样的指令来完成。而其中的对象1、对象2，可以是直线、圆锥曲线、函数等对象。而有些交点会出现二个，系统会分别以1、2在下标标示表示之，例如两个相割圆的交点有二个，则上述指令会产生两点A1、A2。以几何操作方式建立中点，需先选择工具按钮中的「中心点」后，再点选两点或一线段对象，即完成中心点建立。代数式则以M=midpoint[点,点]或M=midpoint[线段s]这样的指令来建立。GeoGebra使用入门 92.直线、线段、向量范例图10 GeoGebra使用入门各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）直线点选「直线」，以鼠标点出两点后建立。L=line[A,B]线段点选「线段」，以鼠标点出两点后建立，或点出起点，再指定长度。a=segment[A,B]射线点选「射线」，以鼠标点出两点。b=Ray[A,B]起点A通过B点的射线。c=Ray[A,v]起点A且方向为v向量方向射线。向量点选「向量」，以鼠标点出已知两点，或一点及一向量。u=Vector[E,F]从点E到点F的向量。a=Vector[A]点A的位置向量(原点到A点的向量)辅助说明以几何操作方式建立直线，仅需先选择工具按钮中的「直线(过两点)」按钮，然后直接在几何显示作图区中之两个适当位置，分别按下鼠标左键，即完成二个新点及过此二点之直线。或可以鼠标选取二个已知点后，建立通过此二点之直线。而若以代数式建立，则键入L=Line[点对象1,点对象2]这样的指令，即完成一个名为L且通过此二点对象之直线。GeoGebra使用入门 11以几何操作方式建立线段，需先选择工具按钮中的「线段(过两点)」按钮，其余程序与直线之建立大致相同，差别只是结果显示为一个以两个点对象为端点之线段。以几何操作方式建立射线，需先选择工具按钮中的「射线(过两点)」按钮，其余与直线之建立大致相同，差别只是结果显示为一个以点对象1为起点，指向点对象2之射线。或者可以选择一个点对象与一个向量对象，建立出射线对象。以几何操作方式建立向量，需先选择工具按钮中的「向量(过两点)」按钮，其余与直线之建立大致相同，差别只是结果显示为一个以点对象1为起点，指向点物件2之向量。或者可以只选择一个点对象来建立出该点对象之位置向量。12 GeoGebra使用入门3.垂直线、并行线、角平分线、切线、轨迹垂直线、并行线～范例图GeoGebra使用入门 13各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）垂直线点选「垂直线」，以鼠标点出已知一点及一直线或是一向量后建立。L=Perpendicular[C,a]通过点C且垂直于a的直线。L=Perpendicular[C,u]通过点C且垂直于向量u的直线。并行线点选「并行线」，以鼠标点出已知一点及一已知直线后建立。L=line[C,a]通过C点且平行于a直线的直线。辅助说明以几何操作方式建立垂直线，需先选择工具按钮中的「垂直线」按钮，然后在几何显示作图区中，点选一直线及一点后，则建立通过此点且垂直于该直线之垂线。或可点选一直线及一向量后，则建立通过此点且垂直于该向量之垂线。而若以代数式建立，则键入L=Perpendicular[C,u]，C为点对象，u为直线对象向量对象，这样的指令，即完成一个名为L且通过C且垂直于u直线或向量对象之垂线。以几何操作方式建立并行线，需先选择工具按钮中的「并行线」按钮，然后在几何显示作图区中，点选一直线及一点，建立通过此点且平行于该直线之平行线。而若以代数式建立，则键入L=Line[点对象,直线对象]这样的指令，即完成一个名为L且通过此点且平行于该直线之并行线。14 GeoGebra使用入门中垂线、角平分线～范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）中垂线点选「中垂线」，以鼠标点出已知两点，或一已知线段。L=LineBisector[A,B]线段AB的中垂线L=LineBisector[s]s线段的中垂线角平分线点选「角平分线」，以鼠标点出已知三点，或二直线。注意在点的选取顺序，是以有向角的观念，以逆时针方向顺序选取之。L=AngularBisector[A,B,C]以B为顶点的角ABC的角平分线L=AngularBisector[g,h]直线g和h的角平分线GeoGebra使用入门 15辅助说明以几何操作方式建立中垂线，需先选择工具按钮中的「中垂线」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知两点，或一已知线段后，则建立通过此二点之线段之中垂线，或已知线段之中垂线。而若以代数式建立，则键入L=LineBisector[点对象1,点对象2]或L=LineBisector[线段对象]这样的指令，即完成一个名为L且通过此二点或该线段之中垂线。以几何操作方式建立角平分线，需先选择工具按钮中的「角平分线」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知三点，或二直线。注意在点的选取顺序，是以有向角的观念，以逆时针方向顺序选取之后，则建立此三点所构成角之角平分线，或二直线所构成角之角平分线。而若以代数式建立，则键入L=AngularBisector[点对象1,点对象2,点对象3]这样的指令，即完成一个名为L且通过以此三点所构成角且以点物件2为顶点之角平分线。或键入L=AngularBisector[直线1,直线2]这样的指令，即完成一个名为L且以二直线为边之角平分线。16 GeoGebra使用入门切线、轨迹～范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）切线点选「切线」，以鼠标点出一点及一已知函数。(函数做法见进阶操作范例，或参看右方代数式说明)f(x)在点A时的切线注意f为一函数，其中点A的x坐标值当然必须为f函数之定义域中的元素。例如，可透过下列代数式建立一函数，及此函数上某一点之切线。f(x)=3x^2+1A=point[f]GeoGebra使用入门 17L=tangent[A,f]轨迹点选「轨迹」，以鼠标点出一已知点，及其相关点各一。这个功能在表面上，就是点选两个点。但是要注意的是这二个点的关系为何，可详参右方的代数式说明。L_1=Locus[B,A]依据在某对象上之一点A所控制的点B的轨迹线。注意B应定义为A的相关表达式，且A应为某对象上的一点。例如，可透过下列一连串代数式，定义出在A所在对象上方3单位的轨迹图形。f(x)=3x^2+1A=point[f]B=A+(0,3)L_1=locus[B,A]即可做出L_1为f向上平移3单位的拋物线图形。辅助说明以几何操作方式建立切线，需先选择工具按钮中的「切线」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出一点及一已知函数(函数做法见进阶操作范例，或参看以下说明)。注意f为一函数，其中点A的x坐标值当然必须为f函数之定义域中的元素。例如，可透过下列代数式建立一函数，及在其上某一点之切线：f(x)=3x^2+1、A=point[f]、L=tangent[A,f]。则建立出函数f在点A之切线L。以几何操作方式建立轨迹，需先选择工具按钮中的「轨迹」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出一已知点，及其相关点各一。这个功能在表面上，就是点选两个点，但是要注意的是这二个点的关系为何。在代数式中下指令L_1=Locus[B,A]，意指依据在某对象上之一点A所控制的点B的轨迹线。注意B应定义为A的相关表达式，且A应为某对象上的一点。例如，可透过下列一连串18 GeoGebra使用入门代数式，定义在A所在对象上方3单位的轨迹图形，f(x)=3x^2+1、A=point[f]、B=A+(0,3)、L_1=locus[B,A]，可做出L_1为f向上平移3单位的拋物线图形（注：像L_1这样的标记，底线后的第一个字符为下标）。4.多边形、正多边形GeoGebra使用入门 19范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）多边形点选「多边形」，以鼠标点出若干点后建立。Poly1=Polygon[A,B,C,...]由给定点A、B、C所围成的多边形20 GeoGebra使用入门正多边形点选「正多边形」，以鼠标点出两点及输入一数值n后建立。Poly1=Polygon[A,B,n],n≧3包括点A、B的正n边形，注意用此方法建立时，若n值本身又是由一滑杆，或其它对象控制之值，则各边及顶点是以动态出现的现象呈现。辅助说明以几何操作方式建立多边形，需先选择工具按钮中的「多边形」或「正多边形」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知或实时新建的若干点，最后再点选回第一个点之后建立。或点选「正多边形」，以鼠标点出已知两点及输入一数值n后建立。注意此动作其实只是建立了此多边形之各顶点，然后顺便建立了依附在这些点上的边及整个多边形的物件。5.圆形、扇形、圆弧GeoGebra使用入门 21圆形～范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）圆点选「圆(…)」，以鼠标点出已知二点、或已知一点及输入一数值为半径、或点出已知三点后建立。c=Circle[M,r]圆心M且半径为r的圆。c=Circle[M,s]圆心M且半径为s的长度的圆，其中s为一已知线段。c=Circle[M,A]圆心M通过点A的圆。c=Circle[A,B,C]通过三点A、B、C的圆。22 GeoGebra使用入门辅助说明以几何操作方式建立圆，需先选择工具按钮中的「圆(…)」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知二点或实时新建的二点，或是点出已知三点及或实时新建的三点，或是点出已知一点及输入一数值为半径，皆可建立一圆。相关的代数式为输入c=Circle[M,r]，则可建立圆心M且半径为r的圆，其中r为一已知数值。c=Circle[M,s]，可建立圆心M且半径为s的长度的圆，其中s为一已知线段。c=Circle[M,A]，可建立圆心M且通过点A的圆。c=Circle[A,B,C]，则是可建立通过三点A、B、C的圆。扇形、圆弧～范例图GeoGebra使用入门 23各编辑区方法列表扇形点选「扇形(…)」，以鼠标点出三点(第一点为圆心)后建立，或任意三点来建立一通过此三点的扇形。c=CircularSector[M,A,B]圆心为M，起点为A、终点为B的扇形，注意A、B两点点选的顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。弧点选「圆弧(…)」，以鼠标点出三点(第一点为圆心)后建立，或任意三点来建立一通过此三点的弧。c=CircularArc[M,A,B]圆心为M，起点为A、终点为B的圆弧，注意A、B两点点选的顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。c=CircumcircularArc[A,B,C]依序通过A、B、C三点的圆弧。辅助说明以几何操作方式建立扇形，需先选择工具按钮中的「扇形(…)」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知一点为圆心及圆上两个已知点或新建二点，又或者是直接点出任意三点，皆可以建立一扇形。相关的代数式输入为c=CircularSector[M,A,B]，可建立圆心为M，起点为A，终点为B的扇形，注意A、B两点点选的顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。弧的建立与扇形的建立方式大致相同，唯需注意通过三点A、B、C的圆弧，三点的点选顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。24 GeoGebra使用入门6.角、斜率GeoGebra使用入门 25范例图各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）角点选「测量角度」，以鼠标点出已知三点后建立。α=Angle[A,B,C]以B为顶点，线段BA和线段BC为两边的夹角，注意A、C二点的点选顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。斜率点选「斜率」，以鼠标点出已知直m=slope[L]26 GeoGebra使用入门线后建立。而斜率，其虽然为一数值，但在几何区中会以一小直角三角形呈现其意像。已知直线L之斜率。辅助说明以几何操作方式建立角，需先选择工具按钮中的「测量角度」按钮，虽然其功能名为测量角度，但其为建立一角对象。然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知一点或新建一点A为起始点，及一已知点或新建点B为顶点，再点出已知一点或新建一点C为末端点，则可建立一角对象。注意通过A,B,C三点的角，三点的点选顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。相关的代数式输入为c=Angle[A,B,C]，可建立起始点为A，末端点为C，顶点为B的角。以几何操作方式计算斜率，需先选择工具按钮中的「斜率」按钮，以鼠标点出已知直线后建立。而斜率其虽然为一数值，但在几何区中会以一小直角三角形呈现其意像。若以代数式建立，则键入m=slope[L]，因其为一数值，终究不是一个图形，所以通常斜率数值在几何区中建议隐藏其图示。7.对称、平移、旋转GeoGebra使用入门 27范例图～对称各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）点对称点选「点对称」，以鼠标点出已知一点、或已知直线或已知多边形，及其对称点后建立出该已知点、直线或多边形的点对称图形。C=Mirror[A,B]以B为对称点，做出点A的对应点CL=Mirror[g,B]以B为对称中心，作直线g之线对称图形LP=Mirror[p,B]以B为对称中心，将多边形p作对称。线对称同上，但对称中心改为直线。同上，但对称中心改为对称轴。28 GeoGebra使用入门辅助说明以几何操作方式建立对称对象，需先选择工具按钮中的「线对称」或「点对称」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知点或已知直线或已知多边形，及其对称轴(点)后建立出该已知点、直线或多边形的线(点)对称图形。相关的代数式输入为，对称对象名称A'=Mirror[原对象A,线对象或点对象]，可建立以线对象或点对象为对称中心，相对于原对象的新对称对象。平移～范例图GeoGebra使用入门 29各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）平移点选「平移」，以鼠标点出已知物件，如点、线、多边形等及一向量后建立。A'=Translate[A,v]以向量v平移点Aa'=Translate[a,v]以向量v平移直线apoly'=Translate[poly,v]以向量v平移多边形poly辅助说明以几何操作方式建立平移对象，需先选择工具按钮中的「平移」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知点或已知直线或已知多边形，及其平移向量后，建立出该已知点、直线或多边形的平移图形。相关的代数式输入为平移后对象名称A'=Translate[原对象A,向量v]，可建立将原对象以向量v为基准，所建立的新平移后对象。30 GeoGebra使用入门旋转～范例图GeoGebra使用入门 31各编辑区方法列表方法物件几何建立代数建立范例（建立时最好包含自订对象名称）旋转点选「旋转」，以鼠标点出已知对象如点、线、多边形等，再点选一旋转中心，并输入角度建立旋转后的对象。A'=rotate[A,φ,B]以B为旋转中心，将A旋转角度φa'=rotate[a,φ,B]以B为旋转中心，将线段a旋转角度φpoly'=rotate[poly,φ,B]以B为旋转中心，将多边形poly旋转角度φ辅助说明以几何操作方式建立旋转对象，需先选择工具按钮中的「旋转」按钮，然后在几何显示作图区中，以鼠标点出已知点或已知直线或已知多边形，及其旋转中心点，再输入一旋转角度后，建立出该已知点、直线或多边形之旋转后的图形。相关的代数式输入为，旋转后对象名称A'=rotate[原对象A,旋转角度φ,旋转中心点B]，可建立将原对象以旋转中心点B为基准，旋转φ角度后，所建立之新的旋转后对象。注意其旋转角度是以逆时针有向角度量的。32 GeoGebra使用入门8.数值滑杆、文字GeoGebra使用入门 33范例图各编辑区方法列表方法对象几何建立代数建立范例数值滑杆点选「数值滑杆」，设定起始值、终值及增量后建立。无法由代数式建立。文字点选「插入文字」，输入文字后建立。点选「插入文字」后会出现一文字编辑视窗，在其中可运用各式的代数对象，及以类程序语法组成一文字字符串，并可选择是否搭配Latex表示式来呈现。有关Latex表示式可参阅教学网页。网址为http://edt1023.sayya.org/tex/latex123/latex123.html34 GeoGebra使用入门输入可能的输出结果"第一句，这是静态文字"这是静态文字"第二句，参用A点坐标="+AA点坐标=(3.05,2.54)"第三句，参用线段a="+a+"cm"线段a=5.87cm1.若全句皆没有双引号，则全句以纯字符串视之。2.与双引号一起运用时，可加入如if[expression,"文字A","文字B"]，这样的式子，增加其动态显示的效果，且字符串的连接以加号串接之。3.在文字输入窗口中，要使用Latex表示式，要点选Latex勾选框。GeoGebra使用入门 35辅助说明以几何操作方式建立数值滑杆对象，需先选择工具按钮中的「数值滑杆」按钮，然后在几何显示作图区中任意位置点击后，会出现一数值滑杆设定窗口，其中要填入者，有起始值、终值、增量及数值角度选择钮。其余属性如大小颜色等，可随个人喜好设定，填妥后按确定，即建立一数值滑杆对象。此对象目前无法由代数式建立。注意数值滑杆内之起始值、终值、增量等，皆无法以变量设定，须以明确的数字设定之。这通常是给使用者控制各项数值大小的工具，以便能做出各种动态呈现的图形。以几何操作方式建立文字对象，需先选择工具按钮中的「文字」按钮，然后在几何显示作图区中任意位置点击后，会出现一文字编辑窗口，在其中可运用各式的代数式对象，及类程序语法组成一文字字符串，并可选择是否搭配Latex表示式来呈现(有关Latex表示式请参阅相关教学网页)。注意，若全句皆没有双引号，则视为纯字符串。若与双引号一起运用时，可加入如if[expression,"文字A","文字B"]，这样的式子，增加其动态显示的效果，且字符串的连接须以加号串接。在文字输入窗口中，要使用Latex表示式，记得一定要点选Latex勾选框，系统才会将字符串转译成正确的数学式，以增加可读性，这对阅读者来说，是一个很方便的界面。36 GeoGebra使用入门9.对象的属性设定对于任何一个对象，都有其相对应的属性。这些属性大致包含有以下四类：1. 一般：包含对象名称、对象的代数式定义、显示与否、名称或数值的显示方式、是否设定为辅助对象等。其中名称、代数式定义这二项在造出对象时，大概就已经被使用者所指定好。例如圆c=circle(A,2)，其中c就是这个圆的名称，circle(A,2)是这个圆c的定义。其余关于显示与否、名称或数值的显示方式、是否设定为辅助对象等，则可随使用者设定勾选。(如下图一)2. 颜色：顾名思义，此即为对象颜色的设定。(如下图二)3. 样式：包含线宽等级及填色的比例设定。(如下图三)4. 进阶：通常是伴随一个布尔变量或布尔表达式，去设定此对象要显示与否的条件，若此条件被设定，则在前面一般设定中显示对象与否的勾选框便自动失效。另外有随着不同对象会出现的不同属性，如代数式显示方式、数值滑杆设定、文字字号等，使用者可逐一实验。(如下图四)图一 图二图三 图四GeoGebra使用入门 37进阶操作范例1.直线方程式、函数有些对象，无法由几何编辑接口建立，这时以代数式直接在GeoGebra下方输入列中建立，是一个很方便的方法。例如指定系数的直线方程式、或一些自订函数，如L:2x-5y=-2，其中L为此直线方程式的名称，注意以冒号区隔式子。其中系数与代数项x或y之间，须填入一空格，以代表不同的对象相乘，若没有以空格隔开，系统会将其错认为另一代数变量对象。函数的建立，通常遵循一般常用的表示法，例如可在代数输入列中键入f(x)=x^2+3x-1，其为一个二次拋物线函数，建立完成后，系统便直接将此函数在几何区中绘出。其中「^」为次方的连接符号，例如在本例中，x^2就代表x的2次方。38 GeoGebra使用入门2.动态文字处理、代数式定义处理：if语法的应用范例：四边形的种类在文字的呈现处理中，可以搭配一些控制语法如if叙述，来强化其动态显示的效果，例如在上例中，除了点A为唯一自由点以外，其余三个顶点分别以z数值滑杆来决定四边形的长宽，用α角度数值滑杆来决定A点倾斜的角度。其定义语法如下B=If[z<3.5,(x(A)+zcos(α),y(A)+zsin(α)),(x(A)+3.5cos(α),y(A)+3.5sin(α))]表示点B位置为距A点z单位，且倾斜α角度的上方位置。当z值小于3.5时，AB长度随z值大小改变，若z值大于3.5，则AB长度停留在3.5，不随z值大小而改变。C=If[z<6,(x(B)+z,y(B)),(x(B)+6,y(B))]表示点C位置为距B点z单位的右方位置。当z值小于6时，BC长度随z值大小改变，若z值大于6，则AB长度停留在6，不随z值大小而改变。D=(x(A)+z,y(A))表示D点在点A的右边z单位远。GeoGebra使用入门 39这样的设定，可以让二个数值滑杆就变化出正方形、长方形、菱形、梯形、平行四边形等不同的四边形类型。而在文字说明的呈现上，若搭配if[布尔值,真值的字符串,伪值时的字符串]的语法，可显示出相对应的四边形类型名称。其中上图红框中的语法为"目前这个四边形是一个「"+(If[α؟90°,If[z<3.5,"正四边形(即正方形)",If[z>6,"梯形","矩形(即长方形)"]],If[z<3.5,"菱形",If[z<6,"平行四边形","梯形"]]])+"」"如此便能造出动态的文字呈现效果。40 GeoGebra使用入门3.参数曲面(Curve)这个范例是另一个比较简单的连续参数曲面，在上图中，我们用了二个数值滑杆r、t，及一个角度数值滑杆θ、分别控制这个圆的半径，及画出多少角度的弧，t滑杆则是为了突显参数曲面的函数性格。即当作是L参数区面中的定义域的角度值，以计算出相对应的点坐标对象值，在本例中，A=L(t)，会随t值变化计算出在圆上的一个点坐标。其中红色的参数区面(圆弧)定义为：L=Curve[rcos(t),rsin(t),t,0,θ]表示L为由半径为r，且角度为t的极坐标点(r,t)所构成的无限点集合。其中t是由0到θ的动态变量值。此图形可随着不同的终值θ(0<θ<2pi)之变化，绘出不同大小的圆弧。GeoGebra使用入门 414.序列物件(Sequence)范例–多边形内角和公式序列对象，对绘制离散形集合对象，是一个好用的代数定义方法。图中以正多边形为讲解范例，意图将正多边形内角和公式，用内部三角形切割方式拼凑出来，图中我们用了二个数值滑杆r、n，分别去控制这个正多边形半径的大小，及正多边形的边数。一组控制观察角度的旋转对象、三个序列对象：n个顶点、n条边、n－3条切割线，及一组静态文字，一组动态文字，除静态文字较简单外，其余对象之定义方法分别说明如下：42 GeoGebra使用入门一、n数值滑杆为了方便学生观察各种多边形的内角切割情形，可定义一个名为n的数值滑杆，以控制多边形边数。二、r数值滑杆为了视觉效果是否清晰与观察单纯化的考虑，我们用正多边形为观察对象。定义一个名为r之数值滑杆，控制这个正多边形中心到顶点的长度，亦即此正多边形外接圆的半径。三、一组旋转控制对象是为了要能从各种角度观察出此正多边形切割后的情形，所设计的一组对象。3.1一个基于圆心B，半径为1的应变控制圆c=circle[B,1]，其中B为一自变点对象。3.2一个在圆c上，圆心B的x坐标加一单位的观察角度基准点，应变对象C＝B＋(1,0)。3.3在圆c上建立一自由点D=point[c]。虽然他被限制在圆c的圆周上游移，但其值并未被限制死，仍应视为一依附于圆c的自变对象。3.4建立一个应变角度对象α=Angle[C,B,D]，以B为顶点，由基准点C转到D的有向角。四、建立此正多边形的动态切割图4.1一个自变自由点对象O，当作此正多边形的中心。4.2一组基于点O、半径r、观察角度α，所动态产生的n个应变顶点对象，可用序列集合对象，命名为Pset，定义为Sequence[O+(rcos(α+(i-1)360°/n),rsin(α+(i-1)360°/n)),i,1,n]由于这部分比较复杂，说明如下：我们希望建立的n数值滑杆在变动时，顶点数及相关位置也会跟着变动。例如当n变成5，则图形就出现正五边形的五个顶点，可以让我们藉此做出正五边形及切割线。而这五个顶点我们将它视为一个对象。如此设计，使得不管n值滑到多少，这n个顶点都只算是一个对象，这样就可以很方便的控制它。而要达成这个目的，可以使用sequence。它包含4或5个参数，一是对象代数式定义，二是变动指标，三是起始值，四是终值，五是增量，若是第五个参数没写，则内定为1。GeoGebra使用入门 43例如：sequence[(i,i+1),i,1,5]，这个指令可以造出一个包含5个点的集合对象｛(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)｝，如上页图中的点。若将第一个参数改成线段对象，则会造出一个包含5条线段的集合，指令可改成sequence[segment[(i,i),(i,i+1)],i,1,5]，如上页图中的线段。在本文中，第一个参数是点的代数定义式，其中x坐标为rcos(α+(i-1)360°/n)，y坐标为rsin(α+(i-1)360°/n)。将这二个式子用小括号包起来，则形成一个点。再加上原点O，表示以O为圆心，r为半径，α为起始的有向角度，依序每隔360°/n，在这个没显示出来的圆上，所画出的n个顶点。4.3切割线顶点A＝Element[Pset,1]，表示Pset集合对象中的第一个元素。Element是撷取sequence集合对象中某个元素的指令。4.4正多边形的各边对象命名为slideset，定义如下：Sequence[Segment[Element[Pset,Mod[i-1,n]+1],Element[Pset,Mod[i,n]+1]],i,1,n]，表示依Pset集合对象中的点元素顺序，所依序画出正多边形的n个边。其中Mod[i,n]，表示i除以n之后的余数。这样可以让我回抓一整圈的顶点，以便造出所有的边。4.5基于切割顶点A的切割线，命名为Crosslide的对象，定义如下：Sequence[Segment[A,Element[Pset,i+2]],i,1,n-3]，表示以A为顶点，依序画出n-3条从A点到除了自己及其相邻顶点之外的各顶点联机段之切割线集合对象。五、动态说明文字由于参用到n数值滑杆，所以此段说明文字，也属于应变对象。其中的+号，是代表将前后字符串，串在一起的连接指令。呈现如下："以A为顶点，连到除自己及相邻两顶点以外的"+(n-3)+"个顶点"+"将此多边形切成"+(n-2)+"个三角形"+"可得此正"+n+"边形内角和为180°×(n–2)="+180+"×"+(n-2)+"="+(180(n-2))+"°"六、对象属性以能明显观察为准则，调整各对象属性，如显示与否、颜色、大小等，以利观察与操作。44 GeoGebra使用入门5.自订工具列管理当使用者设计了一个对象时，一般来说，可将此对象的成份，归类成自变对象及应变对象，以及一些中间过程参用到的辅助对象，这些辅助对象其本质也大概都是应变对象。若此时使用者认为设计出的对象具有常用的价值，就可以将他包装成一个新工具。尔后再次使用到时，就会非常方便，不用再重新设计。本单元以绘制等腰直角三角形为例说明之。首先还是依照一般方式将等腰直角三角形先造出来，其代数定义式程序如下：1.A=(2,3)2.k=53.B=A+(k,0)4.C=B+(0,k)5.poly_1=Polygon[A,B,C] 图(一)此时会在几何区造出一个等腰直角三角形，也会同时造出此三角形三边所成的三条线段a、b、c。仔细分析此三角形，可看出真正的自变对象为点A、数值k。而最后造出的对象为三角形poly_1，其余中间过程的应变对象有点B、C，三角形的三边a、b、c也可视为是中间过程的应变对象。接下来可点选菜单列的「工具」，「新工具」后，出现新工具编辑窗口如图(一)。GeoGebra使用入门 45此时需要设定三个部分，说明如下：1. 输出对象：在下拉式选单中选取「三角形poly1:多边形A,B,C」2. 点选输入对象，会自动出现此三角形所对应的输入对象，即其自变物件，如图(二)，此时选取点Ａ，并将之往上移，以控制新工具自变物件的输入顺序。 图(二)3. 在名称与图标的卷标页中，须设定工具名称，指令名称，与工具说明三项。其中工具名称为显示在功能表列上的文字，指令名称则为代数式的定义字符，工具说明则与工具名称一起出现在菜单列上，是一个提示使用者如何操作的功能说明，如图(三)。 图(三)以上三部份皆设定完成后，按下完成，则在功能按钮列的最右一格会出现此等腰三角形的功能钮。使用者可以按此方式在一个档案中，造出多个工具。之后也可以在菜单列中的「工具」、「工具管理」中编辑各自订工具的名称指令与说明。接下来便可以一般几何方式，或代数方式直接运用此工具。例如输入DDR=S1[G,5]，则会造出一名为DDR，且以点G为左下角顶点，腰长为5的等腰直角三角形。注意：以此方法所造出的工具，只能随原档案一同存盘，若想在别的GeoGebra档案中使用此工具，必须将原檔另存成附檔名为ggt的档案，然后在想参用此工具的ggb档中开启此ggt档，这个开档动作并不会影响此ggb档的内容，但是会在功能按钮中出现汇入的新工具按钮。46 GeoGebra使用入门附录：以代数式建立对象之指令速查表类别物件代数式范例简易说明数值数a=5指定a变数值为5点自由点A=(3,2)在坐标平面上建立点A(3,2)交点A=Intersect[a,b]直线a、b的交点A中点C=Midpoint[A,B]点A、B之中点CC=Midpoint[s]线段s之中点C线直线L=line[A,B]通过A、B两点的直线线段a=segment[A,B]通过A、B两点的线段射线a=Ray[A,B]从点A通过点B的射线a向量u=Vector[A,B]从点A通过点B的向量uu=Vector[A]从原点通过点A的向量u射线a=Ray[A,u]从点A且方向为向量u的射线a垂直线Perpendicular[C,a]通过点C且垂直于线a的直线Perpendicular[C,u]通过点C且垂直于向量u的直线并行线L=line[C,a]通过C点且平行于线a的直线中垂线L=LineBisector[A,B]点A、B间的中垂线L=LineBisector[s]线段s的中垂线角平分线L=AngularBisector[A,B,C]以B为顶点之角ABC角平分线L=AngularBisector[a,b]直线a和b的角平分线切线f(x)=3x^2+1A=point[f]L=tangent[A,f]函数f(x)函数f(x)上一点A函数f(x)在点A的切线面多边形poly1=Polygon[A,B,C,D,E]由给定点A,B,C,D,E所围成的多边形正多边形poly1=Polygon[A,B,n],n≧3以线段A,B为边长的正n边形圆圆c=Circle[M,r]以点M为圆心，数值r为半径的圆c=Circle[M,s]以点M为圆心，线段s的长度为半径的圆c=Circle[M,A]以点M为圆心，M点到A点长度为半径的圆c=Circle[A,B,C]通过三点A、B、C的圆GeoGebra使用入门 47类别物件代数式范例简易说明圆扇形c=CircularSector[M,A,B]圆心为点M，起点为A，终点为B的扇形，注意A、B两点点选的顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。c=CircularSector[A,B,C]圆心为A，起点为B，终点为C的扇形，且C点不必需在扇形上弧c=CircularArc[M,A,B]圆心为点M，起点为A，终点为B的圆弧，注意A、B两点点选的顺序，是采用逆时针方向的有向角观念。c=CircumcircularArc[A,B,C]通过三点A、B、C的弧方程式直线方程式L:2x-y=2建立名为L之直线方程式，注意以冒号区隔式子函数一次函数f(x)=2x-2建立名为f之一次函数二次函数f(x)=2x^2-2建立名为f之二次函数复合型态f(x)=sin(x)+cos(x)利用内建三角函数建立名为f之函数集合集合SET={2,5,8,3,4}建立名为SET集合，内含五个数值形态的元素集合元素撷取a=Element[SET,3]撷取SET集合物件之第三个元素，在本例中即为a=8序列离散型集合对象范例1Pset=sequence[2n,n,1,5]建立名为Pset之集合对象，元素包含{2,4,6,8,10}，即变数n由1到5，依序代入2n这个表达式所求出之值所成的集合离散型集合对象范例2a=2b=4Pset=sequence[2n,n,a,b]建立名为Pset之集合对象，元素包含{4,6,8}，即变量n由a到b，依序代入2n这个表达式所求出之值所成的集合参数曲面参数式无序性点集合r=2c=Curve[rcos(t),rsin(t),t,0,2]建立出点(2cos(0),2sin(0))，到点(2cos(3),2sin(3))的所有点集合，并以c(1)=(2cos(1),2sin(1))这个点的函数形态应用48 GeoGebra使用入门类别物件代数式范例简易说明几何转换对称点C=Mirror[A,B]以点B为对称中心，做出点A的对应点C对称线L=Mirror[g,B]以点B为对称中心，作直线g之点对称直线L对称多边形q=Mirror[p,B]以点B为对称中心，作多边形p之点对称多边形q对称点C=Mirror[A,a]以直线a为对称轴，做出点A的对应点C对称线L=Mirror[g,a]以直线a为对称轴，作直线g之线对称直线L对称多边形q=Mirror[p,a]以直线a为对称轴，作多边形p之线对称多边形q布林值布尔变数a=trueb=false建立一名为a及b的布尔变量，且指定其值为真及假s=3a=5e=(a==s)将s设为数值3，a设为数值5，再判断a是否等于s，再把结果传回e，本例中，结果为e=false文字静态文字T="一串你想显示在几何区的字符串"双引号内的字符串即为T的值，在此情形下，也可省略双引号动态文字T="看a的真假，再决定要显示真或假，结果是"+if[a,"a为真","a为假"]一段双引号再加上一段判断式，此时双引号不可省略结果为:T=看a的真假，再决定要显示真或假，结果是a为真T="看a的真假，再决定要显示3或是5，结果为"+if[a,3,5]结果为：T=看a的真假，再决定要显示3或是5，结果为3GeoGebra使用入门 49