2013年9月30日星期一8时34分37秒
1
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 1
新疆大学物理科学与技术学院
Burhan Salay
第一章 电磁现象的普遍规律
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 2
新疆大学物理科学与技术学院
Burhan Salay
博尔汗.沙来
新大物理学院 物理2010-2班,
本部 D_3-4: 1-216
本部 Q_3-4: 1-216
20132013年年99月月3030日星期一日星期一88时时3434分分3737秒秒 Burhan Burhan Salay@XJUSalay@XJU 33
教材: 郭硕鸿, 电动力学(第三版), 高等教育出版社, 2008年6月;
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• 主要参考
:
• 虞福春、郑春开,电动力学( 修订版 ), 北京大学出版社,2003,9
• [美] P.劳兰、D.R.考森,电磁场与电磁波,人民教育出版社,1980,7。
• 蔡圣善、朱耘、徐建军,电动力学, 高等教育出版社,2002-07,面向21世
纪课程教材, 33.00
• 元俞允强, 电动力学简明教程,北京:北京大学出版社, 2000年7月, 15.50元;
• 张宗燧, 电动力学及狭义相对论,北京大学出版社,2004-2-1,25.00元
• 曹昌棋, 电动力学,人民教育出版社, 1961年7月。 (曹昌棋老版)
• 曹昌祺, 经典电动力学, 科学出版社, 2009-8, ~¥78.00元 (曹昌棋新版)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• [美] J.D. 杰克逊,经典电动力学,人民教育出版社,上、
,1980,5;
• [美] J.D. Jackson, Classical Electrodynamics (3rd Ed),高等教育出版社,
2004,4 ,16开,~¥80.00。
• Bhag Singh Guru, Huseyin R. Hiziroglu, 电磁场与电磁波,机械工业出版
社,2000,8
• 昊寿锽、于士章等,电动力学,西安交通大学出版社,1988年1月,第一版,
1993年6月,第二版
• 罗春荣,电动力学,第3版,西安:西安交通大学出版社,2000年侯杰昌,电
磁波传播原理,武汉大学出版社,1991年12月。
• [德]顾莱纳 (Walter Greiner), 经典电动力学, 世界图书出版公司, 2005-6,
~¥89.00元 2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 4
第一章 电磁现象的普遍规律
§ 1 电荷和电场
1.1 库仑定律
库仑定律是静电现象的基本试验定律,它
述如下:
r
r
QQF KK
3
04πε
′=
0
7
-12
0 2
r Q Q
10 8.854 187 817620 10 F /m
4 c
ε
ε π
′
= = ×
K式中 为由 到 的径矢, 是真空电容率(真空的
介电常数),
Q Q′rK
为:的作用力对另一点电荷真空中静止点电荷 FQQ ′
( )2 7 9 3 2 4
0
1 10 8.9875517873681764 10 kg.m / A
4
c sπε
−= = ×
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 5
z
x
y
( )E Q E Fx x ′K K KK K
我们用一个单位试验电荷在场中所受的力来定义电荷所
在点 上的电场强度 。电荷 在电场 中所受的力 为
EQF
KK ′=
所激发的电场强度为点电荷由库仑定律得一个静止 Q
3
04 r
rQE πε
KK =
P
E
i
i
i Q
r
KK
电场具有叠加性,即多个电荷所激发的电场等于每个
电荷所激发的电场的矢量和。设第 个电荷 到 点的
距离为 ,则点上的总电场强度 为
3
0
,
4
i i
i i i
i
Q rE r x x
rπε= ≡ −
KK K K K
E: Electric Field Intensity
ix′K x
K
( ), ,P x y z
ir
K
3
0
,
4
i i
i i
i i
Q rE r x x
rπε= ≡ −∑
KK K K K
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 6
( )
( ) ( ) 3
0
) ( ) ,
4
x P x r
x dV P E
x dV r
d E x
r
ρ
ρ
π ε
′
′ ′
′ ′=
K K K
KK
K KK K
设由源点dQ( 到场点 的距离为
则dQ= 在 点的电场强度 为
( ) ( ) 3
0
,
4V
V
P E
x r
E x d V
r
ρ
π ε
′ ′= ∫
K
K KK K
对 电 荷 分 布 区 域 积 分
得 点 的 总 电 场 强 度
电荷连续分布的带电体的电场强度
,
( )
V V
x dV dV dQ
x dVρ
′ ′ ′
′ ′
K
K
如图,设电荷连续分布于区域 内,在 内某点
上取一体积元 在 内所含的电荷 等于
该点上的电荷密度 乘以体积 ,即
( )dQ x dVρ ′ ′= K
式中积分遍及全部电荷分布区域。
( )zyxP ,,z
x
y
xKdQ
xK′
rK
V
2013年9月30日星期一8时34分37秒
2
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 7
1.2 高斯定理和电场的散度
QS dS S
S E
K
K
设 表示包围电荷 的一个闭合曲面, 为 上的
定向面元,以外
电场
法线方向为
的
正向。通过闭合曲面
的 定通量 义为面积分:
E S
E dSΦ ≡ •∫∫ KK
由库仑定律可以推出关
电通量的
于
高斯定理
0
S
QE d S ε• =∫
KKv
。为闭合曲面内的总电荷式中Q
E
GK
Sd
G θ
nG
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 8
(高斯定理的) 证明:
Q dS
K设曲面内有一点荷 ,其电场通过面元 的通量为
2
0
Q
cos dS cos ,
4
E dS E dS
r
θ θπε• = =
K K
的通量为对闭合曲面因此,
所张开的立体角元电荷
对为面元的球面上的面积。
为半径为面元投影到以的夹角,与为式中
SE
dQ
Sdr
dS
rdSrSd
K
K
KKK
.
cos
cos
2
Ω
θ
θθ
0 04
Q QE d S dπε ε• = Ω =∫ ∫
KKv v
s
rK
ΩdQ
Sd
K E
K
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 9
0
,iQ E S
S Sε
K在一般情况下,电场Gauss定理的微分形式:设空间中有多个电荷 则 通过任一闭合曲面 的总通量等于
内的总电荷除以 而与 外的电荷无关,即
.
0
1
i
i
E d S Qε• = ∑∫
KKv iQ S(所有 都在 内)
得通量为对闭合曲面间中,则如果电荷连续分布于空 SEK
0
1
S V
E d S d Vρε• =∫ ∫
KKv v
外的电荷分布无关。与
内的总电荷边为所包围的体积。上式右为式中
V
VSV
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 10
** [补充] 高斯定理的直接证明
( ) 3
0
1
4S V S
rE dS x dS dV
r
ρπε ′
⎡ ⎤′ ′⋅ = ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫
GG GG Gv v
( ) 3
0
1
4 V V
rx dV dV
r
ρπε ′
⎡ ⎤′ ′= ∇ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
GG
( ) ( )
0
1 4
4 V V
x x x dV dVρ πδπε ′ ⎡ ⎤′ ′ ′= −⎣ ⎦∫ ∫G G G
( ) ( )
0
1
V V
x x x dV dVρ δε ′ ⎡ ⎤′ ′ ′= −⎣ ⎦∫ ∫G G G 0
Q
ε=
( ) 314
rx x
r
δ π′− = ∇ ⋅
GG G
++
E
dS
利用点电荷可以验证高斯定理
( )
3
0
1
4 V
x
E r dV
r
ρ
π ε
′ ′= ∫
GG G
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 11
高斯定理的微分形式
因此而右边趋于乘上体积元
的散度,上式左边趋于电场根据矢量场散度的定义
,1,
0
dVdV
E
ρε
K
0ε
ρ=•∇ EK
上式反映电荷对电场作用的局域性质:空间某点邻域的电场
散度值只和该点上的电荷密度有关,而与其它地点的电荷分布
无关;电荷只激发邻近的场,而远处的场则是通过场本身的内
部作用传递过去的。只有在静电场的情况下,远处的场才能以
库仑定律形式表示出来,而一般运动电荷情况下,远处的场不
能用库仑定律形式表出,但实验证明:更基本的局域关系-------
即上式仍然成立!
(电场高斯定理的微分形式)
静电场的散度方程
( )
0
1
S V V
E dS E dV x dVρε ′⋅ = ∇ ⋅ =∫ ∫ ∫
GG G Gv
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 12
1.3 静电场的旋度
的环量对任一闭合回路所激发的电场点电荷 LEQ K
L
E d l• =∫ KKv 3
04
Q r dl
rπε •∫
K Kv
rKL
ld
K
dr
Q
d l r
r d l r cos d l r d r ,
θ
θ• = =
K K
KK
设 与 的夹角为 ,则
因此
2
0 0
1,
4 4
Q d r QE dl d
r rπ ε π ε• = = −∫ ∫ ∫
KKv v v
的回路积分为零,得微分,右边被积函数是一个全 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
r
d 1
0
L
E d l• =∫ KKv
2013年9月30日星期一8时34分37秒
3
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 13
结论:静电场是无旋场
E dS dS∇ × • K KK
把上式化成微分形式就可以求出静电场的旋度:首先
利用旋度的定义,再利用Stokes定理把上式左边写成
,最后把S缩小到一点,由 的任意性得
0=×∇ EK
静电场的散度和旋度表示电荷激发电场以及电场内
部联系的规律性,是静电场的基本规律。
它们所反映的物理图像是:电荷是电场的源,电场线
发自正电荷而终止于负电荷,电力线在无电荷处不中
断(即连续);在静电情形下电场没有漩涡状结构。
静态场: Time-invariant field;
时变场: Time-varying field
0
L
E d l• =∫ KKv
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 14
附注:散度和旋度的定义(复习)
( ), ,f x y zK矢量场 的散度
0S V V f S
V f
Δ Δ →
Δ
设闭合曲面 围着体积 。当 时, 对 的
通量与 之比的极限称为 的散度
0
lim S
V
f dS
div f f
V
Δ
Δ →
•= = ∇Δ
∫∫ K KK Kiw
( )K矢量场 的旋度, ,f x y z
量。的旋度沿该面法线的分之比的极限称为与
的环量对时,,当围着设闭合曲线
fS
LfSSL
Δ
→ΔΔ 0
( )
0
lim
n
L
n S n
f d l
rot f
S
Δ
Δ →
•= Δ
∫ K KK v rot f f⇒ = ∇×K K
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 15
0
L
E dl =∫ KK iv
.
0 0
1
i
i
E dS Qε ε• = = ∑∫
K KvS Q
0ε
ρ=•∇ EK (静电场高斯定理的微分形式)
(静电场高斯定理的积分形式)1
2 (静电场环路定理的积分形式)
0E∇× =K
结论:静电场是有源 无旋场。
(静电场环路定理的微分形式)
复习1:静电场的规律: 静态场: Time-invariant field;
时变场: Time-varying field
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 16
静电场的基本方程及其物理意义
0
, 0E Eρε∇ ⋅ = ∇ × =
G G
微分形式
( )
0 0
1
S V
QE dS x dVρε ε ′ ′⋅ = =∫ ∫
GG Gv
0
L
E dl⋅ =∫ GGv
积分形式
物理意义:反映电
荷激发电场及电场
内部联系的规律性。
物理图像:电荷是电场的
源,静电场是有源无旋场。
例例 题题::电荷均匀分布于半径为电荷均匀分布于半径为aa的球体内,求各的球体内,求各
点场强的散度和旋度。点场强的散度和旋度。
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 17
S V
dS AdV= ∇∫∫ ∫∫∫K K Ki iw A
复习2:数学高斯[Gauss]定理---普遍的积分恒等式:
S V
dS AdV= ∇∫ ∫K K Ki iv A
3
4
数学斯托克丝[Stokes]定理---普遍的积分恒等式:
L S
dl A dS= ∇×∫ ∫K K K Ki iv A L Sdl A dS= ∇×∫ ∫∫K K K Ki iv A
S V
dS dV= ∇∫∫ ∫∫∫KD Dw ( )L Sdl dS= ×∇∫ ∫∫K KD Dv
由此可以分别证明更为一般的通用算符性恒等式:
" " { , , , ""}∈ × ⊗D i
即
即
和
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 18
§ 2 电流和磁场
2.1 电荷守恒定律
为的电流通过面元
,从而直通过单位面积的电量
时间垂向,它的数值等于单位
流方的方向沿着该点上的电
它。定义电流密度有夹角
方向元,它与该点上的电流
为某曲面上的一面如图设
dISd
J
Sd
K
K
K
,θ J
K
Sd
K
I导线上的电流通常用通过导线截面的总电流强度 描
述,我们必须引入电流密度来描述电流的分布情况。
2013年9月30日星期一8时34分37秒
4
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 19
SdJJdSdI
KK •== θcos
通过任一曲面S的总电流强度 I 为:
S
I J d S= •∫ KK
ρ K
如果电流由一种运动带电粒子构成,设带电粒子的电荷密度
为 ,平均速度为 ,则电流密度为v J ρ=K Kv
电荷守恒定律(积分形式):
内的电荷减小率
该等于过界面流出的总电流应内的电荷必然减少。通
流出的话,如果有电荷从该区域电荷不可能产生和消灭
V
V
ρ∂• = − = −∂∫ ∫
K KvS V dQJ dS dVt d t电荷守恒定律
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 20
电荷守恒定律的微分形式(电流连续性方程):
应用高斯定理,把面积分变为体积分:
S V
J dS J dV• = ∇ •∫ ∫KK Kv
即得微分形式 0=∂
∂+•∇
t
J ρK
在稳恒电流情况下: 0=•∇ JK
稳恒电流分布是无源的,其流线必为闭合曲线,没有发
源点和终止点。
稳恒电流: Steady Current
电荷守恒定律的积分形式:
ρ∂• = − = −∂∫ ∫
K Kv S V dQJ dS dVt d t
又称为电流连续性方程
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 21
2.2 毕奥-萨伐尔(Biot-Savart)定律
Idl
K一个电流元 在磁场中所受的力可以表示为(现代形式):
BlIdFd
KKK ×=
矢量B描述电流元所在点上磁场的性质,称为磁感应强度。
(Ampére 力) d F d q E↔ =K K
历史上,于1820年4月的某一天,丹麦物理学家H.C. Oersted
(1777-1851),偶然发现了电流的磁效应,并继续研究,于7月21
日在他的题为《关于磁针上电流碰撞的实验》的论文中公布。
此结果于9月传导法国, A.M. Ampere(1775-1836)开始做几个
月的实验,总结出了电流元之间的相互作用力公式。
我们已经知道,电流会激发磁场,另一个电流处在该
磁场中就受到它的作用力。对电流有作用力是磁场的特
征性质,我们就可以用这一特性来描述磁场。
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 22
( )
Biot-Savar
x
t
J x′K K K
激发的磁场由 给出恒定电流 定 ,
场点 处 的
律
体电流密度 磁感应强度为:
( ) ( )0 34 V
J x r
B x dV
r
μ
π
′ × ′= ∫
K K KK K 0
7
0 4 10 T m / A or H / m
μ
μ π −= × ⋅
式中 为真空磁导率,
积分遍及电流分布区域。
细导线上稳定电流激发磁场的
毕奥—萨伐尔定律(1820年)
可以写为 ( ) 0 34 L
I dl rB x
r
μ
π
×= ∫
K KK K v
如果是面上的稳恒电流,则相
应磁场的毕奥—萨伐尔定律公
式可以写为:
( ) ( )0 34 S
x r
B x dS
r
αμ
π
′ × ′= ∫∫
K K KK K w
运动点电荷激发磁场的毕奥—
萨伐尔定律公式 ( ) 0 34
q rB x
r
μ
π
×=
KKK K v
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 23
三种电荷密度和相应的电流及电流元矢量:
( ) J= J dV dQ Q ˆx ,t , , dI
dV dt dS
δρ ρ ρ
⊥
= = = ⇒ =JJKK KK Kv v
( ), , ,dQ dQx t I= dI I dl=I d l
dl dt
η η η= = = ⇒ =JJK JJK KK v
( ), , ? ,dQ Qx t = dI dS
dS d t d l
δσ σ α σ α
⊥
= = = ⇒ =JJKK KK Kv v
任意稳定电流激发磁场的 毕奥—
萨伐尔定律(可以统一简写为): ( ) 0 34 D
dI rB x
r
μ
π
′ ×= ∫
JJK KK K
( ) ( ) ( ) J= dV q q qq x x , q x x , dI q x xρ δ δ δ= − − ⇒ = −JJKKK K K K K KK K对点电荷 v v
dI " d I"=JJK JJJJJK
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 24
例题2:一长为l=0.9m,带电量q=1×10-10C的均匀带
电细棒,以速度v=1m/s沿 x 轴正向运动,当细棒运动
到与 y 轴重合时,细棒下端与坐标原点O的距离是
a=0.1m,如图所示,求原点的磁感应强度。
l Kv
a
y
O x
0
34
dq rdB
r
μ
π
×=
KKK v
0 0
2
1 1
4 4
a l
a
q qdyB
l y l a a l
μ μ
π π
+ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟+⎝ ⎠∫
v v
qd q d y ,
l
=其中 因此
解:
161.0 10B T −= ×代入数据,得原点的磁感应强度: 。
Biot-Savart由 定律,得
0
0
2
90
4
dq sind B
y
μ
π= ,方向垂直纸面向里。
v
2013年9月30日星期一8时34分37秒
5
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 25
2. 3 磁场的环量和旋度
安培环路定理: 磁场沿闭合曲线的环量
与通过闭合曲线所围曲面的电流 I 成正比。
0L
B dl Iμ• =∫ KKv
萨伐尔定律导出。总电流,它可由毕奥
所围曲面的为通过为任一闭合曲线,式中
−
LIL
I
对于连续电流分布J, 环路定理表示为
0L S
B dl J dSμ• = •∫ ∫K KK Kv
JB
KK
0μ=×∇ (安培环路定理的微分形式)
0 ˆ
2
IB e
r θ
μ
π=
K
环量 Circulation
例题1
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 26
2. 4 磁场的散度--磁场的Gauss定理
B
K因此,磁感应强度 是无源场。
由电流激发的磁场都是无源的。但是,自然界中是
否存在与电荷相对应的磁荷作为磁场的源呢?到目前
为止所做的所有努力都没有得到肯定的结果。
∫ =•S SdB 0KK 0=•∇ BK
为了确定磁场,除了要给出磁场的旋度外,还需要确定
磁场的散度。由电磁学知识知道,电流激发的磁感应线
总是闭合的,因此磁感应强度 B 是无源的。
表示无源性的积分形式为:对任意闭合曲面的总通量为零,即:
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 27
2. 5 磁场旋度和散度公式的证明(作业)
我们用毕奥-萨伐尔定律及散度和旋度的有关公式可推导出磁场
的旋度和散度的公式。
( ) 0=×∇•∇ AK用到的公式: ( ) ( ) AAA KKK 2∇−•∇∇=×∇×∇
• 首先注意到▽是对场点作用的算子,故
• ,因此,磁通密度可以表达如
下( ) ( ) ( )0 034 4V V
J x r J x
B x dV dV A
r r
μ μ
π π
′ ′⎡ ⎤× ′ ′= = ∇ × = ∇ ×⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
K KK K K KK K
0 ( )
4 V
J xA x dV
r
μ
π
′ ′= ∫
K KK K( )
0 0J A∇ • = ∇ • =KK利用稳恒条件 ,可得 (叫库仑规范条件)。
0J x ′∇ × =K K( )
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 28
• 补充作业:
( )B x A= ∇ × KK K
0 0J A∇• = ∇• =KK3.利用稳恒条件 ,证明: 库仑规范(叫 条件)。
2. 利用毕奥-萨伐尔定律及有关散度、旋度的公式推导出磁场的
旋度和散度的公式:
( ) ( ) ( ) 20A A A A∇• ∇× = ∇× ∇× = ∇ ∇• −∇K K K K提示:要用到的公式 和
还需要注意到▽是对场点作用的算子,因此有
,由此得磁通密度的如下表达式:0J x′∇× =K K( )
JB
KK
0μ=×∇ 0=•∇ B
K
其中 0 ( )
4 V
J xA x d V
r
μ
π
′ ′= ∫
K KK K( )
1. 把 P13 例题1 抄写到作业本上,补图,
并利用柱坐标系上的旋度的公式推导出(2.21):
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 29
§ 3 麦克斯韦方程组
随着交变电流的研究和广泛运用,人们对电磁场的认
识有了一个飞跃,由实验发现:不但电荷激发电场、电
流激发磁场,而且变化着的电场和磁场也可以互相激
发,于是,变化电场和磁场就构成统一的整体:电磁波。
和稳定场相比,变化磁场的新规律主要是:
1. 变化磁场激发电场(法拉第电磁感应定律)
2.变化电场激发磁场(麦克斯韦位移电流假设)
0
E
B
t
∂ ≠ ⇒∂
K K
0
B
E
t
∂ ≠ ⇒∂
K K
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 30
3. 1 电磁感应定律
S
L
Sd
K
B
K∫ •−= S Bdtd SdKKε
感应电动势是电场强度沿闭合
回路的积分,因此上式可写为
L S
dE dl B dS
dt
• = − •∫ ∫K KK Kv
若回路L使空间中的一条固定回路,则
上式中对 t 的全微商可代为偏微商
L S
BE d l d S
t
∂• = − •∂∫ ∫
KK KKv tBE ∂∂−=×∇
KK
2013年9月30日星期一8时34分37秒
6
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 31
附注:一般情况下,有两种起因不同的电场:
一般空间中既可存在电荷又可存在变化的磁场。
所以空间中既存在库仑电场又存在感生电场。
E E E= +K K K库 感
库仑电场:由电荷按库仑定律激发的电场
感生电场:由变化磁场激发的电场
(作用于单位电荷上的感生电场力的功就是感生电动势)
非静电力感生电动势 感生电场力
( , ) ( , ) ( , )E x t E x t E x t= +K K KK K K库 感
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 32
动生电动势 感生电动势
特
点
磁场不变,闭合电路的整
体或局部在磁场中运动
导致回路中磁通量的变化
闭合回路的任何部分都不
动,空间磁场发生变化导
致回路中磁通量变化
原
因
由于闭合电路面积 S 的变
化引起回路中Φ的变化
由于B 的变化引
起回路中Φ的变化
非静电力就是磁场的洛仑
兹力,由洛仑兹力对运动
电荷作功而产生电动势
变化磁场在它周围空间激发
涡旋电场,非静电力就是感
生电场力,由感生电场力对
电荷作功而产生电动势
结
论
( )i B dlε = × ⋅∫ v KKK
其方向由 B×v KK 决定 其方向由
的积分方向决定
E
K
涡 沿 d l
K
来源
非静电力
i S
BE dl dS
t
ε ∂= • = − •∂∫ ∫∫
KK KKv 涡
复习
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 33
感生电动势的计算
例:局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均匀磁
场,方向如图。磁场的变化率 0>∂∂ tB
求: 圆柱内、外的 分布。涡E
K
22 r
t
BrE π∂
∂−=π感
t
BrE ∂
∂−=
2感
:Rr <
B
K
R
⊗ t
B
∂
∂ G
××
××××
××××
××××
r
L
方向:逆时针方向
l S
BE dl dS
t
∂• = − •∂∫ ∫∫
KG KKv 感
0 0cos0 cos0
l S
BE dl dS
t
∂= − ∂∫ ∫∫v 感
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 34
讨论
↓BK ,则 0<∂∂ tB 0<→ 感E
感E
K 与 L 积分方向切向同向。
↑BK ,则 0>∂∂ tB 0>→ 感E
感E
K 与 L 积分方向切向相反。
�(1)
�(2)
B
K
R
⊗ t
B
∂
∂ G
××
××××
××××
××××
r
L
感E来确定 的方向。
负号表示 反向。感E tB ∂∂与
由此可以根据 的正负tB ∂∂
上式 中:
t
BrE ∂
∂−=
2感
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 35
在圆柱体外,由于B=0
0
L
E d l′∴ • =∫ GKv 感
上于是 L ′ 0=感E
K
虽然 tB ∂∂ L′上每点为 0,在 但在 S ′上则并非如此。
由图只能得知,这个圆面积包括柱体内部的面
积。因此,柱体内 0≠∂∂ tBK
:Rr >
L′ 0=∂∂ tBK上故 × ⊗ tB∂∂ GL′ rBK R ×× ×××× ×××× ×××× SS ′L S BE dl dSt′ ′ ∂• = − •∂∫ ∫∫ KG KKv 感
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 36
××
××××
××××
××××
t
B
∂
∂ G
L′
⊗
rB
K
R
22 R
t
BrE π∂
∂−=π感
t
B
r
RE ∂
∂−=
2
2
感
Sd
t
BSd
t
B
SS
KKKK •∂
∂=•∂
∂∴ ∫∫∫∫ ′ 2RtB π∂∂=
2R
t
B π∂
∂−=
方向:逆时针方向
S
S ′L E dl′ •∫
GKv 感
2013年9月30日星期一8时34分37秒
7
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 37
E感
r
RO
t
Br
∂
∂−
2
, r R<
t
B
r
R
∂
∂−
2
2
, r R>
无限长圆柱体内外 感E
K 与 r 的关系类似于
均匀带电球体内外 与 r 的关系:库E
K
=感E
3
0
3
0
,
4
,
4
Q r r R
R
E
Q r r R
r
π ε
π ε
⎧ <⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩
G
G
G库但注意:后者在球外平方反
比衰减,比前者衰减得更快。
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 38
3. 2 位移电流
一般说来,在非恒定情况下,由电荷守恒定律有 0≠∂
∂−=•∇
t
J ρK
为符合这普遍的电荷守恒定律的要求,假设存在
一个位移电流,它和电流 J 和起来构成闭合量 ( ) 0=+•∇ DJJ KK
并假设位移电流与电流一样产生磁效应得 ( )DJJB KKK +=×∇ 0μ
把两式 0=∂
∂+•∇
t
J ρK
0ε
ρ=•∇ EK
合起来得 00 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+•∇
t
EJ
KK ε 0 D
EJ
t
ε ∂⇒ ∂
KK �
从物理上考虑,位移电流的假设是合理的,位移电流实质
上是电场的变化率,它是麦克斯韦首先引入的。位移电流假设
的正确性由以后关于电磁波的广泛实践所证明。
7
-12
0 2
10 8.854 187 817620 10 F/m
4 c
ε π= = ×
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 39
d
d
D
d
j
t
Dj
t
I
K
KK
d
d
d
d
流密度一般情况下先求位移电
位移电流密度位移电流 =Φ=
电场强度增大时的位移电流及其磁场:
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 40
电场强度减小时,位移电流的磁场。此时,
位移电流方向与电场方向相反。
电场强度减小时
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 41
3.3 麦克斯韦方程组(1864年)
,
t
BE ∂
∂−=×∇
KK
,000 t
EJB ∂
∂+=×∇ εμμ KK,
0ε
ρ=•∇ EK
0=•∇ BK
麦克斯韦方程组揭示了电磁场的内部作用和运动规律,
方程表明:不仅电荷和电流可以激发电磁场,而且变化的
电场和磁场也可以相互激发。因此,只要某处发生电磁扰
动,由于电磁场的相互激发,该电磁扰动就在空间中传
播,形成电磁波。
1865年,麦克斯韦首先从方程组预言了电磁波的存在,于
1887年,赫兹在实验中首次发现了电磁波的存在。其后的
无数次无线电实验完全证实了麦克斯韦方程组的正确性。
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 42
3. 4 洛伦兹(Lorentz)力公式
Q F QE
J dV dF J B dV
fρ
=
= ×
K K
K K K K 静止电荷 受到静电场作用力 ,稳定电流元受到磁场作用力 。若电荷为连续分布,
其密度为 ,则电荷系统单位体积所受的力密度 为:
f E J Bρ= + ×K K K K
洛伦兹把这结果推广到普遍情况下场对电荷系统的作
用力。对于带电粒子系统来说,若粒子电荷为e, 速度
为v,则J 等于单位体积内的 e v 之和。因此,单个粒子
的受电磁场的作用力是:
F eE e B= + ×K K KKv
这公式称为洛伦兹力公式,各种近代物理学实验也证
实了它对任意运动速度的带电粒子都是适用的。
2013年9月30日星期一8时34分37秒
8
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 43
电磁波的产生与性质:
了解电磁波的波动方程和电磁波的四个基本性质
0
0 0 0
1 1 , , EE c
H H
μ
ε ε μ εμ= = = =v
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 44
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 45
End of Maxwell’s
Equations in Vacume.
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 46
§ 4 介质的电磁性质
4. 1 关于介质的概念
介质由分子组成。分子内部有带正电的原子核和绕核运动
的带负电的电子,从电磁学的观点来看,介质是一个带电粒
子系统,其内部存在着不
而又迅速变化的微观电磁场。
极化和磁化的原因是,介质内部及表面上
便出现宏观的电荷、电流分布,我们把这些
电荷 、电流分别称为束缚电荷和磁化电流。 E
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
这些宏观电荷和电流分布反过来又激发起
附加的宏观电场,叠加在原来外场上面得
到介质内的总电磁场,介质内的宏观电磁
现象就是这些电荷、电流分布和电磁场之
间相会作用的结果。
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 47
4.2 介质的极化—大量束缚电偶极矩的出现
宏观电偶极矩和电极化强度矢量—极化强度:
Electric Polarization or Polarization Vector P
0
lim
V
piP
VΔ →
∑= Δ
GK ip i
VΔ
式中 为第 个分子的电偶极矩,求和符号
表示对 内所有分子求和。
p ql= KK
l dS
dS
n dS
•K KK
K
由图可见,当偶极子的负电荷处于体积 内时
同一偶极子的正电荷就穿出界面 外面,设单位
体积分子数为 ,则穿出 外面的正电荷为
SdPSdpnSdlnq
KKKKKK •=•=•
穿出界面S的正电荷为: outP SQ P dS= •∫ KKv
由于介质是电中性的,这量也等于V内的净余负电荷。
−−
−
−
−
−
−
+
+
++
+ +
+
+−
dS
K
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 48
束缚电荷: 由于极化而出现的诱导电荷分布。
Pρ 束缚电荷密以 表示 度,则有 PV SdV P dSρ = − •∫ ∫ KKv
其微分形式: PP
K•−∇=ρ
非均匀介质的极化( )2 1P Pl dS dS P P dSρ σ• ≡ = − − •K K KK K
( )2 1ˆP n P Pσ = − • −K K
1
2
P nσ 表示束缚电荷面密度, 为分界面上由介质 指向
介质 的法线,由以上的推导可见,所谓面束缚电荷
不是真正分布在一个几何面上的电荷,而是在一个
含有相当多分子层的薄层内的效应。
dS
K
介质1 介质2
束缚电荷:
bound charge
薄 层
nˆ
2013年9月30日星期一8时34分37秒
9
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 49
电位移矢量 D与介质内电场的Gauss定理:
PfE ρρε +=•∇
K
0
( ) fPE ρε =+•∇ KK0 0D E Pε +K K K� fD ρ=•∇ K
电位移矢量 D 是Maxwell引进的一个辅助场量,而 E 是
介质中的总宏观电场强度,才是电场的基本物理量。
对于一般的各项同性线性介质
,0EP e
KK εχ= ,ED KK ε=
,0εεε r= er χε += 1
e
r
χ ε
ε
极化率 电容率
介电
称为介质的 , 称为介质的
或介 常数 相对质的 , 为 电容率。
Electric susceptibility电极化率
Dielectric capacitance
介电常数; 电容率
考虑到束缚电荷后 电位移矢量
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 50
4. 3 介质的磁化
分子电
流假说 的磁矩为,则与分子电流相对应
的小线圈,线圈面积为流把分子电流看作载有电
a
i
m ia=K K
M
M VV ΔΔ
K
K介质磁化后,出现 用磁化强度 表示它,定
宏观磁
义 为:在物理小体积 内
偶极矩分布,
总磁偶极 与矩的 之比,即
0
lim i
V
mM n m
VΔ →
∑= =Δ
KK K
磁化强度: magnetization vector
i
B 0
S
. . . I . .
si
+
磁化面电流磁化面电流
l
传导电流传导电流
.
+ + + + +
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 51
磁化电流密度和磁化强度的关系
如图,设S为介质内部的一个曲面,其
边界线为 L。为求出磁化电流密度,
我们计算从S 的背面流向前面的总磁化
电流。
L
S
dl
K
aK
右上图说明:若分子电流被边界线 L 链环着,
这分子电流才对磁化电流有贡献。
在其它情况下,或者分子电流根本不通过 S ,
或者,从S 的背面流出来后再从前面流进去,
结果,对总磁化电流没有贡献。
因此,通过S 的总磁化电流 = ( 边界线 L 所
链环着的分子数目N ) U (每个分子的电流 i ) 。
而链环着L的分子数目 N 可用右边图来数。
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 52
L ,dl a dl
dl n
L
•K KKK如图示边界线 上的线元 若分子中心位于体积为 的柱体内,则该分子电流就被 所穿过,因此若单位体积分子数为 ,则被边
界线 链环着的分子电流数目为
, lLN n a d l a d l dV= ⋅ ⋅ =∫ K KK Kv
则, 总磁化电流为
又有 M MSI J dS= ⋅∫ KK
MJM
KK ×∇=
还有极
化电流
当电场变化时,介质的极化强
度P 随时间变化,这种变化产
生另一种电流,称为极化电流。
dl
K
aK
M L L L
I Ni nia dl nm dl M dl= = ⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫K K KKK Kv v v
( )
L S
M dl M dS= ⋅ = ∇× ⋅∫ ∫K KK Kv
这就是磁化
电流密度
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 53
极化电流密度:
i i
i
P
e
P J
t V
∂ = =∂ Δ
∑ KK Kv M
P
MP
J
J
J
K
K
K
磁化电流密度 和
极化电流密度 之
和是介质内的总诱
导电流密度 。介质中的磁场方程和磁场强度H
t
EJJJB MPf ∂
∂+++=×∇
KKKKK
0
0
1 εμ t
DJMB f ∂
∂+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −×∇
KKKK
0μ
定义:
0
BH Mμ −
KK K� 则上式可写为
HM M
KK χ= HB KK μ= 0μμμ r= Mr χμ += 1
为相对磁导率。称为磁导率,称为磁化率, rμμMχ
磁化率:magnetic susceptibility
磁导率:magnetic permeability
对于各向同性的介质,磁化强度和
磁场强度之间由简单的线性关系:
t
DJH f ∂
∂+=×∇
KKK
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 54
4. 4 介质中的麦氏方程组(总结)
t
BE ∂
∂−=×∇
KK
t
DJH f ∂
∂+=×∇
KKK
ρ=•∇ DK 0=•∇ BK
0D E Pε +K K K�
0
BH Mμ −
KK K�
导电物质中的欧姆定律
EJ
KK σ=
晶体中D 和E 的一般关系(各向异性):
3
1
i ij j
j
D Eε
=
= ∑
微分形式
积分形式 U IR=
D Eε=K K KKi
D E
B H
ε
μ
⎧ =⎨ =⎩
K K
K K
本构关系方程
这两个是各
项同性介质
的实验规律
晶体物质中电容率是
一个张量,不是标量
写成矢量式
2013年9月30日星期一8时34分37秒
10
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 55
• ** 在非线性各向同性介质中(补充):
0 ( : : .......),e e eP E EE EEEε χ χ χ′ ′′= + + +
KK KK K K K K K KK KK K �
• 在一般非线性介质中:
: : .......D E EE EEEε ε ε′ ′′= + + +
KK KK K K K K K K K KK K �
0 e e eP E EE EEEε χ χ χ′ ′′= + + +( : : .......),
KK KK K K K K K K K K KK K K �i
: : .......D E EE EEEε ε ε′ ′′= + + +
KK KK K K K K K K K K KK K K �i
各向同性:
isotropic;
均匀:
homogeneous
线性均匀各向
同性: LHI-
Linear
Homogeneous
Isometric
称 D 与 E 的关系为本构关系: Constitutive relation
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 56
介质中的电磁场方程总结
t
BE ∂
∂−=×∇
KK t
DJH f ∂
∂+=×∇
KKKρ=•∇ DK
0=•∇ BK
0D E Pε +K K K�
0
BH Mμ −
KK K�
导电介质中的欧姆定律
EJ
KK σ=微分形式
积分形式 U IR=
D E
B H
ε
μ
⎧ =⎨ =⎩
K K
K K
本构关系方程
这两个是各
项同性介质
的实验规律
M MS L
I J dS M dl= • = •∫ ∫ KKK Kv
MJM
KK ×∇= 磁化电流密度
PS
P dS Q• = −∫ KKv
PP
K•−∇=ρ ( )2 1ˆP n P Pσ = − • −K K
束缚
电荷
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 57
今天作业 P45 : 习题10,13
谢谢大家!
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physics of XJU 58
§ 5 电磁场边值关系
麦克斯韦方程组可应用于任何连续介质内部,在
介质分界面上,由于一般出现新的面电荷、电流分
布,使物理量发生跃变,微分形式的麦式方程组不再
适用。
在场作用下,介质面上一般出现面束缚电荷和电流分布,
这些电荷、电流的存在又使得界面两侧的场量发生跃变。
介质 真空 束缚电荷激发的场与外
场叠加 1E
K 2E
K
2013年9月30日星期一8时34分37秒 Burhan Salay @ Physi