数学物理方法讲义（常晋德）

数学物理方法讲义（常晋德） ? 2009 7 21 . ―― Hadamard J. . ―― Joseph Fourier . ―― Halmos P. R. , , ?. ―― Pringsheim A. . ―― Halmos P. R. , , . ―― Hilbert D. , , . , , ? ―― ?. ?. ―― Bell E. T. , , . , , . , , , . , . , . ―― Todhunter I. , . ? , , ?. , , , , ? , . ―― Chrystal G. , ?, . , ?, . , ?, ; , . , ?. , . ―― . ?, . ―― Thomson W. , , , , , . ―― Bacon F. , , , , , , , . , . ―― ii : , , ; . , : , , . ?Problems for Mathematicians, Young and , : , , ?, ?, Old , ?, .? . ? . , , , . , , , , . ?, ? ? , ? . , , ?, , . LaTex , Word . ?, Email mathwalker@163. ? 2009 1 3 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 15 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 iii iv 39 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 63 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 02π R cos θ, sin θ dθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 +? 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Q x ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 77 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 v 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 93 95 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 107 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.3 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.4 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ? 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Oz z 0 , z , Arg z θ? 1.1. . : |x| ? |z |, |y | ? |z |, |z | ? |x| + |y |. 1.1 ? |z + z | ? |z | + |z | 1.2 1 2 1 2 ||z | ? |z || ? |z ? z | . 1 2 1 2 1.3 , |z ? z | z z . ?: 1 2 1 2 2 2 |z ? z | | x + iy ? x ? iy | x ? x + y ? y . 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1. . . n . 1.1 5 , 2π . ?π θ ? π θ Arg z , z , arg z. Arg z arg z + 2kπ, k 0, ?1, ?2, . z 0 , ; z x + iy 0 , z x y z , : ? y ? arctan , x 0 ; ? ? ? x ? ? ? y ? ? arctan + π, x 0, y ? 0 ; ? ? ? x arg z arctan y ? π, x 0, y 0 ; ? ? x ? ? π ? ? , x 0, y 0 ; ? ? 2 ? ? π ? ? ? , x 0, y 0 , 2 π y π ? arctan . 2 x 2 , z, 1.1 z r cos θ + i sin θ . 1.3 , r 1 z cos θ + i sin θ, ?. ?2 eiθ cos θ + i sin θ, 1.4 1.3 z reiθ . 1.5 1.3 1.5 z , z x + iy z ?. ?, . 1.1. ? π π ? π i 1 + i 2 cos + i sin 2e 4 ; 4 4 π π π i i 1 cos + i sin e 2 ; 2 2 1 1 cos 0 + i sin 0 e0i ; ?2 2 cos π + i sin π 2eπi ; π π ? π i ?3i 3 cos ? + i sin ? 3e 2 . 2 2 z r eiθ1 , z r eiθ2 , 1 1 2 2 z z r r , θ θ + 2kπ, k 0, ?1, ?2, . 1 2 1 2 1 2 eiθ1 eiθ2 cos θ + i sin θ cos θ + i sin θ 1 1 2 2 cos θ cos θ ? sin θ sin θ + i sin θ cos θ + cos θ sin θ 1 2 1 2 1 2 1 2 cos θ + θ + i sin θ + θ ei θ1+θ2 . 1 2 1 2 2 , . , eiθ . 6 iθ1 e i θ1 ?θ2 e . eiθ2 ? , , iθ1 iθ2 i θ1+θ2 z z r e r e r r e , 1 2 1 2 1 2 iθ1 z r e r 1 1 1 i θ1 ?θ2 e . z r eiθ2 r 2 2 2 : ? 1.4. , . ? 1.4 z1 |z | 1 |z z | |z ||z |, z 0 , 1 2 1 2 2 z |z | 2 2 z1 Arg z z Arg z + Arg z , Arg Arg z ? Arg z . 1 2 1 2 1 2 z2 ? n iθ , z z , n z . z re , n n inθ n z r e r cos nθ + i sin nθ . r 1 , ? cos θ + i sin θ n cos nθ + i sin nθ. z 0, w wn z n ? 2 , ? 1 w z n ?, w n z z n . w, z reiθ , w ρei? , n in? iθ ρ e re . ρn r, n? θ + 2kπ, k 0, ?1, ?2, , ? n θ + 2kπ ρ r, ? , k 0, ?1, ?2, . n z n ? n i θ+2kπ wk re n , k 0, ?1, ?2, . ?, z n , ? n , ? n i θ+2kπ wk re n , k 0, 1, , n ? 1. 1.6 ? , ? ? 1.4. i 2π wk wk?1e n , k 0, ?1, ?2, . 1.1 7 2π , wk wk?1 . n ? θ 2π n i , w re n , w w , 0 0 1 n 2π , , w , w , . n 2 3 n 2π , wn w0 , n . w0 . 1.5 ? 3 1.2. ?8. ?8 8 cos π + i sin π 8eiπ , 1.6 ?8 3 ? π+2kπ 3 i wk 8e 3 , k 0, 1, 2. i π π π ? w0 2e 3 2 cos + i sin 1 + 3i; 3 3 w1 2eiπ 2 cos π + i sin π ?2; ? 5π 5π 5π i w2 2e 3 2 cos + i sin 1 ? 3i. 3 3 1.1. , ?8 3 , ?2. , ? n . z x + iy, x ? iy z , z x ? iy. |z | |z |, Arg z ?Arg z. ?, z z . ?i 2 ?1, ?i i , i ?i . z ? z z ? z , z z z z , z1 z1 z 0 . 1 2 1 2 1 2 1 2 2 z2 z2 z + z z ? z z z, |z |2 zz, Re z , Im z . 2 2i ? , . 1.3. z1 z2 , |z + z |2 |z |2 + |z |2 + 2Re z z , 1 2 1 2 1 2 ? 1.2 . |z + z |2 z + z z + z z + z z + z z z + z z + z z + z z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 |z |2 + |z |2 + z z + z z |z |2 + |z |2 + 2Re z z . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Re z z ? |z z | |z ||z |, 1 2 1 2 1 2 ? 1.2 . 8 , . 1.4. z1 z2 ? z z + z ? z t, 0 ? t ? 1. 1 2 1 z1 z2 ? 1.6 z z + z ? z t, ?? ? t ? +?. 1 2 1 1.5. z z0 , R |z ? z | R. 0 z z0 , R ? 1.7 |z ? z | R. 0 1.8 1.6 1.7 1.6. π . z , z , z ; α, β, γ? 1.8. 1 2 3 z2 ? z1 z3 ? z2 z1 ? z3 α arg , β arg , γ arg . z3 ? z1 z1 ? z2 z2 ? z3 z2 ? z1 z3 ? z2 z1 ? z3 ?1, z3 ? z1 z1 ? z2 z2 ? z3 z2 ? z1 z3 ? z2 z1 ? z3 arg + arg + arg arg ?1 + 2kπ π + 2kπ k . z3 ? z1 z1 ? z2 z2 ? z3 0 α π, 0 β π, 0 γ π, 0 α + β + γ 3π, k 0. α + β + γ π. 1.2 9 ..c