-PAGE\*MERGEFORMAT#-习
一:1.1写出卜列随机试验的样本空间:某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数;解:连续5次都命中,至少要投5次以上,故Q={5,6,7,…}:掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;解:Q2=(2,3,4,••11,12):观察某医院一天内前来就诊的人数;解:医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以。3={0』,2,…};从编号为1,2,3,4,5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;解:属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故:。疽{(i,j]l£iYjK5k检查两件产品是否合格;解:用0
示合格,1表示不合格,则Q5=((0,0),(0J),(1,0),(1,1)):观察某地-天内的最高气温和最低气温(暇设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2);解:用X表示最低气温,y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故:以={(冬尸打巨1尸£&};在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;解:0={xjoYxy2};在长为1的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度.解:Qg=«x,y]xA0,yx0,x+y=l};⑴a写B都发生,但C不发生;ABC;A发生,且B与C至少有一个发生;*BuC);A,B,C中至少有一个发生;AuBdC;A,B,C中恰有一个发生;ABCuABCuABC;A,B,C中至少有两个发生;ABuACuBC:A,B,C中至多有一个发生;AB
E)=0.825.1.8解:⑴由于ABcAABcB,故P(AB))=*=罢,p(A)=CR91HLM,P(A)=§=Q;91-C1;191i?3P(B|&)=",p(b|a)=MP(B|A)=-,■匕[匕[匕根据全概率公式,有:3P(B)=P(&)P(B|&)+P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=—<28解:设A(i=1,2,3)表示设件“所用小麦种子为i等所子”,B表示事件“种子所结的穗有50颗以上麦粒”。则P(A)=0.92,P(A)=0.05,P(A)=0.03,P(B|A)=O5,P(B|A)=0.15,P(B|A)=01,根据全概率公式,有:P(B)=P(A)P(B|A)+p(A)P(B|A)+p(A)P(B|A)=0.47051.20解:用B表示色盲,A表示男性,则A表示女性,由己知条件,显然有:P(用=0.5LP(A)=0.49,P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.025,因此:根据贝叶斯公式・所求概率为:P(^B)=P(AB)_P(AB)_P(AP(B|A)_102P(B)—P(AB)+P(AB)_P(A)P(B|^+P(A)P(B|A)-1511.21解:用B表示对试验呈阳性反应,A表示癌症患者,则M表示非癌症患者,显然有:P(药=0.005,P(A)=0.995,P(B|我=0.95,P(B|再=0.01,因此根据贝叶斯公式,所求概率为:P(曲)==P(AB)_=P(A)P(B|々==竺勺P(B)P(AB)+P(AB)P(^P(B|?O+P(A)P(B|A)2941.22求该批产品的合格率;从该10箱中任取一箱,再从这箱中任取-件,若此件产品为合格品,问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少?解:设,旦={产品为甲厂生产}足={产品为乙厂生产},旦={产品为丙厂生产}》A={产品为合格品},则(1)根据全概率公式,P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.94,该批产品的合格率为0.94.(2)根据贝叶斯公式,P(B1|A)=''V=—1P(B1)P(^B1)+P(B2)P(^B2)+P(B3)P(A|B3)94同理町以求得P(巨|为=苔¥(咐=岸因此,从该10箱中任取一箱,再从这箱中任取io97一件,若此件产品为合格品,此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为:—o9494471.23-PAGE\*MERGEFORMAT#-•PAGE\*MERGEFORMAT#-解:记入={目标被击中},则P(=1-P(A)=1-(1-09)(1-08)(1-0.7)=0.9941.24解:记气={四次独立试验,事件A至少发生一次},瓦,={四次独立试验,事件A一次也不发生}。而P(Ai)=0.5904,因此P(=1-P(A,)=P(AAAA)=P(A)4=0.4096o所以P(A)=0.8,P(A)=1-0.8=0.2三次独立试验中,事件A发生一次的概率为:C;P(4(1-P(1)2=3x0.2x0.64=0.384。二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充:(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BCA时,P(A-B)=P(A)-P(B)当A二。时,P(B)=1-P(B)(12)条件概率定义设A、B是两个事件,旦P(A)〉0,则称旦兰1为事件A发生条件下,事P(①件B发生的条件概率,记为P(B/?0=E^些。P(A)(16)贝叶斯公式r(B1/A)=,i-lt2,…!!。文P(Bj)P(A/Bj)j-1此公式即为贝叶斯公式。第二章随机变量2.1X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解,根据£P(X=k)=l,得£ae-k=l,即一=1。k«ok-o1一e故a=e-l2.3解:用X表示甲在两次投篮中所投中的次数,X~B(2,0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B(2,0.4)(1)两人投中的次数相同P{X=Y}=P{X=O/Y=O}+P{X=1,Y=1}+P(X=2/Y=2}=C°0.7°0.36解:设A表示第i次取出的是次品,X的所有可能取值为0,1,2XC°0.4°0.62+C;0.7】0.3ixQ;0.4】0.6】+Q^0.720.3°xQ;0.420.6°=0.3124⑵甲比乙投中的次数多P(X>Y}=P(X=l,Y=0}+P{X=2,Y=0)+P{X=2,Y=1}=C;0.7】0.3】XC°0.4°0.62+C^O.72o.3°xQ®0.4°0.62+Q^0.720.3°xQ网如=0.562812322.4解:(1)P{1WXW3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=—+二+—=二151515r]D(2)P{O.52}=1-P(X=0}-P(X=1}=1一云一=e-2=l-3e-22.8解:设应配备/n名设备维修人员.又设发生故障的设备数为X,则X〜BQ80,0.01)。依题意,设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99,即P(X0.99,也即P(X>m+l)<0.01因为。=180较大,p=0.01较小,所以X近似服从参数为2=180x0.01=1.8的泊松分布。查泊松分布表,得,当m+l=7时上式成立,得m=6.故应至少配备6名设备维修人员。2.9解:一个元件使用1500小时失效的概率为P(1000300)=|—e200dx=e200=e2J300200BOO,3001x.JOO-1-2x(|)P{1000解得K的取值范围为[-s,-1]U[4,+8],又随机变量K~U(.2,4测有实根的概率为[一1一(一2)+4-3]_1_3P(X^100.10010)=rO.5e-o5xdx=-e-05x心-5=eio又设282人中打电话超过10分钟的人数为匕则Y〜B(282,L)。因为『=282较大,p较小,所以Y近似服从参数为2=282xe-5Q1.9的泊松分布.所求的概率为P(Y>2)=l-P(Y=0)-P(Y=l)=l-e"19-1.9e*19=1一2.9eT.=0-566252.14解:(l)P(X<105)=a)=l-P{X0.996a急184厘米2.19解:X的可能取值为1,2,3。C;6因为P(X=1)=—-=—=0.6;C;10=0.15p(X=3)=C:10•PAGE\*MERGEFORMAT#-2.21(1)-PAGE\*MERGEFORMAT#-P(X=2)=1-0.6-0.1=03所以X的分布律为0.6X的分布函数为00.60.91X<1l32.20(1)p^=0}=P(X=-|)=0.2P(Y=/}=P{X=0}+P{X=;r}=0.3+0.4=0.7P^=4^2}=P{X=—}=0.12Y07T24/q.0.20.70.1⑵P(Y=—l}=P{X=0}+P{X=勿}=0.3+0.4=0.7P{Y=1}=P(X=-}+P(X=—)=0.2+0.1=0.32■Y-11qs0.70.3当-l0时,有FY(y)=P{Y-lny)=匚、孑=」°dx对Fy(y)求关于V的导数,得1一(fyl1一5’y>os、--^=e2(-lny)r=-7^e2乌(y)=,y/27Ty{2^yoy0时,Fy(y)=P{Y0y<0对Fy(y)求关于V的导数,得1也l1.业l1-基*2(何_爵2(M),=_^e2fy(y)=arccosy}=「-^-dxJarccosy]对FY(y)求关于v的导数,得到(1z、,1-1l或y1或x<0时,f(x,y)=0,乌(y)=j14.8y(2-x)dx=4.8y[2x-;x2]^=4.8y[l|-2y+;y2]公(x)=0y>li;Ky<000,00所5闵=粽x'E0表格
可知P{X=l;Y=2}=0.25^P{X=l}P(Y=2}=0.3225故P{X二x:Y=y尸P{X二x}P{Y=y)所以x与Y不独立3.15123X的边缘分布111116918322_3ab-+a+b3Y的边缘分布L21a+—9b+±181由独立的条件P{X=x:Y=y,}=P{X=x}P{Y=yj则P{X=2;Y=2}=P{X=2}P(Y=2}P(X=2;Y=3}=P{X=2}P(Y=3)£p{x=i}=i可以列出方程(、a+b)(:+a)=a39(=+b)G+a+b)=b18311-.—+—+a+b=l33a>0,b>03.16解⑴在3.8中fx(X)4t0