近世代数期末考试题库

..世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）cA、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（d）个元素。A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b∈G都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一、唯一的B、不一定唯一的C、相同的D(两方程解一样)4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等、0B、相等C、不一定相等。D5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d）A、倍数、次数B、约数C、指数D二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合A1,0,1；B1,2，则有BA。2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。4、偶数环是整数环的子环。5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。6、每一个有限群都有与一个置换群同构。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a1。8、设I和S是环R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么---------。9、一个除环的中心是一个-域-----。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）12345678123456781、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和6417352823187654写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)11B(AA)C(AA)2解：设A是任意方阵，令2，2，则B是对称矩阵，而C是反对称ABCABCBC矩阵，且。若令有11，这里1和1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则BBCC11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：;....BBCC1，1，所以，表示法唯一。M{0,1,2,,m1,m}(m1)M3、设集合m，定义m中运算“m”为amb=(a+b)(modm),则M（m，m）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设G是群。证明：如果对任意的xG，有x2e，则G是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。1、对于G中任意元x，y，由于(xy)2e，所以xy(xy)1y1x1yx（对每个x，从x2e可得xx1）。2、证明在F里aab1b1a(a,bR,b0)baQ所有(a,bR,b0)有意义，作F的子集bQ显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c）是子群。A、a、aB,e、eC,a3、eD,a,a32、下面的代数系统（G，*）中，（d）不是群A、G为整数集合，*为加法、G为偶数集合，B*为加法C、G为有理数集合，*为加法、G为有理数集合，D*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（b）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}、a*b=a+2bC、a*b=|a-b|D4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），则3=（b）A、2、B、C2、D1122215、任意一个具有2个或以上元的半群，它（a）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---变换全-------同构。2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。3、已知群G中的元素a的阶等于50，则a4的阶等于-25-----。4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与--模n乘余类加群-----同构。;....5、A={1.2.3}那么B={2.5.6}A∩B=---2--。6、若映射既是单射又是满射，则称为---双射--------------。a,a,,a7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的--不都等于林---01n使得aaan001n。8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何xA均成立xax，则称a为----单位元-----。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、--消去律成立-------。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1，写出2)}H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？1、解：H的3个右陪集为：{I,(1，{(12)}2，(13)，3)}{(13，(22)3)}H的3个左陪集为：{I,(1，{(12)}2，(23)3)}，{(13，(12)3)}2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,×b/17=11339[a,b]=a。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：ab当且仅当m︱a–b。近世代数模拟试题三;....一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（c）。A、2阶B、3阶、4C阶D、6阶2、设G是群，G有（c）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个、5个B、6个C、7个D3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（d）。4、下列哪个偏序集构成有界格（d）A、偶数B、奇数、4C的倍数、2D的正整数次幂A、（N,）、（Z,）BC、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、(P(A),)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（a）A、(1)，(123)，(132)、12)，(13)，B(23)C、(1)，(123)、S3中的所有元素D二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa----a------。3、区间[1，2]上的运算ab{mina,b}的单位元是--2-----。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=———24———————。5、环Z的零因子有-----------------------。86、一个子群H的右、左陪集的个数---相等-------。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-----商权----。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的---特征--------。9、设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为---mIn----。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S，S是A的子环，则S∩S也是子环。S+S也是子环吗？121212(1345)(1245)(234)(456)S3、设有置换，6。1．求和1；2．确定置换和1的奇偶性。群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,∈S1ab∩S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b,∈S1ab和a-b,∈S2ab，;....因而a-b,∈S1ab∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1．(1243)(56)，1(16524)；2．两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定义a1a1，因而R的任意元bb1这就是说=R，证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（d）个元素。A.2B.5C.7D.102.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（c）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S中可以与(123)交换的所有元33素有（a）A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23);....C.(1)，(123)D.S中的所有元素34.设Z是以15为模的剩余类加群，那么，Z的子群共有（d）个。1515A.2B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（b）A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体M(Q)关于矩阵的加法与乘法nC.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。7.设(G，·)是一个群，那么，对于a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝___________。8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共5数字的循环置换之积)。9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于a∈G，则元素a的阶只可能是____5,15,1,3,_______。10.在3次对称群S中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S的一个不变子群，则商群G/H中33的元素(12)H＝___________。11.设Z＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z中的所有零66因子是___2,3,4________。12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝________________________。14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是______________________。15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16.设Z为整数加群，Z为以m为模的剩余类加群，是Z到Z的一个映射，其中mm：k→［k］，k∈Z，验证：是Z到Z的一个同态满射，并求的同态核Ker。m17.求以6为模的剩余类环Z＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明6这些子环都是Z的理想。618.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“”;....由右边的运算表给出，证明：(G，)作成一个群。abcaabcbbcaccab20.设aba0Ra,b,c,dZ,Ia,cZ,cdc0已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。21.设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个交换环。近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)11B(AA)C(AA)2、解：设A是任意方阵，令2，2，则B是对称矩阵，而C是反对称ABCABCBC矩阵，且。若令有11，这里1和1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则BBCC11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：BBCC1，1，所以，表示法唯一。MM3、答：（m，m）不是群，因为m中有两个不同的单位元素0和m。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、对于G中任意元x，y，由于(xy)2e，所以xy(xy)1y1x1yx（对每个x，从x2e可得xx1）。2、证明在F里aab1b1a(a,bR,b0)baQ所有(a,bR,b0)有意义，作F的子集b;....Q显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解：H的3个右陪集为：{I,(1，{(12)}2，(13)，3)}{(13，(22)3)}H的3个左陪集为：{I,(1，{(12)}2，(23)3)}，{(13，(12)3)}2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,×b/17=11339[a,b]=a。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明设e是群的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、mn；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,∈S1ab∩S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b,∈S1ab和a-b,∈S2ab，;....因而a-b,∈S1ab∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1．(1243)(56)，1(16524)；2．两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定义a1a1，因而R的任意元bb1这就是说=R，证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a1。近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A与B都是非空集合，那么ABxxA且xB。（f）2、设A、B、D都是非空集合，则AB到D的每个映射都叫作二元运算。（f）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1。（t）4、如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（t）5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（f）6、群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,hH;g1HgH。（t）7、如果环R的阶2，那么R的单位元10。（t）8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（t）9、F(x)中满足条件p()0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。（f）10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z同构的子域，这里Z是整数环，p是p由素数p生成的主理想。（f）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）1、设A,A,,A和D都是非空集合，而f是AAA到D的一个映射，那么（2）12n12n①集合A,A,,A,D中两两都不相同；②A,A,,A的次序不能调换；12n12n③AAA中不同的元对应的象必不相同；12n④一个元a,a,,a的象可以不唯一。12n;....2、指出下列那些运算是二元运算（3）4ab①在整数集Z上，ab；②在有理数集Q上，abab；ab③在正实数集R上，abalnb；④在集合nZn0上，abab。3、设是整数集Z上的二元运算，其中abmaxa,b（即取a与b中的最大者），那么在Z中（）43①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。4、设G,为群，其中G是实数集，而乘法:ababk，这里k为G中固定的常数。那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是（4）①0和x；②1和0；③k和x2k；④k和(x2k)。5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2abxc1,acxxac，那么x（2）1①bc1a1；②c1a1；③a1bc1；④b1ca。6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果6，那么G的阶G（3）2①6；②24；③10；④12。7、设f:GG是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（2）412①f的同态核是G的不变子群；②G的不变子群的逆象是G的不变子群；③G的子群1211的象是G的子群；④G的不变子群的象是G的不变子群。2128、设f:RR是环同态满射，f(a)b，那么下列错误的结论为（4）312①若a是零元，则b是零元；②若a是单位元，则b是单位元；③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R是不交换的，则R不交换。219、下列正确的命题是（）41①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环；③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（1）4①E:IE:II:F；②F:EI:FE:I；③I:FE:FF:I；④E:FE:II:F。三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。每空1分，共10分）1、设集合A1,0,1；B1,2，则有BA。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1faa。3、设集合A有一个分类，其中A与A是A的两个类，如果AA，那么AA0。ijijij4、设群G中元素a的阶为m，如果ane，那么m与n存在整除关系为。5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。6、给出一个5-循环置换(31425)，那么1。7、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为x。8、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R是一个域当且仅当I是I;....一个最大理想。9、整环I的一个元p叫做一个素元，如果、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果。四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在aaa里，元的12n次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设I和S是环R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么S0。或S=RS=I4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有dd'。一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子5、叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a,a,,a使得01naaan0。01n不都等于零的元五、计算题（共15分，每小题分标在小题后）1、给出下列四个四元置换1234123412341234,,,11234212433213442143组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及1,1,1,1和G的所有子群。12342、设Z0,1,2,3,4,5是模6的剩余类环，且f(x),g(x)Zx。如果f(x)3x35x2、66g(x)4x25x3，计算f(x)g(x)、f(x)g(x)和f(x)g(x)以及它们的次数。六、证明题（每小题10分，共40分）1、设a和b是一个群G的两个元且abba，又设a的阶am，b的阶bn，并且(m,n)1，证明：ab的阶abmn。2、设R为实数集，a,bR,a0，令f:RR,xaxb,xR，将R的所有这样的变换(a,b)构成一个集合Gfa,bR,a0，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。(a,b)3、设I和I为环R的两个理想，试证II和IIabaI,bI都是R的理想。121212124、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。近世代数试卷参考解答一、判断题12345678910;....××√√×√√√××二、单项选择题12345678910②④③④①②④③①④三、填空题1、1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1。、2a。、3。、4mn。5、变换群。、613524。、7xay,x,yR。、一个最大理想。8iiii9、p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、E的每一个元都是F上的一个代数元。四、改错题1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在aaa里，元的12n次序可以掉换。结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、设I和S是环R的理想且ISR，如果I是R的最大理想，那么S0。S=I或S=R4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若d和d'都是a和b的最大公因子，那么必有d=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一个单位因子5、叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a,a,,a使得01naaan0。01n不都等于零的元测验题一、填空题（42分）1、设集合M与M分别有代数运算与，且M~M，则当满足结合律时，也满足结合律；当满足交换律时，也满足交换律。2、对群中任意元素a,b,有(ab)1=；3、设群G中元素a的阶是n，n|m则am=e；4、设a是任意一个循环群，若|a|，则a与整数加群同构；若|a|n，则a与n次单位根群；同构；;....5、设G=a为6阶循环群，则G的生成元有a,a5；e,e,a3,e,a2,a4,e,a,a2,a3,a4,a5；；子群有；6、n次对称群S的阶是n!;；置换(1378)(24)的阶是4；n7、设12341234，则7、1234；，2341413241328、设(14)(235)，(136)(25)，则1；9、设H是有限群G的一个子群，则|G|=|H|:(G:H)；10、任意一个群都同一个双射）变换群；同构。二、证明题（24）1.设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程xne。1、已知G|n|，|a|=k,则k|n令n=kq,则anakq(ak)qe即G中每个元素都满足方程xne1、叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H与K的交HK仍然是G的一个子群。2、证明:如果群G中每个元素都满足方程x2e，则G必为交换群。三、解答题（34）1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算abab4作成群。2、写出三次对称群S的所有子群并写出S关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所33有右陪集。;....基础测试参考答案：一、填空题1、满足结合律；满足交换律；2、b1a1；3、e；4、整数加群；n次单位根群；5、a,a5；e,e,a3,e,a2,a4,e,a,a2,a3,a4,a5；6、n!;4、1234741328、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、（双射）变换群；二、证明题;....1、已知G|n|，|a|=k,则k|n令n=kq,则anakq(ak)qe即G中每个元素都满足方程xne2、充要条件：a,bH,abH;aHa1H；证明：已知H、K为G的子群，令Q为H与K的交设a,bH,则a,bH,a,bKH是G的子群，有abHK是G的子群，有abKabQaH，则aH且aK由定理1，可知a1H综上所述，H也是G的子群。3、证：a,bG;abGaa1aaa2由消元法得aa1ab(ab)1b1a1baG是交换群。三、解答题1、解：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：;....（1）结合律成立，即对G中任意元素a,b,c，有(ab)ca(bc)（2）G中有元素e，它对G中每个元素a，都有eaa（3）对G中每个元素a,在G中有元素a1，使a1ae则G对代数运算作成一个群。对任意整数a,b，显然a+b+4由a,b唯一确定，故为G的代数运算。（ab）c=(a+b+4)c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8a(bc)=a+b+c+8即（ab）c=a(bc)满足结合律a均有（-4）a=-4+a+4=a故-4为G的左单位元。（-8-a）a=-8-a+a+4=-4故-8-a是a的左逆元。2、解：|S|6其子群的阶数只能是1，2，3，631阶子群｛（1）｝2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝3阶子群｛（1）（123）（132）｝6阶子群S3左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H右陪集：H（1）=｛（1）（23）｝=H（23）;....H（13）=｛（13）（23）｝=H（123）H（12）=｛（12）（132）｝=H（132）;..