数列求和中常见放缩方法和技巧(含答案)

】求证：<11+——m+1m+2+...+—2m<1(m>1)5、求证：1+丄+-+...+—<21lx2lx2x3n!二、放缩法常见技巧式：（数列求和中常见放缩方法和技巧--放缩后能求和如放缩后是等比或可裂项求和）1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知a=2n-1(neN*).求证nnlaa——<—1+2+…+23aa23an—an+l(neN*).证明a2k—1―—二a2k+1—1k+111_12一2(2k+1—1)—23.2k+2k—2111-2—3莎'二3…'①TOC\o"1-5"\h\zaaan1111n11n1—1-+2+...+n——(—++...+)=——(1—)>——,aaa232222”232”2323n+1n1aaan——<—1-+2+...+n—<(neN*).3aaa223n+1若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k-2，从而是使和式得到化简.4x11例2、函数f(x)=，求证：f(1)+f(2)+•••+f(n)>n+—_(neN*).1+4x2n+12证明：由f（n）=4n1+4n11+4n12•2n得f(1)+f(2)+…+f(n)>1-+1——+•••+1——2-212-222-2n=n—1(1+1+1+…+丄)=n+丄4242n—12n+1此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。例3、已知a^n，求证：为k=1k=1a2k=1k丄<1+为\k3k=21-••J(k—1)k(k+1)<1+为k=221豪#+!-4k^i\'(k_1)(k+1)(\i，k+1+“』k—1)k=2(k-l)(k+1)1+k=2(々(kT)寸(k+1))c近=1+1+丁~?n—讥n+订<2+丁<3-<21本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.三.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。a+bab|例10.已知a，b^R，求证<+。1+|a+q1+|a|1+|b|x证明：构造函数f(x)=(x>0)，首先判断其单调性，设0一+一+一+—++…+6169丿11827丿3n-13”_1、+2.3n-13n丿5n65n+66所以ln2+In3+In4+_+皿<3〃-1-343n例10.求证：丄+1+…+23n+111—x当然本题的证明还可以运用积分放缩如图'取函数f(x)=丄'x首先：sf丄'从而有1xn-i”—in=lnn-ln(n-i)n-i另一方面tSABDE-i>f1=lnxIxn-i>lnn-ln(n-1)，所以有「111'所以综上有11ln(n+1)<1++…++2n23+…+n+1J1)解析：构造函数f(x)=ln(x-1)-(x-1)+1(x>1),求导,可以得到：丄2—xf(x)=丄—1=丄x-1x-1令f'(x)>0有12'所以f(x)1)2)3)分析：(1)用数学归纳法易证。2)由a=a2—a+1得：n+lnna—1=a(a—1)n+1nna—1=a(a—1)nn—1n—1a—1=a(a—1)211以上各式两边分别相乘得：a一1=aa•…aa(a一1)，又a=2n+1nn—12111a=aa…aa+1n+1nn—121⑶要证不等式1一池111—++…-+—aaa200612<11200611可先设法求和：一+—++aaa再进行适当的放缩。12•/a—1=a(a—1)n+1nn—1a—1例3(市模拟)定义数列如下：a=2,a=a2-a+1,neN*1n+1nn证明：(1)对于neN*恒有a>a成立。n+1n当n>2且neN*，有a=aaaa+1成立。n+1nn-1…2111111一<++…+22006aaa122006n+1nna—1annn+111—1"(—I)—1—120062007a—1a—112007aaa12…2006又aa…a>a2006=220061220061aa…a122006122006•••原不等式得证。本题的关键是根据题设条件裂项求和。数列不等式证明中的一些放缩技巧1.放缩为裂项求和41例1•设数列｛a｝的前n项的和S=a—tx2nn3n3n+1+12,neN*32n(1)求首项a、与通项a;(2)设T=,neN*，证明1nnSni=1解：(1)a=2,a=4n—2n,neN*；1n4122=—a——X2n+1+=—(2n+1—1)(2n—1),3n333(2)Snn所以，辽=3x(1i=121—12n+1—1放缩为等比求和例2.已知数列｛a｝满足a=1,a=2a+1(neN*)n1n+1n(1)求数列｛a｝的通项公式；n(2)证明：qn解：(1)a=2n—1(ngN*)；na2k—12k—11(2)先证不等式的右边：-==厂<恳，k=1,2,•••，na2k+1—1c/c,丄、2k+12(2k—2)aaan...—1-+2++L<.aaa223n+1再证不等式的左边：（先将通项放缩，从某一项开始放缩后，和式转化为等比数列求和）a2k-111111117—=——>———•,k=1,2,•••,n.22(2k+1—1)23•2k+2k—2232k・.・—1=ak+12k+1—1aa…—12+•••+■aa23例3.设数列{a}n(1)当a=2时，1(2)当a>3时，（i）a>n+2n证明：(i)由(.a+1=a2—n+1n.a+1>2(an+1n11•••<,k1+a2k+1k11++•1+a1+a12an1111n11n>———(—++•••+)=——(1—)>—a232222/232n+1a=a2-n•a+1,n=1,2,3,•••n+1nn求a2,a3,a4,并由此猜想出a的一个通项公式证明对所有的n>1，有(ii)111++•••+<—.1+a1+a1+a212n）a>n+2,下面考虑对1+a进行缩小nn•a+2>a•(n+2)—n•a+2=2(a+1),nnnn+1)>22(a+1)>•••>2n(a+1)>2n+2.1n-1=1,2,3,…,L<丄+丄+•••+111•-+<++•••+1+a22232n+12223n2n+1122=1二=2*2（无穷递缩等比数列，其部分项和Sn<所有项的和S=廿）奇偶相邻问题捆绑求和放缩例4.已知数列｛a｝的前n项和S满足S=2a+(—1)n,n>1.nnnn(1)写出数列｛a｝的前3项a,a,a;n123(2)求数列｛a｝的通项公式；n11(3)证明：对任意的整数m>4,有+一+•••+aa45解：(2)an=3[2n一2+(―l)n-1]3「11⑶由⑵不等式左迹㊁[亍+i+2m-2-(-1)m],分母-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：111111111⑷R+R>丟+2?亍1+亍<23+24，因此，可将右保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和.这里需要对m进行分类讨论：当n>3且n为奇数时，131132n-2+2n-132n-2+2n-1+二一(+)=•<•TOC\o"1-5"\h\zaa22n-2+12n-1-1222n-3+2n-1-2n-2-1222n-3nn+1311=-•(寸+厂)(减项放缩)，于是2n-12n-2(1)当m>4且m为偶数时1111111++•••+=+(+)+•••+(aaaaaaa45m456m-1<1+-(丄+丄+•••+丄)=1+-x1x(1-丄)<1+-=72223242m-/2242m-/288(2)当m>4且m为奇数时1111111++•••+<++•••++(添项)aaaaaaaTOC\o"1-5"\h\z45m45mm+111117由(1)知：一+一+…++<石.aaaa845mm+1总之，数列和不等式的证明，关键是把和求出来，若不能直接求和，就要先把通项放缩，再求和，求和后再放缩，证得结果.练习：1.已知数列｛a｝，a>0,a=0,a2+a-1=a2(neN*)，记nn1n+1n+11S=a+a+•••+an12nTOC\o"1-5"\h\zT=++…+n1+a(1+a)(1+a)(1+a)(1+a)…(1+a)11212n求证：当neN*时，(3)T<3.n(I)a