09荷载与结构设计方法

结构可靠度的基本概念结构可靠度计算相关随机变量的结构可靠度计算结构体系的可靠度计算思考题习题本章内容结构可靠度的基本概念一、结构的功能要求和极限状态结构的基本目的是：在一定的经济条件下，使结构在预定的使用期限内满足设计所预期的各项功能。《建筑结构可靠度设计统一》(GB50068—2001)规定，结构在规定的设计使用年限内应满足下列功能要求。(1)能承受在正常施工和正常使用时可能出现的各种作用。(2)在正常使用时具有良好的工作性能。(3)在正常维护下具有足够的耐久性能。(4)在偶然事件发生时(如地震、火灾等)及发生后，仍能保持必需的整体稳定性。上述(1)、(4)项为结构的安全性要求，第(2)项为结构的适用性要求，第(3)项为结构的耐久性要求。这些功能要求概括起来称为结构的可靠性，即结构在规定的时间内(如设计基准期为50年)，在规定的条件下(正常设计、正常施工、正常使用维护)完成预定功能(安全性、适用性和耐久性)的能力。显然，增大结构设计的余量，如加大结构构件的截面尺寸或钢筋数量，或提高对材料性能的要求，总是能够增加或改善结构的安全性、适应性和耐久性要求，但这将使结构造价提高，不符合经济的要求。因此，结构设计要根据实际情况，解决好结构可靠性与经济性之间的矛盾，既要保证结构具有适当的可靠性，又要尽可能降低造价，做到经济合理。结构可靠度的基本概念整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态称为该功能的极限状态。极限状态是区分结构工作状态可靠或失效的标志。极限状态可分为两类：承载力极限状态和正常使用极限状态。(1)承载力极限状态。这种极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载能力或不适于继续承载的变形。结构或结构构件出现下列状态之一时，应认为超过了承载力极限状态。①整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡(如倾覆、过大的滑移等)。②结构构件或连接因超过材料强度而破坏(包括疲劳破坏)，或因过度变形而不适于继续承载(如受弯构件中的少筋梁)。③结构转变为机动体系(如超静定结构由于某些截面的屈服，使结构成为几何可变体系)。④结构或结构构件丧失稳定(如细长柱达到临界荷载发生压屈等)。⑤地基丧失承载力而破坏(如失稳等)。(2)正常使用极限状态。这种极限状态对应于结构或构件达到正常使用或耐久性能的某项规定限值。结构或结构构件出现下列状态之一时，应认为超过了承载力极限状态。①影响正常使用或外观的变形(如过大的挠度)。结构可靠度的基本概念②影响正常使用或耐久性能的局部损失(如不允许出现裂缝结构的开裂；对允许出现裂缝的构件，其裂缝宽度超过了允许限值)。③影响正常使用的振动。④影响正常使用的其他特定状态。二、结构抗力结构抗力是指结构或构件承受作用效应的能力，如构件的承载力、刚度、抗裂度等。影响结构抗力的主要因素是材料性能(承载力、变形模量等物理力学性能)、几何参数以及计算模式的精确性等。考虑到材料性能的变异性、几何参数及计算模式精确性的不确定性，所以由这些因素综合而成的结构抗力也是随机变量。三、结构功能函数结构构件完成预定功能的工作状态可以用作用效应S和结构抗力R的关系来描述，这种达式称为结构功能函数，用Z来表示： (9-1)它可以用来表示结构的3种工作状态(图9.1)。当Z>0时，结构能够完成预定的功能，处于可靠状态。当Z<0时，结构不能完成预定的功能，处于失效状态。当Z=0时，即R=S结构处于临界的极限状态，，称为极限状态方程。结构可靠度的基本概念结构功能函数的一般表达式，其中为影响作用效应S和结构抗力R的基本变量，如荷载、材料性能、几何参数等。由于R和S都是非确定性的随机变量，故Z也是随机变量。图9.1结构所处的状态四、结构可靠度和可靠指标结构在规定的时间内，在规定的条件下完成预定功能的概率，称为结构的可靠度。可见，可靠度是对结构可靠性的一种定量描述，亦即概率度量。结构可靠度的基本概念结构能够完成预定功能的概率称为可靠概率Ps；结构不能完成预定功能的概率称为失效概率Pf。显然，二者是互补的，即Ps+Pf=1.0。因此，结构可靠性也可用结构的失效概率来度量，失效概率愈小，结构可靠度愈大。基本的结构可靠度问题只考虑由一个抗力R和一个荷载效应S的情况，现以此来说明失效概率的计算方法。设结构抗力R和荷载效应S都服从正态分布的随机变量，R和S是互相独立的。由概率论知，结构功能函数Z=R-S也是正态分布的随机变量。Z的概率分布曲线图如图9.2所示。图9.2功能函数Z的分布曲线结构可靠度的基本概念Z=R-S<0的事件出现的概率就是失效概率Pf： (9-2)式中，——结构功能函数Z的概率密度分布函数。失效概率Pf就可以用图9.2中的阴影面积表示。如结构抗力R的平均值为μ，标准差为σ；荷载效应的平均值为μS，标准差为σS，则功能函数Z的平均值及标准差为： (9-3) (9-4)结构失效概率Pf与功能函数平均值μZ到坐标原点的距离有关，取。由图9.2可见，β与Pf之间存在着对应关系。β值越大，失效概率Pf就小；β值越小，失效概率Pf就大。因此，β与Pf一样，可作为度量结构可靠度的一个指标，故称β为结构的可靠指标。值可按式(9-5)计算，得： (9-5)β与Pf在数值上的对应关系见表9-1。从表中可以看出，β值相差0.5，失效概率Pf大致差一个数量级。结构可靠度的基本概念表9-1β与Pf的对应关系由图9.2可知，失效概率Pf尽管很小，但总是存在的。因此，要使结构设计做到绝对的可靠(R>S)是不可能的，合理的解答应该是把所设计的结构失效概率降低到人们可以接受的程度。结构可靠度的基本概念【例9.1】某钢筋混凝土轴心受压短柱，截面尺寸为Ac=b×h=(300×500)mm2，配有4根直径为25的HRB335钢筋，As=1964mm2。设荷载服从正态分布，轴力N的平均值μN=1800kN，变异系数δN=0.10。钢筋屈服强度Φy服从正态分布，其平均值μfy=380N/mm2，变异系数δfy=0.06。混凝土轴心抗压强度Φc也服从正态分布，其平均值μfc=24.80N/mm2，变异系数δfc=0.20。不考虑结构尺寸的变异和计算模式的不准确性，试计算该短柱的可靠指标β。解：(1)荷载效应S的统计参数。 μS=μN=1800kN，σS=σN=μNδN=1800×0.10=180kN(2)构件抗力R的统计参数。短柱的抗力由混凝土抗力Rc=fcAc和钢筋的抗力Rs=fyAs两部分组成，即：R=Rc+Rs=fcAc+fyAs混凝土抗力Rc的统计参数为： μRc=Acμfc=500×300×24.8=3720kN σRc=μRcδfc=3720×0.20=744.0kN钢筋抗力Rs的统计参数： μRs=Asμfy=1964×380=746.3kN σRs=μRsδfy=746.3×0.06=44.8kN结构可靠度的基本概念构件抗力R的统计参数： μR=μRc+μRs=3720+746.3=4466.3kN (3)可靠指标β的计算。 查表9-1可得，相应的失效概率Pf为2.06×10-4。结构可靠度计算一、均值一次二阶矩法均值一次二阶矩法(中心点法)是在结构可靠度研究初期提出的一种方法。其基本思路为：利用随机变量的平均值(一阶原点矩)和标准差(二阶中心矩)的数学模型，结构的可靠度，并将极限状态功能函数在平均值(即中心点处)作Taylor级数展开，使之线性化，然后求解可靠指标。设X1，X2，…，Xn是结构中n个相互独立的随机变量，其平均值和标准差分别为和(i=1，2，…，n)，由这些随机变量所表示的结构功能函数为Z=g(X1，X2，…，Xn) (9-6)将功能函数Z在随机变量的平均值处展开为Taylor级数并保留至一次，即： (9-7)Zμ的平均值： (9-8)Zμ的方差： (9-9)结构可靠度计算结构可靠指标表示为： (9-10)由上述可以看出，均值一次二阶矩法概念清楚，计算比较简单，可导出解析表达式，直接给出可靠指标与随机变量统计参数之间的关系，分析问题方便灵活。但它也存在着以下缺点。(1)不能考虑随机变量的分布概率。若基本变量的概率分布为非正态分布或非对数正态分布，则可靠指标的计算结果与其标准值有较大差异，不能采用。(2)将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合理，由于随机变量的平均值不在极限状态曲面上，展开后的线性极限状态平面可能会较大程度地偏离原来的极限状态曲面。可靠指标依赖于展开点的选择。(3)对有相同力学含义但不同数学表达式的极限状态方程，应用均值一次二阶矩法不能求得相同的可靠指标值。见例9.2的分析。结构可靠度计算【例题】已知某钢梁截面的塑性抵抗矩服从正态分布，，；钢梁材料的屈服强度ƒ服从对数正态分布，，。钢梁承受确定性弯矩M=130.0KN.m。试用均值一次二阶矩法计算该梁的可靠指标β。解：(1)取用抗力作为功能函数。 极限状态方程为 由式(9-9)得： 由式(9-9)得： 由式(9-10)得： 结构可靠度计算(2)取用应力作为功能函数。 极限状态方程为 由上述比较可知，对于同一问题，由于所取的极限状态方程不同，计算出的可靠指标有较大的差异。结构可靠度计算二、改进的一次二阶矩法针对均值一次二阶矩法将结构功能函数线性化点取作基本随机变量均值点所带来的计算误差，人们开始在失效边界上寻求线性化点，该点通常在结构最大可能失效概率对应的设计验算X*上，由此得到的方法称为改进的一次二阶矩法。当线性化点选在设计验算点X*上时，线性化的极限状态方程为： (9-11)Z的均值为： (9-12)由于设计验算点在失效边界上，故有，因此，式(9-13)变为： (9-13)假设各随机变量相互独立，Z的均值为： (9-14)结构可靠度计算引入分离函数式，将式(9-14)线性化，得： (9-15) (9-16)式中，αi——第i个随机变量对整个标准差的相对影响，因此称为灵敏系数。在变量方差已知的情况下，α就完全由确定，αi值在±1之间，且有。结构可靠指标β： (9-17)整理式(9-16)，有： 结构可靠度计算由于，必有： (9-18)从而可解得设计验算点： (9-19)求解所得的设计验算点应满足： (9-20)式(9-18)有n个方程，加上式(9-19)有n+1个方程，可解得及β共n+1个未知数。但由于一般g(·)为非线性函数，则通常采用迭代法解上述方程组。其求解步骤如图9.3所示。【例9.3】某钢梁截面抵抗矩为W，μW=5.5×104mm3，σW=0.3×104mm3；钢材的屈服强度为Φ，μf=380.0N/mm2，σf=30.4N/mm2。钢梁在固定荷载P作用下在跨中产生最大弯矩M，μM=1.3×107N.m，σM=0.091×107N.mm。随机变量W、Φ和MP均为互不相关服从正态分布的随机变量。试用改进的一次二阶矩法计算此梁的可靠指标。结构可靠度计算图9.3求的迭代框图解：建立极限状态方程。取均值作为设计验算点的初值。(2)计算α值。代入式(9-16)，有：结构可靠度计算(3)计算。结构可靠度计算(4)求解β值。将上述W*、f*、M*代入结构功能函数，得：β1=3.790，β2=59.058(舍去)(5)求Xi*的新值。将β=3.790代入式(5-19)，求Xi*的新值：重复上述计算，有：将上述值代入结构功能函数，解出：β=3.775进行第三次迭代，求得β=3.764，与上次的β=3.775接近，已收敛。取β=(3.764+3.775)=3.770，相应的设计验算点为：相应的失效概率结构可靠度计算三、JC法由于改进的一次二阶矩法克服了均值一次二阶矩法存在的缺点，故得到了广泛的应用。它的主要优点是在基本变量分布未知时，只要知道均值与标准差就可确定可靠指标β。而它的缺点是，求得的β值只有在基本变量服从正态分布且具有线性的极限状态方程时，才是精确的。作为一种近似方法，当极限状态方程的非线性程度较低，失效曲面接近平面时，改进的一次二阶矩还是可以采用的。在实际工程中，并不是所有的变量都是正态分布的。为解决这个问题，由拉克维茨和菲斯莱(Rackwitz-Fiessler)、哈索弗尔和林德(Hasofer-Lind)等提出了一种适合非正态分布的求解可靠指标β的方法。该方法被国际结构安全度联合委员会(JCSS)所采用，故称为JC法。JC法的基本原理是：首先将随机变量原来的非正态分布“当量”化为正态分布。“当量正态化”的条件(图9.4)是：图9.4当量正态条件示意图结构可靠度计算(1)在设计验算点处有相同的分布函数，即当量正态变量(其平均值为，标准差为)的分布函数值与原非正态变量(其平均值为，标准差为)的分布函数值相等。(2)在设计验算点处有相同的概率密度，即当量正态变量概率密度函数值与原非正态变量概率密度函数相等。然后根据这两个条件求得当量正态分布的平均值和标准差，最后用改进的一次二阶矩法计算结构的可靠指标。由条件(1)： 从而求得当量正态分布的平均值： (9-21)由条件(2)： 结构可靠度计算或： 从而求得当量正态分布的标准差： (9-22)式中，为标准正态分布函数，为标准正态分布反函数，标准正态分布的概率密度函数。在求得当量正态分布的平均值及标准值后，用JC法求β的步骤便与改进的一次二阶矩方法一样。随机变量χ服从对数正态分布，根据式(9-21)和式(9-22)，得： 结构可靠度计算【例9.4】某轴向受压短柱承受固定荷载NG和活荷载NQ作用，柱截面承载能力为R。经统计分析后得各变量的统计信息如表9-2所示。极限状态方程Z=g(R，NG，NQ)=R-NG-NQ=0，试用JC法求解其可靠指标和对应的失效概率。表9-2各变量统计参数解：(1)非正态变量的当量正态化。 R当量正态化：取R*的初始值为μR，则：变量NGNQR分布类型正态极值I型对数正态平均值53.0kN70.0kN309.2kN标准差3.7kN20.3kN52.6kN变异系数0.070.290.17结构可靠度计算NQ当量正态化： 式中 取的初始值为得到： (2)求可靠指标及设计验算点R*、 用改进的一次二阶矩法计算得，β=2.320 设计验算点结构可靠度计算(3)第二次迭代R的当量正态化：NQ的当量正态化：用改进的一次二阶矩法计算得，β=3.773设计验算点按上述步骤经5次迭代，最后求得可靠指标及设计验算点R*、值：β=3.583。设计验算点相关随机变量的结构可靠度计算以上讨论的都是基本变量互不相关条件下的可靠指标β的计算方法。在实际工程中，随机变量存在着一定的相关性。研究表明，随机变量间的相关性对结构的可靠度有着明显的影响。因此，若随机变量相关，则在结构可靠度分析中应予以考虑。一、变量相关的概念由概率论可知，对于两个相关的随机变量X1和X2，相关性可用相关系数表示，即： (9-23)式中，为X1和X2的协方差；为X1和X2的标准差。相关系数的值域为[-1，1]。若，表示X1和X2不相关；若，表示X1和X2完全相关。相关随机变量的结构可靠度计算对于n个基本变量，它们之间的相关性可用相关矩阵表示，即： (9-24)【例9.5】梁AB承受随机荷载P1和P2作用，如图9.5所示。设荷载是统计独立的，其P1均值为4kN，标准差为0.4kN；P2均值为6kN，标准差为0.5kN。在支座B处梁的剪力VB和弯矩MB为：试求VB和MB的相关性。图9.5承受荷载作用的梁AB相关随机变量的结构可靠度计算解：(1)VB和MB的均值和标准差为： (2)协方差为：相关随机变量的结构可靠度计算(3)相关系数为： 相关系数接近1.0，说明VB和MB密切相关。二、相关变量的变换考虑一组新的变量，其中是的线性函数。通过适当的变换，可使成为一组不相关的随机变量，作变换： (9-25a) (9-25b)其中，[A]是正交矩阵，其列向量[CX]为标准正交特征向量。这时的协方差矩阵即为对角矩阵。 (9-26)并且有： (9-27)相关随机变量的结构可靠度计算的对角线元素就等于的特征值。【例9.6】随机变量X1、X2和X3，其均值为，协方差矩阵：现求一组不相关的随机变量。解：(1)列特征方程，求特征值。 的特征方程整理，得：求得特征值：(2)求的协方差矩阵。由式(9-26)，得： (3)求转换矩阵[A]。将分别代入方程，解得与之相应的标准化特征向量。相关随机变量的结构可靠度计算所以正交矩阵为： (4)不相关的随机变量。不相关的随机变量即： 均值为：得： μY1=E[Y1]=0.6621×2.831+0.7071×1.0+0.2483×0.745=2.7665 μY2=E[Y2]=0.6621×2.831-0.7071×1.0+0.2483×0.745=1.3523 μY3=E[Y3]=0.3511×2.831+0.0×1.0-0.9363×0.745=0.2964相关随机变量的结构可靠度计算三、相关变量可靠指标的计算对于彼此相关的变量，可以把它们转换为互不相关的变量，然后将不相关的正态变量标准化，得到标准正态化的不相关变量，最后再按变量独立且服从正态分布的方法计算可靠指标β。【例9.7】某轴向受压短柱承受固定荷载X2和活荷载X3作用，柱截面承载能力为X1。它们都是服从正态分布的随机变量。各变量的统计信息：它们的相关系数为：极限状态方程Z=X1-X2-X3=0，试求其可靠指标β。解：(1)求转换矩阵[A]。 由式(9-23)可得，的协方差矩阵 相关随机变量的结构可靠度计算[CX]的特征值：相应的特征向量为：所以正交矩阵[A]为： (2)确定Y的均值和方差。由和式(9-27)，得： (3)确定以Y为变量的极限状态方程。相关随机变量的结构可靠度计算由式(9-25b)，有： 代入极限状态方程，得： (4)计算可靠指标β。 结构体系的可靠度计算前几节介绍的结构可靠度分析方法，计算的是结构某一种失效模式、一个结构或一个截面的可靠度，其极限状态是唯一的。实际工程中，结构的构成是复杂的。从构成的材料来看，有脆性材料和延性材料；从力学的图式来看，有静定结构和超静定结构；从结构构件组成的系统来看，有串联系统、并联系统和混联系统等。不论从何种角度来研究其构成，它总是由许多构件所组成的一个体系，根据结构的力学图式、不同材料的破坏形式、不同系统等来研究它的体系可靠度才能较真实地反映其可靠度。结构体系的失效是结构整体行为，单个构件的可靠性并不能代表整个体系的可靠性。对于结构的设计者来说，最关心的是结构体系的可靠性。由于整体结构的失效总是由结构构件的失效引起的，因此由结构各构件的失效概率估算整体结构的失效概率成为结构体系可靠度分析的主要研究内容。一、结构体系可靠度不同构件或不同构件集合的失效，将构成不同的体系失效模式。设结构体系有K个失效模式，不同的失效模式有不同的功能函数。各功能函数表示为： (9-28)式中，为基本变量。相关随机变量的结构可靠度计算若用Ej表示第j个失效模式出现这一事件，则有： (9-29)Ej的逆事件为与第j个失效模式相应的安全事件，则有： (9-30)于是结构体系安全这一事件表示为： (9-31)结构体系失效事件表示为： (9-32)结构体系的可靠概率表示为： (9-33)结构体系的失效概率表示为： (9-34)式中，为各基本变量的联合概率密度函数。相关随机变量的结构可靠度计算由上式可见，求解结构体系的可靠度需要计算多重积分。对于大多数工程实际问题而言，不但各随机变量的联合概率难以得到，而且计算这一多重积分也非易事。所以，对于一般结构体系，并不直接利用上述公式求其可靠度，而是采用近似方法计算。二、结构系统的基本模型为对复杂的结构进行可靠性预测，通常需要把结构模型化为基本的结构系统。下面介绍3种基本的结构系统。1.串联模型若结构中任一构件失效，则整个结构体系失效，具有这种逻辑关系的结构系统可用串联模型表示，如图9.6所示。所有的静定结构的失效分析均可采用串联模型。如静定桁架结构，其中每个杆件均可看成串联系统的一个元件，只要其中一个元件失效，整个系统就失效。2.并联模型若结构中所有单元失效，则该结构体系失效，具有这种逻辑关系的结构系统可用并联模型表示，如图9.7所示。超静定结构的失效可用并联模型表示。如一个多跨的排架结构，每个柱子都可以看成是并联系统的一个元件，只有当所有柱子均失效后，该结构体系失效。一个两端固定的刚梁，只有当梁两端和跨中形成了塑性铰(塑性铰截面当作一个元件)，整个梁才失效。相关随机变量的结构可靠度计算对于并联系统，元件的脆性或延性性质将影响系统的可靠度及其计算模型。脆性元件在失效后将逐个从系统中退出工作，因此在计算系统的可靠度时，要考虑元件的失效顺序。而延性元件在失效后仍将在系统中维持原有的功能，因此只需考虑系统最终的失效形态。图9.6串联体系图9.7并联体系图9.8混联体系相关随机变量的结构可靠度计算3.混联模型实际的超静定结构通常有多个破坏模式，每一个破坏模式可简化为一个并联体系，而多个破坏模式又可简化为串联体系，这就构成了混联模型，如图9.8所示。如图9.9所示为单层单跨刚架，在荷载作用下，最终形成塑性铰机构而失效。失效的形态可能有3种，只要其中一种出现，就是结构体系失效。因此这一结构是一串并联子系统组成的串联系统，即串-并联系统。对于由脆性元件组成的超静定结构，若超静定程度不高，当其中一个构件失效而退出工作后，继后的其他构件失效概率就会被大大提高，几乎不影响结构体系的可靠度，这类结构的并联子系统可简化为一个元件，因而可按串联模型处理。(a)单层单跨刚架塑性铰结构(b)串-并联系统图9.9单层单跨刚架相关随机变量的结构可靠度计算三、结构系统中功能函数的相关性构件的可靠度取决于其荷载效应和抗力。对于实际的结构系统，构件的能力之间、荷载之间并非孤立，而是互相联系的。同时，由于各种失效形式的极限状态方程中都包含上述随机变量，因此各失效形式之间也是相关的。所以在进行结构系统的可靠度分析时，必须考虑这种相关性。考虑失效形式间的相关性，不仅可以得出比较合理的可靠指标，同时又往往使问题简单化。设与破坏模式i、j对应的功能函数Zi、Z，功能函数包含两个独立变量R和S，其均值和标准值为μR、μS和σR、σS，则功能函数Zi、Zφ的表达式为：， (9-35)Zi和Zj的协方差为： (9-36)Zi和Zj的相关系数为： (9-37)相关随机变量的结构可靠度计算上述结果可以推广到功能函数含有多个随机变量的情况。功能函数Zi、Zφ分别为： (9-38)则其相关系数为： (9-39)当功能函数为非线性函数时，可通过Taylor级数在验算点X*处展开，并取一次式计算相关系数的近似值(假定基本变量是不相关的)，可得Zl和Zφ的协方差为： (9-40)式中，。相关系数为：(9-41) 式中，相关随机变量的结构可靠度计算在结构系统中，两种失效模式的相关性具有下述特点。(1)在同一结构系统中，来自同一个随机变量的两种失效形式完全相关。设失效模式i和j的功能函数为： 式中，R为随机变量，a、b、c、d为常量。Z和Z的相关系数(2)同一结构系统中，两种失效形式一般是正相关的，即。(3)同一结构系统中两种失效形式的相关性可按相关系数的大小分为高级相关与低级相关。通常定义为高级相关；为低级相关。为临界相关系数，可根据结构的重要性与经济性修正，一般取。当时，可以用一种形式代替另一种失效形式，这样就可使结构系统的可靠度分析简化。当时，必须考虑各种失效形式对结构系统失效的影响。相关随机变量的结构可靠度计算四、结构体系可靠度计算方法1.区间估计法对于实际结构，破坏模式很多，要精确计算其破坏概率是不可能的。通常采用一些近似计算方法，其中常用的有区间估计法。区间估计法上最有代表性的是A.Cornell提出的宽界限法和Ditevsen提出的窄界限法。1)宽界限法宽界限法(一阶方法)，取两种极端状态作为上下限，利用基本事件的失效概率来研究多种失效模式结构体系的失效概率。若所考虑的各构件的抗力是完全相关的，即ρ=1，体系的可靠概率为： (9-42)式中，为第i个构件可靠概率，若其失效概率为P，则有，上式表示只有当第一个构件不破坏时，体系才不破坏，因各构件失效之间是完全相关的。若各构件的抗力是相互统计独立的，并且作用效应也是统计独立的，则有： (9-43)相关随机变量的结构可靠度计算实际结构的抗力与作用效应既不会完全统计独立，也不会完全相关，一般介于二者之间。式(9-42)、(9-43)可作为估计体系可靠概率PS的上下限，即 (9-44)相应地，体系失效概率的Pφ的上下限，即： (9-45)如果Pφi很小，有，则： (9-46)上述公式虽不能完全确定结构体系的失效概率，但可以估计失效概率的上下限。【例9.8】如图9.10所示，有10条完全一样的链用环串联起来。受拉力为T，每一条链的失效概率为Pφi=10-4，试就链的各种相关条件讨论该串联体系的失效概率。图9.10链环结构图相关随机变量的结构可靠度计算解：下面分3种情况进行讨论。(1)设每条链都是独立的，此时的失效概率为： (2)设各条链的失效是完全相关的，此时有： (3)设任意两条链的失效是相关的，相关系数。由式(9-45)，得： 2)窄界限法针对宽界限法给出的界限过宽，一些学者对结构体系失效概率的窄界限法(二阶法)作了进一步研究。考虑的出发点是针对失效模式间的关系，其界限必须是共同事件EE发生的概率，如或，从而根据概率论求出结构体系失效概率的上下界限。结构体系失效概率的上下限为： (9-47)相关随机变量的结构可靠度计算为共同事件的概率，当所有随机变量都是正态分布且相关系数时，由事件t、φ的可靠指标βi和βj有： (9-48)式中，在计算联合事件的概率时，可近似取其中的边界值。在估计底限时取： 在估计高限时取： 【例9.9】简支钢梁跨度l=6.1m，在均匀荷载q作用下有3种可能的失效模式：抗弯能力M0失效，抗剪能力V0失效，抗弯与抗剪能力联合失效。已知梁的抗弯能力为M0，，；梁的抗剪能力为V0，，。均匀荷载为q，μq=87.6kN/m，σq=19.0kN/m。随机变量M0、V0和q均服从正态分布，试用窄界限法求该梁的失效概率。相关随机变量的结构可靠度计算解：(1)3种失效模式的功能函数。经分析，弯曲失效发生在梁的中点截面，剪切失效发生在梁支座处，联合作用下失效发生在处。其失效模式的功能函数如下。抗弯模式的功能函数为：抗剪模式的功能函数为：抗弯与抗剪联合的功能函数为：(2)计算单个失效模式概率。功能函数为线性方程，受弯失效概率和可靠指标β1如下。 功能函数也是线性方程，受剪失效概率和可靠指标β2如下。相关随机变量的结构可靠度计算 功能函数为非线性方程，用改进的一次二阶矩求联合失效概率和可靠指标β3有：(3)计算相关系数。由式(9-41)求得：(4)计算共同事件发生的概率。对失效模式1和2，有： 由式(9-48)，得：对失效模式1和3，有：相关随机变量的结构可靠度计算由式(9-48)，得：对失效模式2和3，有： 由式(9-48)，得：(5)求解失效概率窄界限范围。由式(5-47)，得： 代入有关数据，得： 相关随机变量的结构可靠度计算2.PNET法PNET(ProbabilityNetworkEvaluationTechnique)法也被称为概率网络估算技术法，它是将网络技术用于结构体系可靠度分析，把结构体系所具有的失效模式，根据其间的相关分析分成若干组，每组中的失效模式间具有很高的相关性，然后选取各组中失效概率最大的失效模式作为各组的代表，称为该体系的主要失效模式。根据以上原理，设n个代表的失效模式中，第i个失效模式的失效概率为Pfi，则结构体系的可靠概率为： (9-49)相应地结构体系的失效概率为： (9-50)当Pfi很小时，上式可近似为： (9-51)PNET法的基本思路为：对的相关事件，假设为相互高级相关；低级相关事件()假设为相互独立；为临界相关系数。将基本失效事件分为n组，任一组包括的失效事件为。它们与其中的一个失效事件E高级相关(即)，在此情况下，可以用E作为代表，亦即该组的失效概率都可以由单个事件的失效概率来代表，即： 相关随机变量的结构可靠度计算 (9-52)式中，。进一步假设不同组的E是相互独立的，亦即对Eq和Er有。因此，结构体系的失效概率近似由下式计算： (9-53)用PNET法计算结构体系可靠度的步骤如下：(1)选择ρ0值。(2)计算单个失效模式的概率，并按失效概率值由大到小依次将各失效事件排序，如。(3)取E1作为比较依据，依次计算其余各事件与E1的相关系数，其中的事件可用E1代表。(4)对的各事件再按失效概率由大到小依次排列，取失效概率最大的事件为依据，用第(3)步的方法，找出它所代表的事件。重复上述步骤，直到各失效事件都找到代表事件为止。(5)由各代表事件的概率，由求得结构体系的失效概率。相关随机变量的结构可靠度计算由于PENT法采用ρ0作为衡量失效事件相关性的标准，因此，ρ0的取值与所得可靠度密切相关。如果取ρ0=1，则得出过低的可靠度，这是偏保守的；如果取ρ0=0，则得出过高的可靠度，所得的结果作为设计依据偏于危险。【例9.10】在如图9.11所示的梁索体系中，梁长，等截面。梁承受均匀荷载q，服从正态分布，。梁达到塑性极限的抗弯能力M服从正态分布，。钢索材料的屈服强度也服从正态分布，。索1和索2截面面积分别为6.45×10-2mm2和3.32×10-2mm2。设每条钢索的抗拉能力和荷载q都是统计独立的，梁的抗弯能力也是统计独立的，但各截面完全相关。试求该体系的失效概率。相关随机变量的结构可靠度计算解：(1)失效模式及功能函数。该梁索体系可能有4种失效模式，如图9.12所示。根据虚功原理依次得到失效模式的功能函数：图9.11索梁示意图图9.12索梁结构失效模式相关随机变量的结构可靠度计算(2)计算单个失效模式概率。由式(9-6)分别计算单个失效模式概率。(3)选取失效模式代表。按失效概率由大到小依次排列，分别为失效模式1、失效模式2、失效模式3和失效模式4。取，以失效模式1为依据，求与的相关系数，分别为： 由此可见，当取时，失效模式2、3、4均不能用失效模式1代表。以失效模式2为依据，求的相关系数，分别为： 由此可见，当取时，失效模式3、4可用失效模式2代表。相关随机变量的结构可靠度计算(4)结构体系失效概率上述分析可知，该梁索系统可由失效模式1和失效模式2来代表。由式(9-53)可得系统的失效概率：如果用宽界限法，可得：。如果用窄界限法，可得：。思考题1.结构的功能要求有哪些？2.简述结构功能函数的意义和结构极限状态设计的要求。3.何谓结构的可靠性和可靠度？4.可靠指标与失效概率有什么关系？说明可靠指标的几何意义。5.简述中心点法和设计验算点法的基本思路，并分析其优缺点。6.简述相关随机变量可靠度的计算方法。7.非正态随机变量当量化为正态的基本假定是什么？8.何谓结构体系可靠度？简述结构系统的基本模型。9.简述PNET法的基本思路。习题1.已知一伸臂梁如图9.13所示。梁所能承担的极限弯矩为Mu，若梁内弯矩M>Mu时，梁便失败。现已知各变量均服从正态分布，其各自的平均值及标准差为：荷载统计参数，；跨度统计参数，；极限弯矩统计参数，。试用中心点法计算该构件的可靠指标β。图9.13习题1图2.假定钢梁承受确定性的弯矩M=128.8kN.m，钢梁截面的塑性抵抗矩W和屈服强度f都是随机变量，已知分布类型和统计参数为：习题抵抗矩W：正态分布，W=884.910-6m3，W=0.05；屈服强度f：对数正态分布，f=262MPa，f=0.10；该梁的极限状态方程：Z=M-Wf=0试用验算点法求解该梁可靠指标。3.某随机变量X服从极值I型分布，其统计参数为：X=300，X=0.12。试计算x*=X处的当量正态化参数。4.某结构体系有4种失效可能，其功能函数分别g1、g2、g3和g4。经计算对失效模式1，1=3.32，Pf1=(3.32)=4.510-4；失效模式2，2=3.65，Pf1=(3.65)=1.3310-4；失效模式3，3=4.51，Pf3=(4.51)=3.2510-6；失效模式4，4=4.51，Pf3=(4.51)=3.2510-6。已知g1与g2的相关系数为0.412，g1与g3的相关系数为0.534，g1与g4的相关系数为0.534；g2与g3的相关系数为0.856，g2与g4的相关系数为0.534。试用窄界限估算公式计算该结构体系的失效概率。习题5.单跨2层刚架如图 9.14(a)所示。已知各随机变量及统计特征，竖向杆的抗弯力矩M1=(111，16.7)kNm；水平杆的抗弯力矩M2=(277，41.5)kNm；荷载F1=(91，22.7)kN，F2=(182，27.2)kN，P=(15.9，4)kN。刚架可能出现塑性铰的位置如图9.14(b)所示，共14个，主要失效机构为8个，相应的功能函数以及其对应的可靠指标和失效概率列于表9-3中。试用PNET法求该刚架体系的可靠度。表9-3主要机构的功能函数以及其对应的可靠指标和失效概率习题图9.14习题5图(a)(b)