概率第1章

null概率论与数理统计概率论与数理统计主讲教师：唐亚勇Email: yayongtang@scu.edu.cnnull概率论是研究什么的？概率论——研究随机现象并揭示其统计规律性的科学 序言答疑时间答疑时间时间:星期一、二、四晚7:00-9:00 地点:A224§1.1随机事件及运算 1.1.1.随机试验§1.1随机事件及运算 1.1.1.随机试验 随机试验的特点 1. 可在相同条件下重复进行； 2. 试验结果可能不止一个,且预知所有的可能结果; 3. 试验前无法确定会是哪种结果出现。第一章 随机事件及其概率null例1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出现正面和反面; 例2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； 例3: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; 例4: 掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； 例5: 某网站一分钟内受到的点击次数； 例6: 在一批灯泡中任取一只，测其寿命; 例7: 任选一人，记录他的身高和体重 。随机试验的例子1.1.2 样本空间及随机事件1.1.2 样本空间及随机事件 3.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件. 6、由一个样本点ω组成的单点集称为一个基本事件,也记为ω. 1.定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等2.基本事件和复合事件 4.样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为Ω； 5.样本点: 试验的每一个结果或样本空间的元素称为 一个样本点,记为ω. 　 　 1.事件的包含与相等 “A发生必导致B发生”, 记为AB A＝B  AB且BA. 1.1.3. 事件之间关系及运算null2. 事件的和（并） “事件A与B至少有一个发生”， 记作AB2′ n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作null3. 事件的积（交）:A与B同时发生，记作 AB＝AB3' n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An或null4.事件的差 ：A－B称为A与B的差事件,表示“事件A发生而B不发生”思考：何时A-B=?何时A-B=A？注：A-B=A-ABnull5.互不相容（互斥）的事件：如果AB＝ ，则称A与B为互斥事件。 6. 对立（互逆）的事件：如果 AB＝ , 且AB＝  , 则称A与B为互逆事件。 如果A, B是任意两事件，则有null7. 完备事件组若事件 A1, A2, ……, An为两两互不相容的事件， 并且 ，事件间的运算的性质1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC)则称 A1, A2, ……, An 构成Ω的一个完备事件组。null4、德·摩根(De Morgan)律(对偶律)： null例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以 A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、 B、C的运算关系表示下列事件：null解： （1）n个零件全为正品； （2）至少有一个零件不是正品 (3）有且仅有一个零件不是正品。null例：设某射手对一目标接连进行三次射击，事件 Ai表示 该射手第i次击中目标(i=1,2,3)。试用事件的运算符号 表示下列事件：(1)前两次至少有一次击中； (2)第二次未中； (3)三次中至少有一次击中； (4)三次全中； (5)第三次中但第二次未中； (6)前两次均未中； (7)后两次中至少有一次未中； (8)三次中至少有两次击中。1.2 .1 频率及其性质1.2 .1 频率及其性质§1.2 频率与概率频率的性质 (1) 0 fn(A) 1； (2) fn(Ω)＝1； fn( )=0.定义1.2.1: 事件A在n次重复试验中出现k次, 则称k 为事件A发生的频数, 比值k/n 称为事件A在n次重复 试验中出现的频率, 记为fn(A). 即 fn(A)＝ k/n.null 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时,出现正反面的机会均等。 实验者 n nB fn(B) 德·摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998(3) 可加性：设A1,A2,…,Ar 是r 个两两互不相容的事件，即AiAj＝ (ij), i,j＝1,2,…r, 则有fn(A1A2...Ar)＝fn(A1)＋fn(A2)+….+fn(Ar）.null实践证明: 当试验次数n增大时, fn(A) 稳定地在某一 常数p附近摆动, 且随n越大摆动幅度越小. 则称p为事 件A发生的概率, 记作P(A)=p.这样定义的概率称为概率的统计定义。注意这相当于在极限意义下的定义。1.2.2. 概率的公理化定义及其基本性质定义1.2.2 若是随机试验所对应的样本空间，对中的每一事件A, 规定一个实数P(A). 如果集合函数P(·)满足以下三个条件，则称P(A)为事件A发生的概率： (1) 非负性：P(A)≥0； (2) 性：P()＝1； (3) 可列可加性：设A1,A2,…, 是一列两两互不相容的事件, 即AiAj＝(ij), i,j＝1,2,…, 有 1.2.2. 概率的公理化定义及其基本性质null概率的基本性质 (1)P()=0 ; (3)单调性：若A  B， 则P(A-B)=P(A) -P(B) , 且 P(A)≥P(B) ，从而P(A)≤ 1；(2) 有限可加性：设A1,A2,…An 是n个两两互不相容的事件, 即AiAj＝  (ij), i,j＝1,2,…,n ,则有 P( A1  A2  …  An)＝P(A1)＋P(A2)+…+P(An);null(4)事件差 A、B是两个事件，则null(6) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB) (5) 互补性(7) 可分性：对任意两事件A、B，有 该公式可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形: null例：设A，B为两个事件，且P(A)=0.6, P(B)=0.5, P(AB)=0.7. 解:null例：某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人, (1)他至少订有一种报纸的概率;(2)他只订甲、乙两报的概率；(3)他只订乙报的概率。解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报null§1.3 等可能概型§1.3 等可能概型等可能概型是指在一次试验中，样本空间的每个 样本点被取到的可能性相等的随机试验类型， 这是一种最简单的概率类型。古典概型 几何概型null若某试验E满足 1.有限性：样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}; 2.等可能性： P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn). 则称E为古典概型。 1.3.1 古典概型null定理1.3.1 在古典概型中，设样本空间Ω有n个样本点，A是Ω中事件且A中所含样本点个数为k，则事件A发生的概率为P(A)具有如下性质(1) 0 P(A)1; (2) P()＝1, P( )=0; (3) 若AB＝, 则P( A B )＝ P(A) ＋P(B).此定理的结果也称为概率的古典定义.null例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A表示至少有一个男孩,以B表示某个孩子是男孩, G表示某个孩子是女孩.N={BBB,BBG,BGB,GBB,BGG,GGB,GBG,GGG}N(A)={BBB,BBG,BGB,GBB,BGG,GGB,GBG}null加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法.样本空间点数要以排列或组合计算复习：排列与组合的基本概念1、全部排列和组合分析公式基于下列两条原理：乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法.null（1）有重复排列：从含有n个元素的集合中随机 抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回， 将记录结果排成一列，共有nk种排列方式.2、排列（2）无重复排列（选排列）：从含有n个元素的 集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果 后不放回，将记录结果排成一列，共有Pnk=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)种排列方式.（3）全排列：从含有n个元素的集合中随机抽取n次,每次取一个，记录其结果后不放回，将记录结果排成一列，共有Pn=n!种排列方式.null（1）从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.3、组合（2）把n个元素随机地分成m组(n>m),要求第 i 组恰 有ni个 (i=1,…m)，共有分法：种分法.null例：30名学生中有3名运动员，将这30名学生 平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组.null一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,…m)，共有分法：null习：十个号码：1号，2号，……，10号，装于 一袋中，从其中任取三个，问大小在中间的号码 恰为5号的概率是多少？(只考虑大小关系)解：null更一般提法：一袋中装有n个球，其中n1个带 有号码“1”，n2个带有号码“2”，……，nk个 带有号码“k”,n1+n2+……nk=n。从此袋中任取 m个球，求恰有mi个带有号码“i”(i=1,2,……,k) 的概率，其中m1+m2+……mk=m.null麦克斯威尔—波尔茨曼质点运动问题设有m个质点，每一质点以等可能落于N(N>=m) 个盒子中的每一个盒 子里(设每一个盒子能容纳 的质点数是没有限制的)，求事件A=“某预先指定 的m个盒子各含有一个质点的概率”。解：1.3.2 几何概型1.3.2 几何概型1. 用计算机在[0，1]区间上任打出一个数x， 问x小于1/3的概率是多少？2. 随机地在单位圆内任掷一点M, 问M到原点 的距离小于1/2的概率是多少？null例：某电台每到整点均报时，某人早上醒来后打开 收音机，求他等待的时间不超过10分钟就能听到电 台报时的概率。定义1.3.1 设样本空间Ω是欧氏空间的一个区域,以m(Ω) 表示Ω的度量(一维为长度,二维为面积,三维为体积等). A 是Ω中一个可以度量的子集,定义为事件A发生的概率,称为几何概率.null例：某货运码头仅能容纳一船卸货，而甲、乙两船在 码头卸货时间分别为1小时和2小时。 设甲、乙两船在 24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等 待码头空出的概率。null（蒲丰投针问题）在平面画有等距为a（a > 0)的一些 平行线，向平面上随意的投掷一长为l (l < a)的针。试求 针与一平行线相交的概率P.解 令如上图所示，容易看出：nullnull这一结论在历史上曾被用来估计圆周率π的值， 同时也是现代统计学中最常使用的“随机模拟” 方法的发端。作法如下: 重复投针, 记录投针次数n和针与 平行线相交的次数k, 则π的近似值为§1.4 条件概率 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二个人取得红球的概率是多少？§1.4 条件概率1.4.1 条件概率的定义null若已知第一个人取到的是白球，则 第二个人取到红球的概率是多少？已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率 称为B条件下A的条件概率，记作P(A|B)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？null例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球null显然，若事件A、B是古典概型的样本空间Ω中的两个事件，其中B含有nB个样本点,AB含有nAB个样本点，则称为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。 定义1.4.1: 设A、B是Ω中的两个事件, 且P(B)>0， 则 null条件概率是概率，满足概率的公理化定义的三个条件概率定义 若对随机试验E所对应的样本空间Ω 中的每一事件A，均赋以一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： P(A)≥0； (2) P(Ω)＝1; (3) 设A1,A2,…,是一列两两互不相容的事件,即AiAj＝(ij), i, j＝1, 2, …, 有 P( A1  A2  … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。null容易验证：（3） 设可列个事件A1,A2,A3…两两互不相 容, 则类似可以推出条件概率也满足概率的基本性质。null例：设一批产品中一、二、 三等品各占60%, 30%, 10%. 从中随意抽取一件，发现不是三等品. 求此 产品是一等品的概率。解：设Ai表示“取出的产品为i等品”，i=1,2,3. 则A1， A2，A3两两互不相容。所求概率为null设A、BΩ ， P（A）>0 ，P（B）>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B). (1.4.3) 式(1.4.3)就称为事件A、B的概率乘法公式。 式(1.4.3)还可推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). (1.4.4) 一般地，有下列公式： P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1). (1.4.5)1.4.2 乘法公式null例. 已知P(A)=0.6, P(C)= 0.2, P(AC)=0.1, 解：1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式例.某厂使用甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的产品数量各占24%、30%、46%，且它们的合格率分别为 94％、96％、98％。若任取一件元件，问取到的是合格品的概率是多少？设B：取到一件合格品， A1：取到的产品来自甲厂， A2：取到的产品来自乙厂， A3：取到的产品来自丙厂。null定义 事件组A1,A2,…,An (n可以为)，称为样本空间Ω的一个划分或称为完备事件组，若满足A1A2……………AnBnull定理1.4.1(i)、设A1，…, An是Ω 的一个划分，且P(Ai)>0，(i＝1,…,n)， 则对任何事件B, 有 式(1.4.6)称为全概率公式。null定理1.4.1(ii) 若P(B)>0，则有式(1.4.7)称为贝叶斯(Bayes)公式。null例：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1.某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一只次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1由Bayes公式:null例：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后 放回去. 求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率.解 设事件 Ai、Bi、Ci 分别表示第一、二、三次比赛时取 到i个新球(i=0,1,2,3) . 显然, A0 = A1 = A2= ， A3= ,并且B0, B1, B2, B3 构成一个完备事件组，从而有 §1.5 事件的独立性 1.5.1 独立性 两个事件的独立§1.5 事件的独立性 1.5.1 独立性 两个事件的独立一般地有是否有例：10件产品中有4件正品，连续取两次，每次取一件， 作有放回抽样。设B、A分别表示第一、二次取得正品，则P(A)=0.4，P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.4，故有P(A)=P(A|B).换言之，有P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B).null1）如果事件A 与 B 相互独立，而且定义: 设A、B是两事件，若 P(AB)＝P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立。事件独立性的性质：同理，如果2）必然事件Ω与任意随机事件A相互独立； 不可能事件与任意随机事件A相互独立。null3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则也相互独立.仅证左边:右边：null例：(不独立事件的例子）袋中有 a 只黑球，b 只白球．每次从中取出一球，取后不放回．令： A={ 第一次取出白球 }， B={ 第二次取出白球 }， 则所以，多个事件的独立多个事件的独立定义、若三个事件A、B、C满足： (1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C两两独立；若在此基础上还满足： (2) P(ABC)＝P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立。null定义：设A1，A2，…，An(n>=2)是n个事件，如果 对其中任意两个事件Ai，Aj ，有 P(AiAj)= P(Ai)P(Aj) 则称这n个事件两两独立。定义：设A1，A2，…，An(n>=2)是n个事件，如果两者有何联系和区别？则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。null例. 把一个均匀的正四面体每个面分别标上号1,2,3,4, 再抛掷 两次, 观察与桌面重合的一面的标号. 设A表示“第一次出现 偶数”，B表示“第二次出现奇数”,C表示“两次同奇或同偶”. 问A、B、C是哪种独立关系？即A、B、C三个事件两两独立. 而故即它们不互相独立.N=16，N(A)=N(B)=N(C)=8, N(AB)=N(AC)=N(BC)=4.null例: 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，三人击中目标 的概率分别为0.3、0.5、0.7，求目标上仅中一弹的概率。解：以A1、 A2 、 A3分别表示甲、乙、丙命中目标，B表示目标 仅中一弹， 则显然互不相容，所以又A1、 A2 、 A3 互相独立，所以1.5.2、事件独立性的应用1.5.2、事件独立性的应用1、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立, 则 2、乘法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立, 则null(2) 并联系统3、在可靠性理论上的应用(1) 串联系统null本章由五个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和两个概型（古典概型、几何概型）组成第一章 小结典型题分析例1：在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率， （2）取到的数既不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。解:设A—取到的数能被2整除; B—取到的数能被3整除故典型题分析null例2：任意将10本放在书架上，其中有两套书，一套 3卷，一套4卷，求一列事件的概率：3卷一套的放在一起； 4卷一套的放在一起； 两套各自放在一起； 两套至少有一套在一起； 两套各自在一起，且按 卷次排好。null例3：(配对问题）从n双不同的鞋子中任取2r(2r