工程力学第2章

nullnull第2章 力矩和力偶理论 2.1 力矩 2.2 力偶系 思考 习题 null2.1 力矩 2.1.2力对点之矩 以扳手拧紧螺母为例（如图2-1所示），人施于扳手上的力F使扳手和螺母一起绕转动中心O点转动，即产生转动效应。 由经验可知，转动效应的大小不仅与力F的大小和方向有关，且与转动中心O点到力F作用线的垂直距离d有关。因此，力F对扳手的转动效应可用乘积F·d冠以适当的正负号来度量。这个量称为力对点之矩，简称力矩，以符号MO(F)示，即 （2-1） 式中O点称为矩心，O点到在力Ｆ的作用线的垂直距离d称为力臂，正负号的规定如下：力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩为正，反之为负。由此式可见，平面内力对点之矩，只取决于力矩的大小及其正负号，说明力矩是代数量。 null图 2-1null 在国际单位制中，力F矩的单位是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒米（）。 从几何上看，力对O点的矩在数值上等于ΔABO面积的两倍，即 （2-2） 力矩是相对某一矩心而言的，离开了矩心，力矩就没有意义。而矩心的位置可以是力作用面内任一点，但并不一定是物体内固定的转动中心，换句话说，平面上的一个力可以对平面内任意一点取矩，而力矩一般不相同。 null　　由以上力对点之矩的概念， 可得到以下结论：  　　(1) 力的大小为零或力的作用线通过矩心时， 其力矩为零； 　　(2) 力沿其作用线滑动时， 不会改变力对矩心的力矩； 　　(3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。 null2.1.2 合力矩定理 　　在计算力矩时，力臂一般可通过几何关系确定，但有时几何关系比较复杂，直接计算力臂比较困难。这时，如果将力适当进行分解，计算各分力的力矩可能会比较简单。合力矩定理建立了合力对某点的矩与其分力对同一点矩之间的关系, 对于平面汇交力系可叙述如下：  　　合力矩定理　平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩， 等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。 即 （2-3） null　　例2-1　一齿轮受到啮合力Fn作用，Fn=980N，齿轮的压力角α=20°，节圆直径D=0.16 m，如图2-2(a)所示。试计算Fn对轴心O的力矩。 图 2-2 null解  　（1） 应用力矩的计算公式。 　力臂： 由式（2-1）得力Fn对O点之矩: 负号表示力Fn使齿轮绕O点做顺时针转动。 null　（2） 应用合力矩定理。 　　将力Fn分解为圆周力Ft和径向力Fr，如图2-2（b）所示， 则 根据合力矩定理 因为径向力Fr过矩心O，故MO(Fr)=0，于是 null　　例2-2　手动剪断机的结构及尺寸如图2-3所示。设l1=80cm，l2=8cm，α=15°，被剪物体放在刃口K处，在B处施加F=50 N的作用力。试求在图示位置时力F对A点之矩。 图2-3 null　　解　本题用合力矩定理求解较为方便，将力F分解为垂直于手柄方向的分力F1和沿手柄方向的分力F2，得 根据合力矩定理，力F对A点之矩 负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动。 null2.2 力 偶 系 2.2.1 力偶及其基本性质 　　1. 力偶的概念 　　在日常生活及生产实践中，常见到物体受一对大小相等、 方向相反但不在同一作用线上的平行力作用，而使物体产生转动效应的情况， 如人用手拧水龙头开关（图2-4(a)）、司机用双手转动方向盘（图2-4(b)）、 钳工用丝锥攻螺纹（图2-4(c)）等。 null图2-4 null　　这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d称为力偶臂， 如图2-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移动效应。力偶对物体的转动效应，可用力偶中的力与力偶臂的乘积再冠以适当的正负号来确定，称为力偶矩，记做M(F，F′), 或简写为M，即 （2-4） null　式中的正负号表示力偶的转向，通常规定，逆时针转动取正号，顺时针转动取负号。力偶矩与力矩一样都是代数量，力偶矩的单位与力矩的单位也相同，是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒米（）。 　　力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面，称为力偶的三要素，凡三要素相同的力偶彼此等效。 null图2-5null　　1.   力偶的性质 　根据力偶的定义，力偶具有以下一些性质。 　性质一 力偶在任意轴上投影的代数和为零，如图2-6，故力偶无合力，力偶不能与一个力等效，也不能用一个力平衡。 　　力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任何影响，力与力偶相互不能代替，不能构成平衡。因此，力与力偶是静力学中的两种基本元素。 null图2-6 null　　性质二　力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。  　　证明　如图2-5所示，在力偶(F，F′)的二力作用点A、B连线上任意取一点O为矩心，并设O点到力F的距离为x， 按力矩定义，F与F′对O点的力矩和为 即 null　　性质三　保持力偶的转向和力偶矩的大小不变， 力偶可以在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对刚体的作用效应。  　　力偶的这一性质说明力偶对物体的作用与力偶在作用面内的位置无关。须指出，这一性质只适用于刚体而不适用于变形体。 null　　性质四　只要保持力偶的转向和力偶臂的大小不变， 可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短， 而不会改变力偶对刚体的作用效应。  　　力偶的这一性质说明力偶中力或力偶臂都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的度量。因此，力偶可以用一段带箭头的弧线表示， 其中弧线所在平面表示力偶的作用面，箭头指向表示力偶的转向，再标注力偶矩的大小。图2-7表示力偶矩为M的一个力偶，四种表示等效。 null图2-7 null图2-8 null（2-5） null　　2. 平面力偶系的平衡条件 　　由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶矩等于零； 反之，合力偶矩为零，则平面力偶系平衡。因此,平面力偶系平衡的充分和必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零。 即 （2-6） 这就是平面力偶系的平衡方程，用这个方程可以求解一个未知量。 null　　例2-3　图2-9(a)所示简支梁AB上，受作用线相距为d=20 cm的两反向力F与F′组成的力偶和力偶矩为M的力偶的作用。 若F=F′=100N， M=40 N·m，梁长l=1m，求支座A和B的约束反力。 图 2-9 null　　解　取梁AB为研究对象，因为只受主动力偶作用，而力偶只能用力偶来平衡，故两支座反力必构成一对力偶。现已知FB的方向，则FA与FB平行且反向，如图2-9(b)所示。由平面力偶系的平衡条件， 有 解得 null负号表示合力偶矩为顺时针方向。 null图 2-10 null　　(2) 求两个螺栓所受的力。 　选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有 解得 null思 考 题 2-1 手推磨如图所示，试解释当杆AB与转轴O共线时最不好。 思考题2-1图 null　　2-2 为什么力偶不能与一力平衡? 如何解释如图所示之转轮的平衡现象？ 思考题2-2图 null　　2-3 能否用力在坐标轴上的投影的代数和为零来判断力偶系的平衡？如图所示刚体上，作用二力偶(F, F′)和(F1, F1′)， 它们在x轴和y轴上投影的代数和都等于零， 刚体是否平衡？ 为什么？ 思考题2-3图 null　　2-4 物体受F1、F2两个作用（如图所示），试在物体上找出一点O， 使F1、 F2两力对O点之矩均等于零。 思考题2-4图 null　　2-5 用手握钢丝钳，为什么不用很大的握紧力就能剪断铁丝？为什么用撬棒能够移动沉重的机床？ 　　2-6 汽车司机有时可以用一只手转动转向盘，但钳工在攻螺纹时，一定要用两只手转动丝锥铰杆手柄，而不允许用一只手操作， 为什么？ null习 题 2-1 试分别计算图示各种情况下力F对O点的矩。 题2-1图 null2-2 求图中力F对A点之矩。已知r1=20cm，r2=50cm，F=300 N。 题2-2图 null　　2-3 如图所示，梁AB长l，作用一力偶矩M=Fa的力偶。若不计梁自重， 试求支座A、 B的约束反力。 题2-3图 null　　2-4 沿着刚体上正三角形ABC的三条边分别作用有力F1、F2、 F3，如图所示。已知正三角形的边长为a，F1=F2=F3=F。试证明这三个力可以合成一个力偶，并求出力偶矩的大小。 题2-4图 null　　2-5 车间有一矩形钢板（如图所示），边长a=4 m，b=2 m，为使钢板转一角度，顺着长边加两个力F和F′，设能够转动钢板所需的力F=F′=200 N。试问应如何加力可使所费的力最小，并求出这个最小力的大小。 题2-5图 null　　2-6 如图所示结构中，已知OA=40 cm，O1B=60cm，M1=100 N·m，转向如图所示。 结构处于平衡状态，试求M2。 题2-6图 null　　2-7 图示为多轴钻床在工件上同时钻四个直径相同的孔， 每个孔均受到钻头切削刃的力偶作用，其力偶矩均为M=10 N·m。工件在A、B两处用螺栓固定，A、B二孔距离l=250mm，求两螺栓在工件平面内所受到的力。 题2-7图 null　　2-8 曲柄滑块机构在图示位置处于平衡状态。已知F=100 kN，曲柄AB=r=1m。试求作用于曲柄AB上的力偶矩M的大小。 题2-8图 null　　2-9 如图所示，锻锤在工作时，由于锻头受工件的反作用力有偏心，使锻头发生偏斜。已知打击力F=1000kN，偏心距e=20mm，锻锤高度h=200 mm。试求锻锤对两侧导轨的压力。 题2-9图 null　　2-10 一单级圆柱齿轮减速器如图所示，在减速器的输入轴Ⅰ上作用一力偶，其力偶矩M1=500N·m，输出轴Ⅱ上作用阻力偶， 其力偶矩M2=2000N·m，转向如图所示。已知l=100cm，不计减速器自重， 求螺栓A、 B所受的力。 题2-10图