导数练习题

已知函数 ， ，函数 与函数 的图像在交点（0,0）处有公共切线 （1）求a、b； （2）证明： （3）对任意的 ，当 时，证明： 解：(Ⅰ) ，， 由题意解得，． ……4分 （Ⅱ）令 ． ……5分 为增函数，在为减函数． ……6分 ，，即． ……8分 （Ⅲ）设，则． 当时，，单调递增，又， 故，即． ……10分 设，则． 当时，，单调递增，又， 故，即． 综上，时，． ……12分 已知函数． （1）若为的极值点，求实数的值； （2）若在上为增函数，求实数的取值范围； （3）当时，方程有实根，求实数的最大值。 解：（1）．……1分 因为为的极值点，所以．…………………………………2分 即，解得． ………………………………………3分 又当时，，从而的极值点成立．……………4分 （2）因为在区间上为增函数， 所以在区间上恒成立．…5分 ①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故符合题意．…………………………………………6分 ②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能， 所以上恒成立． …………………7分 令，其对称轴为， ………8分 因为所以，从而上恒成立，只要即可， 因为，解得． ………………………………9分 因为，所以． 综上所述，的取值范围为． ………………………10分 （3）若时，方程可化为，． 问题转化为在上有解， 即求函数的值域． ……………………11分 以下给出两种求函数值域的方法： 方法1：因为，令， 则 ， ……………………12分 所以当，从而上为增函数， 当，从而上为减函数， ………………13分 因此． 而，故， 因此当时，取得最大值0． …………………………14分 方法2：因为，所以． 设，则． 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 因为，故必有，又， 因此必存在实数使得， ，所以上单调递减； 当，所以上单调递增； 当上单调递减； 又因为， 当，则，又． 因此当时，取得最大值0． …………………………………………14分 已知函数 ， ． （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）证明：若 ，则对任意 ， ，有 ． 解：（Ⅰ） 的定义域为 ． …………………2分 （i）若 即 ，则 ， 故 在 单调增加． （ii）若 ，而 ，故 ，则当 时， ； 当 及 时， ．故 在 单调减少， 在 单调增加． （iii）若 ，即 ，同理可得 在 单调减少，在 单调增加． （II）考虑函数 EMBED Equation.DSMT4 ． 则 ． 由于 故 ，即 在 单调增加，从而当 时有 ，即 ，故 ，当 时，有 ． ………………………………12分 _1306136473.unknown _1306136696.unknown _1306136865.unknown _1310240093.unknown _1319549150.unknown _1328432653.unknown _1328432652.unknown _1310312417.unknown _1310312469.unknown _1319549091.unknown _1310312443.unknown _1310312389.unknown _1306136906.unknown _1306136920.unknown _1306137627.unknown _1306136876.unknown _1306136827.unknown _1306136845.unknown _1306136743.unknown _1306136564.unknown _1306136587.unknown _1306136674.unknown _1306136577.unknown _1306136544.unknown _1306136554.unknown _1306136483.unknown _1234567999.unknown _1306136043.unknown _1306136219.unknown _1306136395.unknown _1306136406.unknown _1306136301.unknown _1306136300.unknown _1306136100.unknown _1306136150.unknown _1306136063.unknown _1306131170.unknown _1306135828.unknown _1306131073.unknown _1306131117.unknown _1306130945.unknown _1234567995.unknown _1234567997.unknown _1234567998.unknown _1234567996.unknown _1234567993.unknown _1234567994.unknown _1234567992.unknown