作业11隐函数与参数方程求导
1、填空
23,,,,,,,lnx,y,xy,sinx1 1,设函数y,yx由方程确定,则y0,
,,xft,,,,dy,,,,,,ftf0,03 2,设,其中可导,且,则 ,t,03tdxy,f,,e,1,
xabbbxdy,,,,,,, 3,设,则 ,,y,a,0,b,0,,,,,,dxaxa,,,,,,
xxa,,bbbb,,,,b,ab,a,1,, ,,,,xlnbax,,,,b,,aaaa,,,,,,
,,yx 2、求下列方程所确定的隐函数的导数
xyxye,, 1,
xyye,1xy,,, 解:方程两边关于求导得:。 x1,,,,,yeyxyy,,xy1,xeyxxytancos,, 2, ,,
2,,yxyxyxytansec1sin,,,,,, 解:方程两边关于x求导得:。 ,,,,
2,,,sinsecxyyx,,, y,sintanxyx,,,,
xyaa,,,03、证明:曲线上任意一点处的切线在坐标轴上,,
的截距和为常数a。
y11xy,,, 证明:方程两边关于x求导得:,设,,,,,yy0,,0022xyx
y0为曲线上任意一点,此点处切线方程为,其对应截yyxx,,,,,,00x0
距式方程为
yx ,,1
ayax00
所以ayaxaxya,,,, ,,0000
dy4、求下列函数的导数 dx
x2yxex,,sin1 1, ,,
22xxexcos1,,,xx22, 解:方法一、 yexxex,,,,,sin1sin1,,,,2sin1x,,,
x2yxex,,sin1 方法二、两边取对数得 ,,
12lnlnlnsin1yxxx,,,, ,,2
2xxcos1,,,11, 两边关于求导得: xy,,,12yxsin1x,,,
2,,xxcos1,,,1x2,,, yxex,,,,sin11,,2,,xsin1x,,,,,yx,,,,cosx,siny 2,
yx,,,,cosx,siny 解:两边取对数得:
ylncosx,xlnsiny
,,ylncosx,ytanx,lnsiny,xcoty,y 两边关于求导得: x
ytanx,lnsiny,y, lncosx,xcoty
dy5、求下列参数方程所确定函数的导数 dx
,,,,xttln1,,, 1, ,32ytt,,,,
,322tt,,,dytt32, 解: ,,,,,321tt,,,,,1dxtt,,ln11,,,,,1,t
,,,,x1sin,,, 2, ,,y,cos,,
,,,,,,dycoscos,sin,, 解: ,,,dx1,sin,,,cos,,,,,1,sin,,
,,,,,,r,asin3,a,06、求三叶玫瑰线上对应于点处的切线方程,直,4
角坐标形式,。
,,,,,xrcosasin3cos,,,,,dy3acos3sin,asin3cos, 解:, ,dx3acos3,cos,,asin3,sin,,,yrsin,asin3,sin,,
31,,,aady122,x,,y, 当时,, ,,,,,,31422dx24,,22
a1a,, 切线方程为:。 y,,x,,,222,,
xatt,,sin,,,,7、在摆线的一拱上求一点,使该点处切线,,02,,t,,,yat,,1cos,,,,
yx,,1不直线平行,并写出切线方程。
,at1cos,,,,,dytsin解:因为,由 ,,dxcocst1,,att,sin,,,,
sin2t,,, ,,,,,,,,,,1sincos1sinttt,,1cos42,t,,3,3,t,t,所以t,2,,或,舍去函数在此点不可导,,当时,22
3,,,xaya,,,1, ,,2,,
,,3,,,对应切线方程为:。 yaxa,,,,,1,,,,2,,,,