小问题大用处：高中数学小问题集中营之必修二：问题2疑难点与球体有关的组合体问题Word版含解析[高考必备]

小问题大用处：高中数学小问题集中营之必修二：问题2疑难点与球体有关的组合体问题Word版含解析[高考必备] 一、问题的提出 有球体有关的组合体问题是每年必考的内容，几何体的内切球，外接球问题都是高考中的热点，也是难点，在学习中必须对重、难点进行突破. 二、问题的探源 1(正方体的内切球 a球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r,，过在一个12平面上的四个切点作截面如图(1)( 2(球与正方体的各条棱相切 a2球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r,，如图22(2)( 3(长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对 1222,，，，如图(3)( 角面有球的半径为r abc32 4(正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R,3a. 5(正四面体的外接球 6正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R,a. 2 三、问题的佐证 【典型例题】 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的面积为________( 【】14π 222【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R,1，2，3,14，所以球的 2表面积S,4πR,14π. 考向1 球的内接正方体问题 【例1】若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积( 【解析】正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，即2R,3×2，所以R,3 43所以V,?π?(3),43π. 球3 考向2 球内切于正方体问题 【例2】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) 4π2πA. B. 33 3ππC. D. 26 【答案】A 考向3 球的内接正四面体问题 【例3】若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积( 【解析】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a,2x，由题意2R,3x,3 2a6×a， ,22 632,4,?SπRaπ,aπ. 球42 考向4(球的内接圆锥问题 【例4】球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________( r【解析】如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为2 rrr3322,,r,,，高为. ,2,22 1r334,,3r233该圆锥的体积为×π××r，球体积为πr，?该圆锥的体积和此球体积的,,,π3283,,2 33πr89比值为,. 4323πr3 9答案: 32 考向5(球的内接直棱柱问题 【例5】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) 722A(πa B.πa 3 1122C.πa D(5πa 3 解析:选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三 2331棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP,×a,a，OP,a，所以球的半径R,OA满足3232 177,,322,,2222R,,,，a,a，故S,4πR,πa. 球a,2,123,,3 四、问题的解决 与球体有关的切、接问题要注意，一般要过球心并计算半径即可得出球体的表面积和体积。 1(已知直三棱柱ABC ?ABC的6个顶点都在球O的球面上，若AB,3，AC,4，AB?AC，AA1111,12，则球O的半径为( ) 317A. B(210 2 13C. D(310 2 【答案】C 2.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边 形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________( 【答案】43π 【解析】解析:依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线;?2R,23(R为球的半径)，?R,3， 43?球的体积V,πR,43π. 3 S13(若一个正四面体的表面积为S，其内切球的表面积为S，则,________. 12S2 63【答案】 π 4(四棱锥?的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，，分别是棱PABCDEFAB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( ) A(9π B(3π C(22π D(12π 【答案】D 【解析】选D该几何体的直观图如图所示， 该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD对角线AC的长为22，可得a,2，在?PAC中PC, 22222，,22,,23，球的半径R, 3，?S,4πR,4π×(3),12π. 表 5(点P是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，,,,,,,,, 则?的取值范围是( ) PMPN A( B( C( D( 【答案】C 【结论】 解决与球有关的切、接问题的方法 (1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系( (2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题 【技能方法】 (1)正方体的棱长为，球的半径为， aR ?正方体的外接球，则2,3; Ra ?正方体的内切球，则2R,a; ?球与正方体的各棱相切，则2R,2a. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R,222a，b，c. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3?1.