北京交通大学微积分第八章习题8.4答案

北京交通大学微积分第八章习题8.4答案 8.4 多元复合函数的求导法则 习题8.4 ,,zz22zuv,，,1. 设，而求。 uxyvxy,，,,,,,,xy ,,,,,,,,,,zzuzvzzuzv,，,，,,，,,,224,224.uvxuvy解: ,,,,,,,,,,xuxvxyuyvy 22,,,uuu222ufxyz,，，,,,.求 2. 设，，2,,,,xxxy 解: 2,,uu'222'2222"222,，，,，，，，，2;24;xfxyzfxyzxfxyz，，，，，，2,,xx 2,u''222,，，4.xyfxyz，，,,xy 2,,,,zzx,.3. 设求 zfx,,,,,,,,yxyy,, 解: ,,,,,,,,zxxzxx1''',，,,fxfxfx,,;,;122,,,,,,2,,xyyyyyy,,,,,, 2,,,,,,,zxxxxx1"''',,,,fxfxfx,,,.12222,,,,,,223,,xyyyyyyy,,,,,, 222ufxyzxyz,，，，，,4. 设，求 ，， 222,,,uuu,,，，u。 222,,,xyz 解: ,u'222'222,，，，，，，，，，fxyzxyzxfxyzxyz,2,;，，，，12,x 2,u''222''222,，，，，，，，，，fxyzxyzxfxyzxyz,2,，，，，11122 ,x '222''222，，，，，，，，，，2,2,fxyzxyzxfxyzxyz，，，，221 2''222，，，，，4,;xfxyzxyz，，22 由对称性， 2,u''222''222,，，，，，，，，，fxyzxyzyfxyzxyz,2,，，，，11122,y '222''222 ，，，，，，，，，，2,2,fxyzxyzyfxyzxyz，，，，221 2''222，，，，，4,;yfxyzxyz，，22 2,u''222''222,，，，，，，，，，fxyzxyzzfxyzxyz,2,，，，，11122,z '222''222 ，，，，，，，，，，2,2,fxyzxyzzfxyzxyz，，，，221 2''222，，，，，4,;zfxyzxyz，，22 所以， 222,,,uuu,,，，u222,,,xyz ''222''222,，，，，，，，，，，，3,2,fxyzxyzxyzfxyzxyz，，，，，，1112 '222''222，，，，，，，，，，，，6,2,fxyzxyzxyzfxyzxyz，，，，，，221 222''222，，，，，，，4,;xyzfxyzxyz，，，，22 22,,uuss,.ufxyxetyet,,,,,cos,sin,5. 设求 ，，22,,st 解: ,u''ss,，fetfetcossin;12,s 2,u"22"2'sss,，，fetfettfetcossincoscos111212,s "2"22'sss，，，fettfetfetsincossinsin;21222 ,u''ss,,，fetfetsincos;12,t 2,u"22"2'sss,,,fetfettfetsinsincoscos111212,t "2s"22'ss,，fettfsincosetfetcossin;,21222 2,,zz,.zfxyxy,,，,,,,,,,,,,6. 设求 ，，,,,xxy 2,,zz''"""",，,,，,ffffff;.解: 1211122122,,,xxy xy，2dutt,uxeye,,,,,,7. 设求 .2xy,dt duudxudyxyxyxyxy,,,,,,，，22442210tt,解: ,，,,,ee.2222tt,dtxdtydtee,,,,4422xyxy,,，，，，8. 若可微函数zfxy,,满足方程证明:fxy,在极坐标系里只是的xzyz，,0,,，，，，xy 函数。 xzyz，,zxycossin0,,证明: ，。所以zfxyfrr,,,cos,sin,,,，,,zz，，，，xy,rrfxy,在极坐标系里只是的函数。 ,，， zzyx,,9. 若可微函数zfxy,,满足方程证明:fxy,在极坐标系里只是的函数。 r，，，，xy ,z证明: zfxyfrr,,,cos,sin,,，。sincos0,,,,，,,，,zrzryzxz，，，，xyxy,, fxy,所以在极坐标系里只是的函数。 r，， y,,n(zxff,10. 证明:函数是可微函数)满足方程 ,,2x,, ,,zzxynz，,2. ,,xy ,,zyyyzy21,,,,,,,,nnn,1'',，,,nxfxfxf;;证明: ,,,,,,,,22322,,xxxxyxx,,,,,,,, ,,zzyyy,,,,,,nnn,,2'2'222.xynxfyxfyxfnz，,,，,所以 ,,,,,,222,,xyxxx,,,,,, Fxy,11. 设二元可微函数在直角坐标系中可写为 ，， Fxyfxgy,,,， ，，，，，， FxySr,,,Fxy,.在极坐标系中可写为试求出二元函数 ，，，，，， FxySr,,,解:由得 ，，，， ,Frrcos,sin,,，，'''',,，,,，,fxrgyryfxxgysincos0，即,,，，，，，，，，，，，，,, ''''fxgyfxgy，，，，，，，，，这必然导致，所以,,,Cxyxy CC'2'2由此，fxCxfxxCgyCygyyC,,，,,，,;,;，，，，，，，，1222 22Fxykxyk,.,，， ，，，，12 2,F,0另一解法:由Fxyfxgy,,，可得。再由FxySr,,,得，，，，，，，，，，,,xy xy,2,,FxFxy1'"'"'r,,，,SrSrSr,0，即，解此微分方程SrSr,,0，，，，，，，，，，22,,,xrxyrrr 222FxySrCrCCxyC,.,,，,，，得 ，，，，，，1212 Fxy,在直角坐标系中可写为 12. 设二元可微函数，， Fxyfxgy,,, ，，，，，， Fxy,,,,,Fxy,.在极坐标系中可写为试求出二元函数 ，，，，，， Fxy,,,,,解:由得 ，，，， ,Frrcos,sin,,，，'',，fxgyfxgycossin,,，，，，，，，，，，，，,r， ''fxgyxfxgyy，，，，，，，，，,,0r ''''xfxygyxfxygy，，，，，，，，即，这必然导致，所以,,,C,,fxgyfxgy，，，，，，，， k2''fxgy,,，，，，xCCCC,由此，,. ,,,,,,;,;Fxyk,fxCxgyCy，，，，，，1,,12yfxxgyy，，，，,, fxyz,,13. 若可微函数对任意正实数满足关系式 t，， nftxtytztfxyz,,,,,, ，，，， fxyz,,则称为次齐次函数。证明:次齐次函数满足方程 nn，， xfyfzfnfxyz，，,,,. ，，xyz nftxtytztfxyz,,,,,,证明:两边对求导得 t，，，， n,1xftxtytzyftxtytzzftxtytzntfxyz,,,,,,,,,，，,t,1令即得结论。 ，，，，，，，，xyz 14. 设函数fxyz,,在包含原点的区域上有连续的偏导数，且满足方程: ，， xfyfzf，，,0,xyz 证明:ufxyz,,,是零次齐次函数。 ，， 证明:对任意xyz,,，令Ftftxtytz,,,，则，，，，，， 'Ftxftxtytzyftxtytzzftxtytz,，，,,,,,,，，，，，，，，xyz txftxtytztyftxtytztzftxtytz,,,,,,，，，，，，，，xyz,,0.t 所以Ft为常值函数，FtF,1,即ftxtytzfxyz,,,,.,所以ufxyz,,,是零，，，，，，，，，，，， 次齐次函数。 15. 求下列复合函数的全微分: zfttxy,,，,;(1) ，， '''dzftdtftdxyftdxdy,,，,，.解: ，，，，，，，，，， 22(2) zfttxy,,，,;，， 'ftxdxydy，，，，，''22dzftdtftdxy,,，,.解: ，，，，22xy， uxctxct,,，，,,16. 证明:函数满足弦振动方程 ，，，， 22,,uu2c,. 22,,xt 2uu,,'''''',,,,xctxctxctxct,,,,，，,,，，证明: ，，，，，，，，2xx,, 222uu,,,,uu''2''2''2cxctcxctcxctcxct,,,,,,c,.,,,，，,,，，所以 ，，，，，，，，222,,xttt,, fuv,17. 若的二阶偏导数连续，且满足拉普拉斯方程 ，， 22,,ff,,，,f0. 22,,uv 22zfxyxy,,,2证明:函数也满足拉普拉斯方程 ，， 22,,zz,,，,z0. 22,,xy 证明: 2222,,,,,,,,zffzffff22,，,，，，22,2484,xyxxyy222,,,,,,,,,xuvxuuuvv 2222,,,,,,,,zffzffff22,,，,,，,，22,2484,yxyxyx222,,,,,,,,,yuvyuuuvv 2222,,,,,,zzff22所以 ,,，,，，,zxy40.，，,,2222,,,,xyuv,, x,,zz2zuv,lnuvxy,,,,32,,.18. 设，而求 ,,xyy 解: 22,,,,,zzuzvuxx123,，,,，,,，2ln3ln32.uvxy，，22,,,,,,xuxvxyvyyxy32，， 222,,,,,,,zzuzvxuxx22,，,,,,,,,,2ln2ln32.uvxy，，,,232,,,,,,yuyvyyvyyxy32，，,, dzxy,2319. 设而求 .ze,,xtyt,,sin,,dt 3dzzdxzdy,,xyxytt,,,222sin22cos23cos6.,，,,,,etetett解: ，，dtxdtydt,, dz3zxy,,arcsin,20. 设而求 .xtyt,,3,4,，，dt 2dzzdxzdyt,,,113122解:,，,,,312.t 222dtxdtydt,,311,,,,xyxy，，，，134,,tt，， dzxzxy,arctan21(设，而，求 .ye,，，dx xx1，xe，，dzyxe解: ,，,.222222xdxxyxyxe111，，， axeyz,，，duyaxzx,,sin,cos,,u,22.设而求 .21a，dx axaxaxaeyz,，，cossinduaexexax,，，,exsin.解: 222dxaaa，，，111 xz,arctan,xuvyuv,，,,,,23.设而验证 y ,,,zzuv ，,.22,,，uvuv 证明: 1x,2,,,,,,zzxzyyxyy,，,，,,2222xx,,,,,，uxuyuxy11，，22yy 1x,2,,,,,，zzxzyyxyy,，,,,,2222xx,,,,,，vxvyvxy11，，22yy 2uv,，，,,,zzyuv2所以 ，,,,.222222,,，，uvxyuvuvuv，，,，，，， f24.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数): 22xyufxye,,,.(1) ，， ,,uu''''xyxy2;2;,，,,，xfyefyfxef解: 1212,,xy ,,xy(2) uf,,.,,yz,, ,,,uuxuy11'''',,,，,,ffff;;;解: 112222,,,xyyyzzz ufxxyxyz,,,.(3) ，， ,,,uuu'''''',，，,，,fyfyzfxfxzfxyf;;;解: 123233,,,xyz yzxyxFu,，,25.设而为可导函数。证明 uFu,,，，，，x,,zzxyzxy，,，. ,,xy 证明: ,,,,zzy1,,,,''xyxyFuxFuyxxFu，,，，,，，，，，，，，,,,,,,2,,xyxx ,,,,,, ,，,，2.xyxFuzxy，， y26.设其中为可导函数。验证 fuz,,，，22fxy,，， 11,,zzz，,. 2xxyyy,, 证明: '22222'22,,,，,22xyfxyfxyyfxy，，，，，，1111,,zz，,，222222xxyyxy,,fxyfxy,,，，，， 11z,,.222yyfxy,，， 222,,,zzz22zfxy,，,,,.f27.设其中具有二阶导数。求 ，，22,,,,xxyy 解: 2,,,zzz'22'22'222''22,，,，,，，，2;2;24;xfxyyfxyfxyxfxy，，，，，，，，2,,,xyx 22,,zz''22'222''22,，,，，，4;24;xyfxyfxyyfxy，，，，，，2,,,xyy 222,,,zzz,,f28.求下列函数的(其中具有二阶连续偏导数): 22,,,,xxyy zfxyy,,(1) ，， 解: 22,,,,zzzz'''2'''''",,，,,，，yfxffyffxyfyf;;;;11211111122,,,,,xyxxy 2,z2''"",，，xfxff2.1112222,y ,,x(2) zfx,,,,y,, 解: 2,,,zzxz121'''''"",，,,,，，ffffff;;;122111222222,,,xyyyxyy 222,,zxxzxx12''''''",,,,,，fffff;.12222222223234,,,xyyyyyyy 22zfxyxy,,(3) ，， 解: 2,,,zzz2'''2'4''3"'22",，,，,，，，yfxyfxyfxfyfxyfyfxyf2;2;424;121211122222,,,xyx 22,,zz'3"22"'3"'22"3"4",，，，，,，，，22522;244.yfxyfxyfxfxyfxfxyfxyfxf1111222211112222,,,xyy xy，zfxye,sin,cos,(4) ，，解: ,,zz''''xyxy，，cos;sin;,，,,，xfefyfef1323,,xy 2,z'2''"'22"xyxyxy，，，,,，，,，，sincos2cos.xfxfxefefef111133332,x 2,z''"'"22"xyxyxyxy，，，，,,，,，,，cossincossin;xyfxefefeyfef121333233,,xy 2,z'2"xyxyxy，，，"'22"sin.yefefef,，，cossin2,,，,yfyf222233332,y ufxy,,29.设的所有二阶偏导数连续，而 ，， stst,，33xy,,,. 22 证明 2222,,,,,,uuuu,,,,,, ，,，,,,,,,,,,,,,xyst,,,,,,,, 及 2222,,,,uuuu，,，. 2222,,,,xyst 证明: ,,,,,,,uuxuyuu13,，,，;2222,,,,,,,sxsysxy22,,,,,,uuuu,,,,,,所以。 ，,，,,,,,,,,,,,,xyst,,,,,,,,,,,,,uuxuyuu31,,,，,,，;,,,,,,,txtytxy22 22222222,,,,,,,,,,,,uuuuuuuu113313133,，，，,，，;,,,,22222,,,,,,,,,,,,,,,sxxyyxyxxyy222222424,,,,22222222,,,,,,,,,,,,uuuuuuuu331131331,,,，，,，,,，;,,,,22222,,,,,,,,,,,,,,,txxyyxyxxyy222222424,,,, 2222,,,,uuuu，,，.所以 2222,,,,xyst duy30.设而xtyt,,,,,都是可微函数。求 ux,,.，，，，dt 解: duudxudy,,yy,1'',,ln,，,，yxtxxt，，，，dtxdtydt,, ,,tt,1，，，，''ln.,，tttttt，，，，，，，，，，，，,,,,,, ,,,,,,,,xyxzx,,.31.作自变量变换求方程 ,,,uuu，，,0 ,,,xyz 的解。 uuuuuuuuu,,,,,,,,,0，，,,,，，,,解:，所以 ,,,,,,xyz,,,,,,,,, uyxzx,,,,,,,,,,，其中为任意具有连续偏导数的函数。 ,，，，， 32. 作自变量变换，求方程 uxvxy,,,,,zzxy,,0 ,,xy 的解。 ,,,,,,zzzzzz,,xyxyyxx,,，,,,0uvxy,,,,解:，所以，其中为,，，，，,,,,,,,,xyuvvu,,任意具有连续导数的函数。 33. 作线性变换 ,,,，,，axbycxdy,,， 将方程 222,,,uuu340,，, 22,,,,xxyy 2,u,0化为，从而求方程的解。 ,,,, 解: 2222,,,,,,,,,,uuuuuuuuuu22acbdaacc;;2;,，,，,，，222,,,,,,,,,,,xyx,,,,,,,,， 22222222,,,,,,,,uuuuuuuu22abadbccdbbdd;2;,，，，,，，，，22222,,,,,,,,,,,xyy,,,,,,,, 所以 2222,,,,uuuu223434,，,,，aabb，，222,,,,,xxyy, 22,,uu226244340acbdadbcccdd，，,,，,，,，，，，2,,,,,, 2,u,0,,,，,，xyxy,3,选取可将上式化为，积分两次得,,,,uxyxy,，,，，，,,,,,,3.其中为任意连续可导函数。 ,,,，，，，，，，， 222ufxyz,，，34.在函数类中求解拉普拉斯方程 ，， 222,,,uuu，，,0. 222,,,xyz 2xr,22,,uxux222'"'rrxyz,，，,,，frfrfr;;ufr,解:记，则。由，，，，，，，，222,,xrxrr 22yzrr,,2222,,uyuz"'"'rr,，,，frfrfrfr;.对称性，，所以，，，，，，，，222222,,yrrzrr 222,,,uuu2C"'2，，,，,frfr0.易解得 frC,，.，，，，，，1222,,,xyzrr ,,,，,,xtxt,35.试作自变量变换，求解弦振动方程uu,. 22xt uuuuuuuuuuuuuu,，,，，,,,,，;2;;2;uu,.解:所以化2222xt,,,,,,,,,,,,,,,,xtxt uxtxt,，,，，,,,,,,,.为u,0,,,，积分两次得其中为任意连续可微，，，，，，，，,, 函数。 st36.用变换来变换方程 xeye,,, 22axubxyucyu，，,20. 22xyxy 解: 111111sxty,,ln,ln.uuuuu,,,，;;uuuuu,,,，;;2222yttxss2222ytxsyyyxxx 122uu,;axubxyucyu，，,20所以化为。 aubucuaucu，，,,,202222xystxyststxystxy 222ufxyzt,，，,37.在函数类中求解方程 ，， 2222,,,,uuuu，，,. 2222,,,,xyzt 2xr,222,,,,,ufxufxf222rrxyz,，，,,,，;;解:记则ufrt,,，由对称，，2222,,,,,xrrxrrrr 22yzrr,,2222222222,,,,,,ufyfufzf,,,,uuuurr,，,，;;，，,.性，所以222222222222,,,,,,yrrrrzrrrr,,,,xyzt 222222,rf,,rfrf，，，，，，,,ff,,,fff2r，,2,,,，,化为，即亦即由35题结论，222222,,rt,,,rrt,,,rrrt rtrt,,，，,，，，，ufrt,,rfrtrt,，，,,,,即,,其中为任意连续可微,,,，，，，，，r函数。 zfuvw,,,38.设具有连续偏导数，而 ，， uvw,,,,,,,,,,,,,,, ,,,zzz,,.求 ,,,,,, zffzffzff,,,,,,,,,;;.,,，,,,,，解: ,,,vwuwuv,,,,,,,,, 2,zy.fzfuxyuxe,,,,,,39.设其中具有连续的二阶偏导数。求 ，，,,xy 22222,,,,,,,,,zffzfffffyyyyy2;.,，,，，，，exeeexe解: 2,,,,,,,,,,,,,xuxxyuuyuxuxy