【doc】 曲面的微分向量与面积微元——基于向量代数的启发性推导
曲面的微分向量与面积微元——基于向量
代数的启发性推导
第23卷第6期北京工商大学(自然科学版)Vo1.23No.6
2005年11月JournalofBeijingTechnologyandBusinessuniversity(NaturalScienceEditio
n)Nov.2005
文章编号:1671—1513(2005)06—0055—04
曲面的微分向量与面积微元
——
基于向量代数的启发性推导
李晓萍
(北京工商大学基础部,北京100037)
摘要:本文引入微分向量的概念.进而用向量代数的
简化了古典微积分中关于面积元素及
体积元素计算公式的推导.并且给出曲面的面积元素的混合积形式等.
关键词:微分向量;面积元素;体积元素.
中图分类号:O172文献标识码:A
1问
的提出
设曲面.s的面积存在.由曲面面积的定义,曲
面的面积元素d等于其所对应的切平面的面积元
素dT.即dS—dTE1].如何简捷导出dT的计算公
式?dT的计算是否与曲面’的分割方式有关?dT
的几何意义是什么?
2曲面的微分向量
定义1设曲面的方程为2一f(,Y),且
f(x,)在D上可微.则称向量
D一{dx,dy,dz)={dx,dy,dz+d)
为曲面在点M(x,Y,f(x,))处的微分向量.
(a)特别,当dy=0或dx=0时,二微分向量
D一{dx,0,dz)一{dx,0,fxdx);
D一{0,dy,dz)一{0,dy,dy).
称为曲面在点处的偏微分向量.显然
D=D+D.
(b)二向量一Dx一(1,0
,)及Ty+z一
{0,1,)分别称为曲面在点处沿变量oZ”与Y
增大方向的切向量.
(c)曲面在任意点M处沿变量与Y增大
方向的两个切向量+与+的向量积,
liJkl
n=T+×T+一I10I一{一,一,1)
101I
为曲面在点处向上的法向量n.
(d)设,B,c分别为法向量n—T+×T+在
三条坐标轴上的投影.则A,B,C分别为该向量积
的行列式表达式中的三个二阶代数余子式.
A—
l,B=--l一川.
定义2设曲面的方程为z—f(x,),且
f(x,)在D上可微.在D内确定某一个方向
z一{COSOt,cosf1).令—0+tcosa;Y—Y0+tcosf1.
则称微分向量
Dl{dx,dy,dz)一
{cosadt,cosfldt,(cos口+f~cosf1)dt)一
{cosa,sina,f’zcos口+flysina}dt.
为曲面在点M(x,Y,f(x,))处沿方向z的微分
向量.
(a)向量T一Dl一{c.s口
,c.s,f’zc.sa+
f’ycos~)称为曲面在点处沿方向z的切向量.
(b)曲面在点处沿两个不同的方向z一
{COSOt1,cosfl1)与z2一{cos口2,cosfl2)的切向量的向量
积
收稿日期:2005—09—10
作者简介:李晓萍(1952一),女,北京人,讲师,主要从事计算方法及计算机应用方面的研究
北京工商大学(自然科学版)2005年11月
n=Tf.
XTlz
=×一
liJ七I
Icos口1cosfl1Acos~1+cosJ91I
lCOSG2cosfl2cos口2+cosp2l
为曲面在点M处的法向量n.
(c)同样令A,B,C分别为法向量n—T,×T,
的三个投影.则
一
lCOSC咖OS~tACOSG2一一11.,lcos2l
B一一
ICOS.CO.SfllCOSG21,lcOs2l
c—
COSG2
lc
co
?
s~zII
定义3设曲面S的参数式为X=z(,),—
y(u,),Z~Z(U,)且函数x(u,),y(u,),z(u,)
在D螂上可微.则称向量
D一{dz,d,dz)一
{z:d+z:d,d+dv,z:d+z:d)
为曲面S在点M(x,Y,z)处的微分向量.
(a)二微分向量D.一{z:,du,z~du}与一
{x’dv,dv,z”dv}称为曲面S在点M处的偏微分向
量.
(b)曲面S在点M处的两个切向量的向量积
li七I
—×一五DuDv一z一
IzzI
l芰z4:l1t.一l量耄l+l雯雯l七
为曲面在点M处的法向量n.
(c)令A,B,C分别为法向量n一×T的三
个投影.则
A—
l雯茎l;B=一l雯l;c—l量雯1.
3曲面的面积元素
1)设曲面的方程为z-=f(x,),且f(x,)
在上具有连续的偏导数.
用三种不同的方法分割曲面分别考察曲面
的面积元素.
(a)用分别平行于XOZ面及yoz面的两组平面
与曲面.s的交线分割曲面.s.每个小曲面片AS所
对应的切平面增量?T绝大多数为平行四边形.因
此dT为曲面的两个偏微分向量的向量积的模.
8iJ七8
dS=dT=l×Dyl—IIdx0zlI一
00dydy0
l—f~dxdyi—f’ydxdyj-{-dxdykl一
?1+().+().dzdy=,x/—Az.-{-B—z.-{-Czdzd[21.
(b)用垂直于xoy面并且分别平行于xoy面内
二向量zl一{cosS~,sin01)由xoy坐标面到鲫坐标面的坐标变换.
即
lld.
(c)用位于曲面上的任意分段光滑的曲线网
分割曲面.过该曲线网作母线平行于z轴的柱
面,从而得到每个小曲面片?所对应的切平面增
量AT以及它们在xoy面上的投影?,均为不规
则图形.
分别以每个小曲面片?上任意点(圣,多,乏)
为新原点6,以该点处向上的单位法向量n.一
{COSG,cosfl,cos7)(cos7>0)方向为新竖轴轴,以
该点处的切平面为新坐标勖面.新坐标系6一
仍按右手系并且满足正交性.空间坐标变换公式
一
(x--h)cosa1+(y--))cosfl1+(z--~)cosY1
7/=(x--&)cosa2+(y--))cosfl2+(z--~)cos72.
一
(x--&)cosa+(y--))cosfl+(z--~)cosY
其中变换矩阵
fcos口1cosfl1cost11
G—ICOS~2cosfl2cost2J
【CO$~tcosflcos7J
第23卷第6期李晓萍:曲面的微分向量与面积微元——基于向量代数的启发性推导57
lcosfl1cosy1I
?一ICOSCOSy一2I’I,,I
1cos口1cost1l
c0s一lCOS6f2COSy2l’l,l
COSY=c1
COS
1.1.()
lcos口22I
而第三个行向量恰好是曲面S在任意点(圣,,乏)
—===
1
=====(A,雪,e)(e>0).
?A+雪+e
A一-f’A./:,),雪一一(圣,),e一1.(2)
由平面的坐标变换dT—l煮叁ldd.其中
I曼望2I一0cosa+f’cosrcosaz+f.cos7z0一I
a(,)10cosfl1+f:cosr1cosfl2+]”,cost20
Il_IAcosa.s+Cc.s
l?垦垦?l
,
Il_厕一.
七yll_
d—d丁一
三卢兰ydd一
上式称为曲面的面积元素的混合积形式.充分说明
无论如何分割曲面,曲面的面积元素dS都等于
曲面的两个偏微分向量的向量积的模.即以二偏
微分向量为邻边的平行四边形的面积.这就是dT
的几何意义.
2)设曲面的隐函数方程为F(x,Y,z)一0.F
(,Y,z)具有连续偏导数且?0.则结论相同.其
中A一一~gz一FL
,
B一一考一爱,c_1.
3)设曲面的参数方程为.27一(,),Y—Y
(,),Z:Z(U,).其中函数x(u,),y(u,),z(u,
)具有连续的偏导数,且A,B,C不同时为零.则
曲面的面积元素的混合积形式为
0:z:0
dS-----dT=9Y:z:lIdudv=
0cos口cosflcost0
/=dd.
4平面面积元素的坐标变换
…
性一
篓i童dd一
l:一:ldd一l号篆等ldd.
5空间体积元素的坐标变换
作X=X(U,,);—(,,);z—z(,
,).在oxyz空间的体积元素dV为三个偏微分
向量
Du一(:d,du,zLdu);
D=(x”dv,dv,d);
D一(,d,z}
的混合积的绝对值.即dV等于以三个偏微分向量
,,为棱的平行六面体的体积.
58北京工商大学(自然科学版)2OO5年11月
dV=IEDDD]I—
Y
Y
.
.y
x”du
x’dv
.y:d
y’~dv
:d
x’
~dwy’~dwz”dw
ddd一
11dudvd硼.
综上所述,在微观上曲面微元d.s与平面微元
d盯惊人地相似,都具有平行四边形的面积的形式.
空间体积的微元d则仍保持平行六面体的体积的
形式.无论如何作变换它们的几何形式都不改变.
平行边界的几何形式已经渗透了整个微观世界.
参考文献
[1]同济大学数学教研室.高等数学(第5版)[M].北京:
高等教育出版社,2002.
E2]江泽坚.数学
[M].北京:人民教育出版社,1964.
[3]菲尔金哥尔茨.微积分学教程[M].北京:人民教育出
版社,1957.
DIFFERENTIALVECToRANDAREAELEMENT
oFASURFACE
HEURISTICDEDUCTIoNBASEDoNVECToRALGEBRA
LIXiao—ping
(DepartmentofBasicStudies,BeijingTechnologyandBusinessUniversity,
Be(ring100037,China)
Abstract:Thispapermainlymakesthedeductionofcalculatingexpressionsof
areaandvolumein
classicalcalculussimple.Ontheotherhanditintroducesthemixedproductofa
reaelementfor
curvedsurfaceandSOon.
Keywords:differentialvector;areaelement;volumeelement
(责任编辑:王宽)
(上接第13页)
STRUCTURESANDAPPLICATIoNSoFPoLYNUCLEAR
LANTHANIDEoRGANoMETALLICCoMPLEXWITH
CYCLoPENTADIENYLLIGAND
FENGChun—hua,GA0Li—hua
(CollegeofChemicalandEnvironmentalEngineering,BeijingTechnologyandBusiness
University,Be(ring100037,China)
Abstract:Thisreviewistodiscussthestructuralcharacteristicofdi—andpoly
nuclearlanthanide
organometalliccomplexwiththecyclopentadienylligandaccordingtothenumberofrareearth
atom,andapplicationsintheareaofcatalysis.
Keywords:cyclopentadienyl;lanthanideorganometalliccomplex;crystalstructure;catalysis
(责任编辑:叶红波)