第六章 习题答案
1.考虑如下最优化问题
用
法解此题。并检验均衡解点是否满足(1)约束规格;(2)库恩—塔克极大化条件
解:
可行域为OAB
利用图解法求的均衡点为
,
对于
来说,有
,因此该约束规格是紧的。
构建拉格朗日函数
符合
条件
2.考虑如下最优化问题
用图解法解此题。并检验均衡解点是否满足(1)约束规格;(2)库恩—塔克极大化条件
解:利用图解法求的均衡点为
,
求法同上,可知约束
是紧的
构建拉格朗日函数
符合
条件
3. 考虑如下最优化问题
检验均衡解点是否满足(1)约束规格;(2)库恩—塔克极大化条件
解:
利用图解法求的均衡点为
,
求法同上,可知约束规范是紧的
构建拉格朗日函数
不符合
条件
4.写出下面优化问题的一阶必要条件
解:
一阶必要条件为:
5.求解下面最优化问题
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解:(1)
一阶必要条件为:
解得
(2)图解法
可行域为
,均衡解点
(3)
一阶必要条件为:
(4)
一阶必要条件为:
解得
(5)
一阶必要条件为:
解得
6.考虑如下最优化模型
证明:(1)均衡解
不满足库恩-塔克条件;(2)当引进新乘数
,把拉格朗日函数修改成如下形式
,
则在点
处满足库恩-塔克条件。
解:(1)
一阶必要条件为:
不符合K-T条件。
(2)此时,
一阶必要条件为:
当
时,符合K-T条件
7.消费者对两种商品的偏好用效用函数
示为
假设消费者的收入为12元,两种商品价格分别为
。试求最优的商品组合。
解:由题意知,
一阶必要条件为:
解得
8.求解消费者问题
效用极大值点,并利用二阶充分条件判断极大值点是否为最大化值点。
解:
一阶必要条件为:
解得
验证其为负定。
9.一个消费者生活在小岛上,那里只生产两种产品,
和
,生产可能前沿是
,他消费所有的产品,她的效用函数是
,这个消费者同时面临环境对于她所能生产的两种产品总额上的约束,约束条件是
(1)写出库恩—塔克一阶条件
(2)求消费者最优的
和
,确定约束条件是否发挥限制作用。
解:(1)
K-T一阶条件为:
(2)假设第二个约束条件(定量配额)没有发挥作用,由互补松弛性得
,故有
解得
,因
故为K-T条件最终解。
反之
解得
,因
故被拒绝。
10.一家电子公司在外国设立一个发电站。现在需要规划其产能。电力需求的高峰时段的需求函数是
,非高峰时段的需求函数是
。变动成本是20(两个市场都要支付),产能成本是每单位10,只要一次支付并且可以在两个时期中使用。
(1)写出这个问题的拉格朗日条件和库恩—塔克条件。
(2)求出这个问题中的最优产量和产能。
(3)每个市场分别能支付多少(即
和
的值是多少)
(4)现在假设产能成本是每单位30(只需要支付一次)。求出数量、产量以及每个市场为产能所支付的费用(即
和
)。
11.给定最优化问题
(1) 为了得到可应用的极大化的充分条件,哪些凹—凸条件需要追加在
和
上?
(2) 论述极小化问题的库恩—塔克条件。
解:(1)对于极大化问题,存在下列充分条件:
如果满足:
a.目标函数
为凹函数且可微;
b.每个约束函数
为凸函数且可微;
c.点
满足库恩—塔克极大化条件。
则点
为目标函数
的整体极大值点。
对于极小化问题,存在下列充分条件:
如果满足:
a.目标函数
为凸函数且可微;
b.每个约束函数
为凹函数且可微;
C.点
满足库恩—塔克极小化条件。
(2)构造拉格朗日函数
,如果若
为该问题的均衡解,则存在拉格朗日乘数
使得
满足库恩—塔克必要条件:
12.对于下面问题,库恩—塔克充分性定理是否适用
(1)
,(2)
13.考虑如下模型
(a)库恩—塔克充分性定理可以应用这个问题吗?库恩—塔克极小值条件是充分必要条件吗?
(b)写出库恩—塔克条件,并求解最优值(
)。
由库恩·塔克充分性定理知:要满足:
a.目标函数
为凸函数且可微;
b.每个约束函数
为凹函数且可微;
(1)中,
为两个凸函数之和,故为连续可微凸函数;
为线性函数,连续可微凹函数。
(2)(2)中,
为线性函数;
为凸函数与线性函数之和,不为凹函数,故,不满足充分性条件。
(1)满足上题a.b条件,即可适用充分性定理:题中
为两个凸函数之和,为连续可微凸函数;
为线性函数,故,满足充分性定理;
又,为满足必要性定理,则需满足约束规格:任意x,存在
,梯度矩阵秩为1,故,满足约束规格。
(2)极小化问题的带非负约束的库恩—塔克一阶必要条件为:
构造拉格朗日函数
,如果若
为该问题的均衡解,则存在拉格朗日乘数
使得
满足库恩—塔克必要条件:
解:构造拉格朗日函数
库恩—塔克一阶必要条件为
解之得,a.若
,则可得
,与(2)式矛盾。
b.若
,则
,或者
,则
,均与(1)矛盾;
C.若
,则可得
,
综上,(1,1)为其极值点。
14.给定非线性规划问题
试确定满足该问题的库恩—塔克条件的点,并且
(1)在这些点处,检验约束规格是否成立;
(2)在这些点处,检验库恩—塔克充分性定理是否成立。
解:构造拉格朗日函数:
,
则均衡解
满足如下的一阶必要条件:
(1)
(2)
(3)
解之得,满足上面式子的解为
。
(1)检验约束规格,
,带入(-1,0)得矩阵(-2,0),秩为1,满足线性独立约束规格;
(2)下面验证二阶充分条件,由于
,所以
。构造如下海塞加边矩阵
验证后一个
加边主子式
的符号即可。在
点处,
,与
同号,所以
是目标函数
的一个极大值点。
15.假定两种投入要素的生产函数
,其中,
分别为两种要素的投入量。假设两种要素投入的价格向量
,每月费用支出不超过10000,为使每个月的产出极大化,该厂商应该如何安排每月的要素投入量(要求检验二阶充分条件)。
解:有题目得极大化模型为:
首先验证约束规格,梯度矩阵秩为1,满足约束规格;
构造拉格朗日函数
库恩—塔克一阶必要条件为
解之得,满足上式的极大值解为
。
检验二阶充分条件,由于
,所以
。构造如下海塞加边矩阵
验证后一个
加边主子式
的符号即可。在
点处,
,与
同号,所以
是目标函数
的一个极大值点。
16.考虑下面最优化问题
写出与其对应的拉格朗日函数以及一阶必要条件,并求出该函数的鞍点。
解:对应的库恩塔克条件为:
分四种情况讨论:
(1)
,解矛盾,舍去
(2)
则
,解得(
)是可能的极值点
(3)
,则
,解得(
),(
)是可能的极值点
(4)
,解得(
)是可能的极值点。
17.考虑下面最优化问题
(1) 证明该问题得拉格朗日函数在可行域内没有鞍点;
(2) 考虑该问题的等价形式
其中
为参数。该问题得拉格朗日函数是否也不存在鞍点?是说明理由。
解:(1)拉格朗日函数为
库恩—塔克一阶必要条件为
解得
该拉格朗日函数载可行域内没有鞍点。
(2)拉格朗日函数为
库恩—塔克一阶必要条件为
时,
,该拉格朗日函数载可行域内没有鞍点。
18.考虑极大化问题
(1) 求目标函数的最优值在
处的导数。
(2) 根据(1),估计出当
由1变为1.02时,目标函数的最优值的改变量为多少?估计新问题目标函数的最优值。
解:拉格朗日函数为
库恩—塔克一阶必要条件为
可得,
当
时,
,
时
;
时,
;
时,
;故(0,0)是极值点。
同理,
时,函数最优解为
,
。
19.考虑极大化问题
利用包络定理解决下面的问题:
(1) 求目标函数的均衡解在
处分别关于
和
的偏导数。
(2) 根据(1),估计当
、
由16变为16.03时,目标函数的均衡解的改变量为多少?估计新问题目标函数的均衡解?
(3) 根据(1),估计当
、
由4变为3.98时,目标函数的均衡解的改变量为多少?估计新问题目标函数的均衡解?
(4) 根据(1),估计
由16变为16.03、
由4变为3.98时,目标函数的均衡解的改变量为多少?估计新问题目标函数的均衡解?
解:(1)
拉格朗日条件为:
,将(a,b)=(16,4)代入得,
,故(8,2,2)是均衡解,
(2)目标函数均衡解的改变量为:
,
新目标函数的均衡解为16.06。
(3)目标函数均衡解的改变量为:
,
新问题目标函数的均衡解为16.08。
(4)目标函数均衡解的改变量为:0.06+0.08=0.14
新问题目标函数的均衡解为16.14。
20.考虑极大化问题
利用包络定理解决以下问题:
(1)求目标函数的均衡解在
处分别关于
和
的偏导数。
(2)根据(1),估计当
、
由1变为1.01时,目标函数的均衡解的改变量为多少?
(3)根据(1),估计当
、
由1变为0.98时,目标函数的均衡解的改变量为多少?
(4)根据(1),估计当
由1变为1.01且
由1变为0.98时,目标函数的均衡解的改变量为多少?
解:(1)
拉格朗日条件为:
将(a,b)=(1,1)代入,解得(
),
(2)均衡解的改变量为:
(3)均衡解的改变量为:
(4)均衡解的改变量为:
+