递推公式求通项公式(李根整理)
利用递推公式求数列的通项公式
{a}a,f(a)如果一个数列的连续两项(或几项)的关系,可以用一个公式(或nn,1n
,者)来表示,就称该公式为数列的递推公式;由数列a,f(a,a,,,,a)(k,N)n,knn,1n,k,1
的首项(或前几项),及递推公式给出的数列,称为递推数列。
递推公式是给出数列的一种重要方法。如果说由通项公式给出的数列是直接的、具体的,那么相对而言递推公式给出的数列则是间接的、抽象的。如何实现这种由“抽象”到“具体”的转化乃是我们要研究的核心内容,即求递推数列的通项。
a,a,da/a,qn,1nnn,1、型 类型一、形如
利用已学的等差或等比的通项公式求解
aa,a,2a例题1.已知数列{},a,2,且,求 nn,1nn1
2a,a,aaaa,2a,3变式1:已知数列{},,且,求 n,1nn,2nn12
a,2aaaa,1练习 1、已知数列{},,且,求 n,1nnn1
2aaa,1a,22、已知数列{},,且,求 a,a,ann12n,1nn,2
a,a,f(n)类型二、形如型 n,1naaf(1),,,21,常用“累加法”,即由递推关系可得系列等式: aaf(2),,,32 ,,,,,,,,,,,,, ,
, aaf(n1),,,nn,1,
n,1n,1
a,a,f(i)a,a,f(i),将以上个等式相加得:,所以有即为所求。 n,1,,n1n1i,1i,1
a,a,naaa,1例题2.已知数列{},,且,求 n,1nnn1
1
1aa,a,a变式1:已知数列{},,且,求 a,1nn,1nn1n(n,1)
n,1a,a,3aa变式2:已知数列{},a,1,且,求 n,1nnn1
na,a,2,1aaa,1变式3:已知数列{},,且,求 n,1nnn1
naaa,1变式4:已知数列{},,且,求 a,a,2,n,1nn1,1nn
n,1aaa,1aa变式5:已知数列{},,且,求 ,,lnnn1n,1nn
a,1n,f(n)类型三、形如型 an
aaa3n2常用“累乘法”,即由递推关系可得系列等式, ,f(1),,f(2),,,,,,f(n,1)aaa12n,1
n,1n,1an,a,a将以上个式子相乘得,f(i),于是f(i)。(注表示相乘) n,1,n1,,ai,1i,11
naaa,1,例题3. 已知数列{},,且,求 aann1n,1n,n1
2
,3n1a变式1:已知, ,求 a,3,(n,1)aan1n,1n,3n2
na,3aaa变式2:已知数列{},a,1,且,求 n,1nnn1
apaq,,p,1nn,1类型四、形如:(为p,q为常数且)的数列
qqq,,,()apaa,nn,1n,,11pp1p,(1)待定系数法:可化为,利用等比数列求出的表达式,
an进而求出
apaq,,aa,,paa(),a,ap,qnn,1nn,1nn,1nn,1(2)可由得两式相减可得:,利用{}aa,aa,ann,1nn,1n成等比数列求出,再利用累加法求出
aa,2a,1aa,1例题4. 已知数列{},,且,求 nn,1nn1
aa,2a,1aa,1练习1. 已知数列{},,且,求 nn,1nn1
aa,3a,1aa,12. 已知数列{},,且,求 nn,1nn1
3
a,3a,2aa3. 已知数列{},a,1,且,求 n,1nnn1
napaq,,pq、q,0nn,1类型五、形如:的数列(为常数且)
aaap1nn,1n,,nnn,1aqqqqqn解决办法:可化为 ,利用第四种类型求出后解出;
n,1a,2a,2aa例题5. 已知数列{},a,2,且,求 n,1nnn1
n,1a,3a,2aaa,1练习1、已知数列{},,且,求 nn,1nn1
na,3a,2aaa,1、已知数列{},,且,求 2,1nnnn1
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