第六章附有参数的条件平差
指导教师:杜琳
误差理论与测量平差基础
第六章附有参数的条件平差
附有参数的条件平差原理1
2 精度评定
3 公式汇编和示例
§6-1 附有参数的条件平差原理
1 2 3
4 5 6
7 8 9
ˆ ˆ ˆ 180 0
ˆ ˆ ˆ 180 0
ˆ ˆ ˆ 180 0
L L L
L L L
L L L
+ + - =
+ + - =
+ + - =
o
o
o
图形条件:
Xˆ ABD= Ð
5 7 6
9 6 8 5
2 6 8
3
1 0
ˆ ˆ ˆ ˆsin( )sin sin 1 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsin( )sin( )sin
ˆ ˆ ˆsin sin( )
ˆ ˆsin sinAB AC
AD AB AE
AB AE AD
L L X L
L X L L L
L L LS S
L X
× × - =
+
- =
- +
+
=
极条件:
固定边条件:
X1
2
4
75
9
86
3
A
C
D
B
E
§6-1 附有参数的条件平差原理
vv函数模型函数模型
vv随机模型随机模型
vv平差准则平差准则
0, ,1 , ,1 , ,,1 ,1 ,1 ,1 ,1,1
ˆ ˆ ˆ0 0
c n n c u u c n c uc n u c cc
A L B X A AV B x W+ + = + + =或
nnnnnn
PQD
,
12
0
,
2
0,
-== ss
min=PVV T
§6-1 附有参数的条件平差原理
vv一、基础方程及其解一、基础方程及其解
问题:根据上述方程求解问题:根据上述方程求解 V V 值值
方法:拉格朗日乘数法方法:拉格朗日乘数法
min=PVV T
, ,,1 ,1 ,1 ,1
ˆ 0
c n c un u c c
AV B x W+ + =
§6-1 附有参数的条件平差原理
1
ˆ 0
0T
T T
AV Bx
V P A K
K
QA K
W
B
-ì
ï + + =
=
í
=
=
ï
î
ˆ 0
0
aa
T
N K Bx W
B K
+ + =ì
í
=î
1 1
1
1
ˆ
ˆ( )
ˆ( )
ˆ
T
bb aa
aa
T T
aa
x N B N W
K N Bx W
V QA K QA N Bx W
L L V
- -
-
-
ì = -
ï
= - +ï
í
= = - +ï
ï = +î
基础方程:
法方程:
解向量:
§6-1 附有参数的条件平差原理
vv二、计算步骤二、计算步骤
t根据平差问题的具体情况,选取u个独立参数,
列出附有参数的条件方程式
t组成法方程式
)式中 Taa AQAN =(
ˆ 0
0
aa
T
N K Bx W
B K
+ + =
=
0, ,1 , ,1 ,1,1
ˆ ˆ 0
c n n c u u cc
A L B X A+ + =
, ,,1 ,1 ,1 ,1
ˆ 0
c n c un u c c
AV B x W+ + =
§6-1 附有参数的条件平差原理
t解算法方程
t计算观测值和参数的平差值
t将 和 代入平差值方程,看其是否满足方程
xXXVLL ˆˆ,ˆ 0 +=+=
1 1
1
1
ˆ
ˆ( )
ˆ( )
T
bb aa
aa
T T
aa
x N B N W
K N Bx W
V QA K QA N Bx W
- -
-
-
= -
= - +
= = - +
0)ˆ,ˆ( =XLF
Lˆ Xˆ
§6-1 附有参数的条件平差原理
v例1.某航测像片上有一块矩形的稻田。为了确定该稻田
的形状和面积,现用卡规量测了矩形的长和宽分别为l1、
l2,又用求积仪量测了矩形的面积为l3。若设该矩形的面
积为参数 ,按附有参数的条件平差法平差,试列出其
条件方程。
1l
2l3l
Xˆ
§6-1 附有参数的条件平差原理
v 例2.在ΔABC中,同精度测得L1 ,L2 , L3 ,L4等4个角度。现选
∠BAC为参数 进行平差,是试写出其函数模型和法方程。
L1
C
B
L2
L3
L4
Xˆ
)式中 Taa AQAN =(
ˆ 0
0
aa
T
N K Bx W
B K
+ + =ì
í
=î
§6-1 附有参数的条件平差原理
[ ]
3 1 1 0
ˆ1 2 0 0 0
1 0 1 1
0 0 1 0
a a
b b
c c
a
b
c
k w
k x w
k w
k
k
k
ìé ù é ù é ù é ù
ïê ú ê ú ê ú ê ú+ + =ïê ú ê ú ê ú ê ú
ïê ú ê ú ê ú ê ú-ïë û ë û ë û ë û
í
é ùï
ê úï - =ê úï
ê úï ë ûî
3 1 1 0
1 2 0 0
ˆ 0
1 0 1 1
0 0 1 0 0
a
a
b
b
c
c
w
k
w
k x
w
k
é ù é ù é ù
é ùê ú ê ú ê ú
ê úê ú ê ú ê úÞ + + =ê úê ú ê ú ê ú-
ê úê ú ê ú ê úë û-ë û ë û ë û
3 1 1 0
1 2 0 0
0
1 0 1 1
ˆ0 0 1 0 0
a a
b b
c c
k w
k w
k w
x
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê úÞ + =
ê ú ê ú ê ú-
ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û
第六章附有参数的条件平差
附有参数的条件平差原理1
2 精度评定
3 公式汇编和示例
§6-2 精度评定
vv一、单位权方差的估值公式一、单位权方差的估值公式
t VTPV的计算
• (1)直接计算
• (2)用常数项与联系数
uc
PVV
r
PVV TT
-
==20sˆ
( )权阵为对角阵时2222211 nnT VPVPVPPVV +++= L
KWKNKPVV Taa
TT -==
与参数的选择无关
§6-2 精度评定
vv二、观测值函数的协因数二、观测值函数的协因数
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
+=
-==
--=
-=+=
+=
=
-
--
--
VLL
WNQAKQAV
xBNWNK
WNBNXxXX
WALW
LL
aa
TT
aaaa
aa
T
bb
ˆ
ˆ
ˆˆ
1
11
1100
0
基本向量
关系式
§6-2 精度评定
求:QZZ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
LL LW LK LVLX LL
WL WW WK WVWX WL
XL XW XX XK XV XL
ZZ
KL KW KK KVKX KL
VL VW VK VVVX VL
LL LW LX LK LV LL
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
= ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û
§6-2 精度评定
附有参数的条件平差基本向量的协因数阵
0
0
00
00
0V
0K
W
L
VKWL
Q
AQ
KKQ AQ-
VVQ-
VVQ Q-
TQA
aaN ˆ ˆXXBQ-
1
bbN
-
1 1T
aa bbQA N BN
- --
VVQ- VVQ Q-
Lˆ
Lˆ
1( )T Taa bb aaN AQA N B N B
-= =
T
KK aaQA Q N-
Xˆ
Xˆ
1
ˆ ˆ
T
aaXX
Q B N AQ--
KK aaQ N-
ˆ ˆ
T
XXQ B-
1
aa
T
KKQA N BQ
--
1
ˆ ˆaa
T T
XXQA N BQ B
-
aa KKN Q-
1 1
1
ˆ ˆ
aa bb
T
aaXX
N N
BQ B N
- -
-
-
T
KKQA Q
T
KKQA Q-
aa KKN Q AQ-
KKQ AQ
T
KKQA Q AQ
VVQ Q-
1
ˆ ˆ
T
aaXX
BQ B N AQ-
1 1T
bb aaN B N AQ
- --
§6-2 精度评定
平差值的协方差阵:
LLLL QD ˆˆ
2
0ˆˆ sˆ=
参数的协方差阵:
XXXX QD ˆˆ
2
0ˆˆ sˆ=
§6-2 精度评定
vv三、平差值函数的中误差三、平差值函数的中误差
)ˆˆsin(
)ˆˆˆˆ180sin(ˆˆ
ˆˆˆˆ180ˆ
86
168
2
1681
LL
LLLXSS
LLLXBAC
ABBD +
+---
==
+---=Ð=
j
j
问题:如何计算平差值函数的中误差?
1
2
4
75
9
863
A
C
D
B
E
X
§6-2 精度评定
设有平差值函数:
对上式全微分得:
式中
)ˆ,ˆ(ˆ
1,1, un
XLF=j
XdFLdFXd
X
Ld
L
d TT x ˆˆˆˆ
ˆ
ˆˆ +=¶
F¶
+
¶
F¶
=j
0
0
,21
,1
,21
,1
ˆ...ˆˆ
ˆ...ˆˆ
XLuu
T
x
XLn
T
n
XXX
F
LLL
F
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
F¶
¶
F¶
¶
F¶
=
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
F¶
¶
F¶
¶
F¶
=
权函数式
§6-2 精度评定
xXX
T
LX
T
xXL
T
LL
T FQFFQFFQFFQFQ xx ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ +++=jj
jjj ss ˆˆ0ˆ ˆˆ Q=
0
0
,21
,1
,21
,1
ˆ...ˆˆ
ˆ...ˆˆ
XLuu
T
x
XLn
T
n
XXX
F
LLL
F
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
F¶
¶
F¶
¶
F¶
=
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
F¶
¶
F¶
¶
F¶
=
§6-2 精度评定
v 例.三角网如图,A、B为已知点,C、D为待定点,观测值
L1-L6,设∠ADB的值为参数,试用附有参数的条件平差法
求平差后∠ADB的权。
1
62
3
A
4
5
C
B
D
ï
ï
î
ïï
í
ì
=-+
=-++
=-++
0ˆˆˆ
0180ˆˆˆ
0180ˆˆˆ
43
654
321
XLL
LLL
LLL
平差值方程:
ï
î
ï
í
ì
-+==+-+
-++==+++
-++==+++
0
4343
654654
321321
,0ˆ
180,0
180,0
XLLwwxVV
LLLwwVVV
LLLwwVVV
cc
bb
aa
条件方程:
§6-2 精度评定
EQBA =
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
= ,
1
0
0
,
001100
111000
000111
75.0
3
4)(
1
ˆˆˆ
111
ˆˆ
==
===
-
---
XXX
aa
T
bbXX
QP
BNBNQ
第六章附有参数的条件平差
附有参数的条件平差原理1
2 精度评定
3 公式汇编和示例
§6-3 公式汇编和示例
vv一、公式汇编一、公式汇编
t数学模型
t法方程:
0
0, ,,1 ,1 ,1 ,1
2 2 1
0 0, ,,
ˆ 0 ,
c n c un u c c
n n n nn n
AV B x W W AL BX A
D Q Ps s -
ì + + = = + +
ï
í
= =ïî
ˆ 0
0
aa
T
N K Bx W
B K
+ + =ì
í
=î
§6-3 公式汇编和示例
t基础方程的解
t观测量和参数的平差值
1 1
1
1
ˆ
ˆ( )
ˆ( )
T
bb aa
aa
T T
aa
x N B N W
K N Bx W
V QA K QA N Bx W
- -
-
-
ì = -
ïï = - +í
ï = = - +ïî
ïî
ï
í
ì
+=
+=
xXX
VLL
ˆˆ
ˆ
0
§6-3 公式汇编和示例
t单位权方差的估值
t平差值的协方差阵
t平差参数的协方差阵
uc
PVV
r
PVV TT
-
==20sˆ
2 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ0 0ˆ ˆ bbXX XXD Q Ns s
-= =
LLLL QD ˆˆ
2
0ˆˆ sˆ=
ˆ ˆLL VVQ Q Q= -
§6-3 公式汇编和示例
t平差值函数的权函数式及其协因数、中误差
XdFLdFd TT x ˆˆˆ +=j
xxx FQFFQFFQFFQFQ XX
T
LX
T
xXL
T
LL
T
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ +++=jj
jjj ss ˆˆ0ˆ ˆˆ Q=
§6-3 公式汇编和示例
vv二、示例二、示例
t三角网如图,起算数据及观测角值(同精度)见
课本。现选∠ABD的平差值为参数。试按附有参
数的条件平差进行平差,并求平差后BE边长的相
对中误差。
1
2
4
75
9
863
A
C
D
B
E
X