06_附有参数的条件平差

第六章附有参数的条件平差 指导教师：杜琳 误差理论与测量平差基础 第六章附有参数的条件平差 附有参数的条件平差原理1 2 精度评定 3 公式汇编和示例 §6-1 附有参数的条件平差原理 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ˆ ˆ ˆ 180 0 ˆ ˆ ˆ 180 0 ˆ ˆ ˆ 180 0 L L L L L L L L L + + - = + + - = + + - = o o o 图形条件： Xˆ ABD= Ð 5 7 6 9 6 8 5 2 6 8 3 1 0 ˆ ˆ ˆ ˆsin( )sin sin 1 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsin( )sin( )sin ˆ ˆ ˆsin sin( ) ˆ ˆsin sinAB AC AD AB AE AB AE AD L L X L L X L L L L L LS S L X × × - = + - = - + + = 极条件： 固定边条件： X1 2 4 75 9 86 3 A C D B E §6-1 附有参数的条件平差原理 vv函数模型函数模型 vv随机模型随机模型 vv平差准则平差准则 0, ,1 , ,1 , ,,1 ,1 ,1 ,1 ,1,1 ˆ ˆ ˆ0 0 c n n c u u c n c uc n u c cc A L B X A AV B x W+ + = + + =或 nnnnnn PQD , 12 0 , 2 0, -== ss min=PVV T §6-1 附有参数的条件平差原理 vv一、基础方程及其解一、基础方程及其解 问题：根据上述方程求解问题：根据上述方程求解 V V 值值 ：拉格朗日乘数法方法：拉格朗日乘数法 min=PVV T , ,,1 ,1 ,1 ,1 ˆ 0 c n c un u c c AV B x W+ + = §6-1 附有参数的条件平差原理 1 ˆ 0 0T T T AV Bx V P A K K QA K W B -ì ï + + = = í = = ï î ˆ 0 0 aa T N K Bx W B K + + =ì í =î 1 1 1 1 ˆ ˆ( ) ˆ( ) ˆ T bb aa aa T T aa x N B N W K N Bx W V QA K QA N Bx W L L V - - - - ì = - ï = - +ï í = = - +ï ï = +î 基础方程： 法方程： 解向量： §6-1 附有参数的条件平差原理 vv二、计算步骤二、计算步骤 t根据平差问题的具体情况，选取u个独立参数， 列出附有参数的条件方程式 t组成法方程式 ）式中 Taa AQAN =( ˆ 0 0 aa T N K Bx W B K + + = = 0, ,1 , ,1 ,1,1 ˆ ˆ 0 c n n c u u cc A L B X A+ + = , ,,1 ,1 ,1 ,1 ˆ 0 c n c un u c c AV B x W+ + = §6-1 附有参数的条件平差原理 t解算法方程 t计算观测值和参数的平差值 t将 和 代入平差值方程，看其是否满足方程 xXXVLL ˆˆ,ˆ 0 +=+= 1 1 1 1 ˆ ˆ( ) ˆ( ) T bb aa aa T T aa x N B N W K N Bx W V QA K QA N Bx W - - - - = - = - + = = - + 0)ˆ,ˆ( =XLF Lˆ Xˆ §6-1 附有参数的条件平差原理 v例1.某航测像片上有一块矩形的稻田。为了确定该稻田 的形状和面积，现用卡规量测了矩形的长和宽分别为l1、 l2，又用求积仪量测了矩形的面积为l3。若设该矩形的面 积为参数 ，按附有参数的条件平差法平差，试列出其 条件方程。 1l 2l3l Xˆ §6-1 附有参数的条件平差原理 v 例2.在ΔABC中，同精度测得L1 ,L2 , L3 ,L4等4个角度。现选 ∠BAC为参数 进行平差，是试写出其函数模型和法方程。 L1 C B L2 L3 L4 Xˆ ）式中 Taa AQAN =( ˆ 0 0 aa T N K Bx W B K + + =ì í =î §6-1 附有参数的条件平差原理 [ ] 3 1 1 0 ˆ1 2 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 a a b b c c a b c k w k x w k w k k k ìé ù é ù é ù é ù ïê ú ê ú ê ú ê ú+ + =ïê ú ê ú ê ú ê ú ïê ú ê ú ê ú ê ú-ïë û ë û ë û ë û í é ùï ê úï - =ê úï ê úï ë ûî 3 1 1 0 1 2 0 0 ˆ 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 a a b b c c w k w k x w k é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê úÞ + + =ê úê ú ê ú ê ú- ê úê ú ê ú ê úë û-ë û ë û ë û 3 1 1 0 1 2 0 0 0 1 0 1 1 ˆ0 0 1 0 0 a a b b c c k w k w k w x é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê úÞ + = ê ú ê ú ê ú- ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û 第六章附有参数的条件平差 附有参数的条件平差原理1 2 精度评定 3 公式汇编和示例 §6-2 精度评定 vv一、单位权方差的估值公式一、单位权方差的估值公式 t VTPV的计算 • （1）直接计算 • （2）用常数项与联系数 uc PVV r PVV TT - =＝20sˆ ( )权阵为对角阵时2222211 nnT VPVPVPPVV +++= L KWKNKPVV Taa TT -== 与参数的选择无关 §6-2 精度评定 vv二、观测值函数的协因数二、观测值函数的协因数 ï ï ï ï î ï ï ï ï í ì += -== --= -=+= += = - -- -- VLL WNQAKQAV xBNWNK WNBNXxXX WALW LL aa TT aaaa aa T bb ˆ ˆ ˆˆ 1 11 1100 0 基本向量 关系式 §6-2 精度评定 求：QZZ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ LL LW LK LVLX LL WL WW WK WVWX WL XL XW XX XK XV XL ZZ KL KW KK KVKX KL VL VW VK VVVX VL LL LW LX LK LV LL Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q é ù ê ú ê ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú ê úë û §6-2 精度评定 附有参数的条件平差基本向量的协因数阵 0 0 00 00 0V 0K W L VKWL Q AQ KKQ AQ- VVQ- VVQ Q- TQA aaN ˆ ˆXXBQ- 1 bbN - 1 1T aa bbQA N BN - -- VVQ- VVQ Q- Lˆ Lˆ 1( )T Taa bb aaN AQA N B N B -= = T KK aaQA Q N- Xˆ Xˆ 1 ˆ ˆ T aaXX Q B N AQ-- KK aaQ N- ˆ ˆ T XXQ B- 1 aa T KKQA N BQ -- 1 ˆ ˆaa T T XXQA N BQ B - aa KKN Q- 1 1 1 ˆ ˆ aa bb T aaXX N N BQ B N - - - - T KKQA Q T KKQA Q- aa KKN Q AQ- KKQ AQ T KKQA Q AQ VVQ Q- 1 ˆ ˆ T aaXX BQ B N AQ- 1 1T bb aaN B N AQ - -- §6-2 精度评定 平差值的协方差阵： LLLL QD ˆˆ 2 0ˆˆ sˆ= 参数的协方差阵： XXXX QD ˆˆ 2 0ˆˆ sˆ= §6-2 精度评定 vv三、平差值函数的中误差三、平差值函数的中误差 )ˆˆsin( )ˆˆˆˆ180sin(ˆˆ ˆˆˆˆ180ˆ 86 168 2 1681 LL LLLXSS LLLXBAC ABBD + +--- == +---=Ð= j j 问题：如何计算平差值函数的中误差？ 1 2 4 75 9 863 A C D B E X §6-2 精度评定 设有平差值函数： 对上式全微分得： 式中 )ˆ,ˆ(ˆ 1,1, un XLF=j XdFLdFXd X Ld L d TT x ˆˆˆˆ ˆ ˆˆ +=¶ F¶ + ¶ F¶ =j 0 0 ,21 ,1 ,21 ,1 ˆ...ˆˆ ˆ...ˆˆ XLuu T x XLn T n XXX F LLL F ú û ù ê ë é ¶ F¶ ¶ F¶ ¶ F¶ = ú û ù ê ë é ¶ F¶ ¶ F¶ ¶ F¶ = 权函数式 §6-2 精度评定 xXX T LX T xXL T LL T FQFFQFFQFFQFQ xx ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ +++=jj jjj ss ˆˆ0ˆ ˆˆ Q= 0 0 ,21 ,1 ,21 ,1 ˆ...ˆˆ ˆ...ˆˆ XLuu T x XLn T n XXX F LLL F ú û ù ê ë é ¶ F¶ ¶ F¶ ¶ F¶ = ú û ù ê ë é ¶ F¶ ¶ F¶ ¶ F¶ = §6-2 精度评定 v 例.三角网如图，A、B为已知点，C、D为待定点，观测值 L1-L6，设∠ADB的值为参数，试用附有参数的条件平差法 求平差后∠ADB的权。 1 62 3 A 4 5 C B D ï ï î ïï í ì =-+ =-++ =-++ 0ˆˆˆ 0180ˆˆˆ 0180ˆˆˆ 43 654 321 XLL LLL LLL 平差值方程： ï î ï í ì -+==+-+ -++==+++ -++==+++ 0 4343 654654 321321 ,0ˆ 180,0 180,0 XLLwwxVV LLLwwVVV LLLwwVVV cc bb aa 条件方程： §6-2 精度评定 EQBA = ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = ú ú ú û ù ê ê ê ë é = , 1 0 0 , 001100 111000 000111 75.0 3 4)( 1 ˆˆˆ 111 ˆˆ == === - --- XXX aa T bbXX QP BNBNQ 第六章附有参数的条件平差 附有参数的条件平差原理1 2 精度评定 3 公式汇编和示例 §6-3 公式汇编和示例 vv一、公式汇编一、公式汇编 t数学模型 t法方程： 0 0, ,,1 ,1 ,1 ,1 2 2 1 0 0, ,, ˆ 0 , c n c un u c c n n n nn n AV B x W W AL BX A D Q Ps s - ì + + = = + + ï í = =ïî ˆ 0 0 aa T N K Bx W B K + + =ì í =î §6-3 公式汇编和示例 t基础方程的解 t观测量和参数的平差值 1 1 1 1 ˆ ˆ( ) ˆ( ) T bb aa aa T T aa x N B N W K N Bx W V QA K QA N Bx W - - - - ì = - ïï = - +í ï = = - +ïî ïî ï í ì += += xXX VLL ˆˆ ˆ 0 §6-3 公式汇编和示例 t单位权方差的估值 t平差值的协方差阵 t平差参数的协方差阵 uc PVV r PVV TT - =＝20sˆ 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ0 0ˆ ˆ bbXX XXD Q Ns s -= = LLLL QD ˆˆ 2 0ˆˆ sˆ= ˆ ˆLL VVQ Q Q= - §6-3 公式汇编和示例 t平差值函数的权函数式及其协因数、中误差 XdFLdFd TT x ˆˆˆ +=j xxx FQFFQFFQFFQFQ XX T LX T xXL T LL T ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ +++=jj jjj ss ˆˆ0ˆ ˆˆ Q= §6-3 公式汇编和示例 vv二、示例二、示例 t三角网如图，起算数据及观测角值（同精度）见 课本。现选∠ABD的平差值为参数。试按附有参 数的条件平差进行平差，并求平差后BE边长的相 对中误差。 1 2 4 75 9 863 A C D B E X