2020~2021福州三中高一上学期期末数学试题及答案

第1页共12页福州三中2020-2021学年第一学期期末考试高一数学试卷组卷人：高一数学集备组审卷人：本试卷分第Ⅰ卷（选择）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|lg(1)}Axyx,{|21}xBx,则ABA．(0,)B．(1,0)C．D．()+−,1【答案】A【解析】由题知,(0,)B,从而得到(0,)AB.故选：A.2．sin78sin18cos78cos162−=A．32B．32−C．12D．12−【答案】C【解析】sin78sin18cos78cos162sin78sin18cos78cos18−=+1cos(7818)cos602=−==3．若函数32()22fxxxx的一个零点附近的函数值如下：(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.4375)0.162f(1.40625)0.054f则用二分法可求得方程32220xxx的一个近似解（精确度为0.04）为A．1.5B．1.375C．1.4375D．1.25【答案】C【解答】∵(1.40625)0.0520f，(1.4375)0.1620f，且1.43751.406250.031250.04，所以方程的一个近似解可取1.4375，故选：C．4．设20.82log0.8,0.8,2abc，则,,abc大小关系正确的是A．cbaB．abcC．cabD．bac()1,A=−+第2页共12页【答案】B【解析】0,01,1abc，则abc，故选B.5．函数2()44xxxfx−=+的图象大致是ABCD【答案】A【解析】2()()()44xxxfxfx，则()fx是偶函数，排除B,D；又因为2()044xxxfx−=+恒成立，所以排除C，故选A.6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg4.81.5EM=+．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍．A．lg4.5B．104.5C．450D．4.510【答案】D【解析】设里氏8.0级和里氏5.0级地震所释放的能量分别为1E和2E，则1lg4.81.58E=+，2lg4.81.55E=+，所以1122lglglg4.5EEEE=−=，则4.51210EE=，即4.51210EE=.故选：D.7．已知π3sin()35x，则7πcos()6x等于A．35B．35C．45D．45【答案】B【解析】73()+()=362xx，则733cos()cos[()]sin()62335xxx，故选B.OyxOyxOyxOyx第3页共12页8．已知关于x的方程2cos2sin20(0)axxaa+−+=在(2π,2π)x−有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为A．(,0)(2,)−+B．(4,)+C．(0,2)D．(0,4)【答案】D【解析】当(2,2)x−，2()cos2sin2(0)fxaxxaa=+−+，则()()fxfx，函数()fx是偶函数，由偶函数的对称性，只需研究当(0,2)x时，2()cos2sin2fxaxxa=+−+，设sintx，则2()22(0)htatta=−−有一个根(1,1)t①当0a时，2()22htatt=−−是开口向下，对称轴为10ta=的二次函数，(0)20h=−则(1)0ha−=，这与0a矛盾，舍去；②当0a时，2()22htatt=−−是开口向上，对称轴为10ta=的二次函数，因为(0)20h=−，(1)220haa−=+−=，则存在()1,0t−，只需(1)220ha=−−，解得4a，所以04a.综上，非零实数a的取值范围为04a.故选D.二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．已知函数eeee(),()22xxxxfxgx，则下列结论正确的是A．()()fxfxB．(2)(3)ffC．(2)2()()fxfxgxD．22[()][()]1fxgx【答案】AC【详解】(),()()22xxxxeeeefxfxfx，()2xxeefx单调递增，所以(2)(3)ff；22(2)2()()222xxxxxxeeeeeefxfxgx；2222[()][()]()()122xxxxeeeefxgx故选AC.10．将函数()π2sin(2)6fxx=−的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，得到函数()ygx=的图象．若()()124gxgx=−，则12xx−的值可能为第4页共12页A．π6B．π4C．π3D．3π4【答案】BD【解析】()2sin(2)6fxx=−，则()2sin(4)6gxx，因为()()124gxgx=−，则12(),()gxgx分别是函数()gx的最大，最小值，则*12||()24TxxnnnZ，故选BD11．设231log6,log6ab，则下列结论正确的是A．111abB．0abC．0abD．221112ab【答案】ABD【解析】2361log60,log60,log3abb，则6661120,log2log3log03abab，即0,abab即0ab；6611log2log31ab；由111ab得222222111122111(1)12()22abbbbbb，因为661log3log62，则112b，所以221112ab，故选ABD12．设函数()()πsin05fxx=+,已知()xf在2,0有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是A．的取值范围是)1029,512[B．当[0,2π]x时，方程()1fx有且仅有3个解C．当[0,2π]x时，方程()1fx有且仅有2个解D．0，使得()xf在π0,10单调递增由于，，设5tx，则[,2]55t，因为在有且仅有个零点，所以，解得，A正确；()1fx即此时()fx取最大值则满足的是()1fx的解，共3个，B正确；()1fx，即此时()fx取最小值，则满足的显然是()1fx的解，但0(0)sinsin05f=()fx0,255265+122951059,,5222x+=x37,522x+=x第5页共12页当接近时，，也是()1fx的解，这时()1fx有3个解，C错；当时，由，所以是递增的，D正确．故选：ABD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．13．已知某扇形的周长为9，圆心角为1rad，则该扇形的面积是_____．【答案】92【解析】设半径为r，则弧长lr，周长29rl，解得3r，所以面积为92.14．已知()fx是定义在R上的偶函数，且满足(4)()fxfx，当23x，()fxx，则(5.5)f______．【答案】2.5【解析】(4)()fxfx，则周期4T，所以(5.5)(1.54)(1.5)(1.54)(2.5)(2.5)2.5ffffff15．已知角的终边经过点(4,3)P，则=+−−4sin21sin2cos22________．【答案】7【解析】222cos1sin2cossin1cossin22sincos2sin2sincoscossin444−−−−−==+++又34sin,cos55，所以原式=716．已知函数2πsin()1,30,()2|log|,0,xxfxxx则[(3)]ff_________；若存在四个不同的实数,,,abcd，使得()()()()fafbfcfd，则abcd的取值范围是_____．【答案】1，[0,1)【解析】3π(3)sin()122f−=−+=，2(2)|log|12f==，((3))1ff−=，画出()fx的图象，如图所示，291011652x+=(0,)10x49(2)105101002+=+()fx第6页共12页()()()()fafbfcfd===,不妨设01abcd，22|log||log|cd=，1cd=，由图象的对称性知a，b关于直线1x=−对称，所以2ab+=−，且10b−，22(2)2(1)1abbbbbb=−−=−−=−++01ab，01abcd，故答案为：1，[0,1)．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分10分）（1）求值：2log33lg252lg0.1lg(22)4+++;（2）已知π10,sincos23,求sin(3π)cos(2π)πsin()sin2−−++−++的值．【解答】(1)原式=31331lg53lg2(lg5lg2)3422222+−+=++−=(2)原式sincos3(sincos)sincos+==−+−+，因为1sincos3，所以2(sincos)1sin2，则8sin29，所以217(sincos)1sin29，又因为0,2所以sincos0，则17sincos3，所以原式=1718．（本小题满分12分）已知ππ310π30,0,cos,cos2210423．（1）求πcos4+的值；（2）求+2sin的值．解答：（1）因为，，所以所以π02310cos10=10sin10=πππ31021025cos()coscossinsin4441021025+=−=−=第7页共12页（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以所以19．（本小题满分12分）水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为218m，经过3个月其覆盖面积约为227m．现水葫芦覆盖面积y（单位：2m）与经过时间()xxN个月的关系有两个函数模型(0,1)xykaka=与log(1)(1)ayxqa=++可供选择．（参考数据：lg20.3010,lg30.4771）（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；（2）约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？【解答】（1）(0,1)xykaka=的增长速度越来越快，log(1)(1)ayxqa=++的增长速度越来越慢.(0,1)xykaka=依题意应选函数则有23=18=27kaka，解得3=2=8ak()382xyxN=，（2）设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍，则31002xkk301002xk32log100xlg1003lg2=lg32lg2=−11.36因为xN，所以12x.π02ππ3π444+π25sin()45+=π02−πππ4422−π6sin()423−=ππsin()sin[()()]2442+=+−−sin()cos()cos()sin()442442=+−−+−2535621530535315−=−=第8页共12页答：约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍.20．（本小题满分12分）已知函数2π()[2sin()sin]cos3sin3fxxxxx=++−．（1）求函数()fx的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数()fx的图象关于点(,)mn对称，求正数m的最小值;【解答】（1）()22sinsincos3sin3fxxxxx=++−()2sin3cossincos3sinxxxxx=++−()22sin3coscos3sinxxxx=+−()222sincos3cossinxxxx=+−sin23cos22sin23xxx=+=+，T，由3222232kxk解得71212kxk，则()fx的单调递减区间是7[,],1212kkkZ（2）()2,3mkkZ+=，,26kmkZ=−又0mm的最小值为321．（本小题满分12分）函数()()πcos0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示．（1）求()fx的解析式；（2）若ππ,124x−，()()2210fxmfx−−，求实数m的取值范围；Oyx5π6π121第9页共12页（3）是否存在实数a，使得函数()()Fxfxa=−在0,πn*()nN上恰有2021个零点？若存在，求出a和对应的n的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）由图可得1A，35ππ4612T=−，即32π3π44=，2=，∴πcos2112+=，∴π2π6k+=，π2π6k=−，因为||2∴π6=−，()πcos26fxx=−．（2）∵ππ,412x−，∴πππ2,633x−−，∴()1,12fx，令()1,12tfx=，则由题意得2210tmt−−恒成立，解法一：（分离变量）2210tmt−−即22112tmttt恒成立，因为1,12t，12ytt单调递增，所以min1(2)1tt，所以1m，即m的取值范围是(,1].解法二：（二次函数）令2()21gttmt，1,12t，对称轴是4mt，①若0m，(0)10g，则1421()02mg，解得1m，这与0m矛盾，舍去；②若0m，函数2()21gttmt在区间1,12单调递增，则只需1()02g，解得1m综上：1m，即m的取值范围是(,1].（3）由题意可得()yfx=的图像与直线ya=在0,πn上恰有2021个交点，且函数()fx的周期是，设ππ11π2,666tx=−−，①当1a或1a−时，()yfx=的图像与直线ya=在0,πn上无交点．②当1a=或1a=−时，()yfx=的图像与直线ya=在0,π仅有一个交点，第10页共12页此时()yfx=的图像与直线ya=在0,πn上恰有2021个交点，则2021n=．③当312a−或312a时，()yfx=的图像与直线ya=在0,π恰有2个交点，()yfx=的图像与直线ya=在0,πn上有偶数个交点，不可能有2021个交点．④当32a=时，()yfx=的图像与直线ya=在0,π恰有3个交点，此时1010n=，才能使()yfx=的图像与直线ya=在0,πn上有2021个交点．综上可得，当1a=或1a=−时，2021n=；当32a=时，1010n=．22．（本小题满分12分）已知函数21()4fxxax=++，()lngxx=−．（1）若函数[()]gfx的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数[()]gfx在(1,)+上单调递减，求实数a的取值范围；（3）用min,mn表示m,n中的最小值，设函数()min(),()(0)hxfxgxx=，讨论()hx零点的个数．【解答】（1）函数21[()]ln()4gfxxax=−++，若该函数的定义域为R，则2104xax++对任意xR恒成立，因此210a=−，解得11a−；（2）函数21[()]ln()4gfxxax=−++，若[()]gfx在(1,)+上单调递减，则问题等价于()0fx在(1,)+上恒成立，且()fx在(1,)+上单调递增，即5(1)0412faa=+−，解得54a−，所以实数a的取值范围是5[,)4.（3）解法1：当1x时，()ln0gxx=−，所以当1x时，min(),()()0fxgxgx，所以()hx在(1,)+上没有零点；当1x=时，(1)0g=，5(1)4fa=+第11页共12页若504a+即54a−时，(1)min(1),(1)(1)0hfgg===，此时1x=是函数()hx的一个零点；若5+04a即54a−时，(1)min(1),(1)(1)0hfgf==，此时1x=不是函数()hx的一个零点；当01x时，因为()ln0gxx=−，则函数()hx的零点个数等价于函数()fx的零点个数当210a=−，即11a−时，()0fx，则()min(),()0hxfxgx=，函数()hx在(0,1)上没有零点；当0=即1a=时，函数()fx有且只有一个零点，若1a=，由()0fx=可得12x=−(0,1)，则函数()hx在(0,1)上没有零点；若1a=−，由()0fx=可得12x=，则函数()hx在(0,1)上有1个零点；当0，即1a−或1a时，函数()fx有两个零点，不妨设为12,xx且12xx当1a时，120xxa+=−，12104xx=，所以120xx，则()fx在(0,1)上没有零点；当1a−时，120xxa+=−，12104xx=，所以120xx，当5(1)04fa=+即54a−时，1(0)04f=，所以(0)(1)0ff，则101x，21x所以此时()fx在(0,1)上有且只有一个零点；当(1)0f，即514a−−时，对称轴2ax=−15(,)28，且(0)0,(1)0ff所以1201xx，()fx在(0,1)上有两个零点；综上所述：当54a−或1a−时，()hx有一个零点；当54a=−或1a=−时，()hx有两个零点；当514a−−时，()hx有三个零点；解法2：当1x时，()ln0gxx=−，所以当1x时，min(),()()0fxgxgx，所以()hx在(1,)+上没有零点；当1x=时，(1)0g=，5(1)4fa=+第12页共12页若504a+即54a−时，(1)min(1),(1)(1)0hfgg===，此时1x=是函数()hx的一个零点；若5+04a即54a−时，(1)min(1),(1)(1)0hfgf==，此时1x=不是函数()hx的一个零点；当01x时，因为()ln0gxx=−，则函数()hx的零点个数等价于函数()fx的零点个数：由()0fx=，可得214xax+−=，构造函数1(),(0,1)4gxxxx=+由对勾函数的性质可知()gx在1(0,)2上单调递减，在1(,1)2上单调递增，且当12x=时，函数min()1gx=，5(1)4g=所以当1a−，即1a−时，函数()gx与ya=−没有交点，所以()fx在(0,1)上没有零点；当54a−或1a−=，即54a−或1a=−时，函数()gx与ya=−有且只有一个交点，所以()fx在(0,1)上有且只有一个零点；当514a−时，即514a−−时，函数()gx与ya=−有两个交点，所以()fx在(0,1)上有两个零点综上所述：当54a−或1a−时，()hx有一个零点；当54a=−或1a=−时，()hx有两个零点；当514a−−时，()hx有三个零点.