连续函数在闭区间内是否一定有最大值?
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从直观上看,连续函数应该在闭区间有最大值,不过具体的严格证明不会。其实主要是下面一道题的证明突破口不知道在哪:设{fn(x)}是[a,b]上的连续函数列,且:f1(x)?f2(x)?f3(x)?.....?fn(x)?......若n->?时,fn(x)=f(x), x属于[a,b],证明:f(x)在[a,b]上有最大值。
贴子的标题与内容不符合.标题没有准备反映出内容.题目中的函数f(x)在[a,b]上可能不连续.
标题应起名为:单调递减的连续函数列的极限函数的性质(最大值性质).这个题怎么没有悬赏考元,哈哈.
回 楼主(ddsmile) 的帖子如此得到的函数f(x)是上半连续的,自然就有最大值。
回 3楼(zhangzujin) 的帖子那能用其他法来证吗,上半连续不是太常用哟,哈哈/'、、
回 4楼(tianliangzh) 的帖子(1)由条件,易知函数有上界,然后有上确界,(2)设出上确界的值,然后用类似于闭区间上连续函数有最大值的定理的证明过程,(利用函数列单减性与极限值的不等式,及每一项的连续性),可得结果.
回 2楼(xjsh) 的帖子考元不多啦,得下次用在刀刃上。谢谢你一直以来的热心解答哈。
回 5楼(xjsh) 的帖子(1)关于f(x)有上界是否是因为fn(x)在[a,b]上是连续函数有界从而得出f(x)也是有界的,(2)仿照最大值的证明过程有: 根据(1)对于任意的n属于N,存在xn属于[a,b],有M-1/n?f(xn)?M。 所以存在子列{xnk}使lim(xnj)=x0(j趋于无穷)有f(x0)?M。即有f(x0)=M。 (2)的证明过程是否严谨,另有一点不明白:既然fn(x)是连续函数,且n趋于无穷时fn(x)=f(x),那为什么f(x)不是连续函数,
回 7楼(ddsmile) 的帖子因为没有一致收敛,从而不一定
单调递减的连续函数列的极限函数的性质(最大值性质).楼主这道题证明的完整过程见附件.
回 楼主(ddsmile) 的帖子参见兰州大学 2004 年数学分析参考解答第7题。 f是上半连续容易验证。
回 10楼(zhangzujin) 的帖子你作的"兰州大学 2004 年数学分析参考解答",已下载,参阅.多谢.
谢谢两位热心解答~
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