线性代数
1设A,B是n阶矩阵,证明:AB与BA具有相同的特征值。
证明:
只需证明:若λ是AB的特征值,则λ也是BA的特征值。分两种情况: (1)λ?0。由λ是AB的特征值,存在非零向量x使得ABx=λx。所以
BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx,且Bx?0(否则λx=ABx=0,得λ=0,矛盾)。这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量,特别地λ也是BA的特征值。
(2)λ=0。此时存在非零向量x使得ABx=λx=0,所以AB不满秩,知det(AB)=0。从而det(BA)=det(AB)=0,BA不满秩,所以存在非零向量x使得BAx=0=λx。这说明λ=0也是BA的特征值。
证毕。
2设A是实可逆对称矩阵,B是实反对称矩阵且AB=BA证明A+B是可逆矩阵。 (证明要用到实反对称矩阵的特征值只能是0或者纯虚数)
3证明:A,B为n阶矩阵,I-AB可逆,则I-BA可逆
我们可以用反证法来证明:假设I-BA不可逆则必存在非零列向量X,使得(I-BA)X=0 即X=BAX;令Y=AX(Y不等于0,否则由X=BY可知X=0),则X=BY。则(I-AB)Y=Y-ABY=Y-AX=O;即存在非零解Y,使得(I-AB)Y=0 故r(I-AB)
表示,所以R(A)?R(B)+R(C) 即R(A)-R(B)?R(C)
即R(A-B)?R(A)-R(B)
若R(A-B)=R(A)-R(B),那么R(A-B)+R(B)=n, 又R(A-B)=R((E-BA^-1)A)=R(E-BA^-1)
所以R(E-BA^-1)+R(B)=n 于是(E-BA^-1)B=0,即B-(BA^-1B)=0,即B=BA^-1B-B