佳一数学2016年春季精英版教案 六年级-7 替换法、化归法

佳一数学2016年春季精英版教案 六年级-7 替换法、化归法 第7讲 替换法、化归法 [教学内容] 《佳一数学思维训练教程》春季精英版，六年级第7讲“替换法、化归法”。 [教学目标] 知识技能 1(学会用替换的思想建立数学模型，解决较复杂的问; 2(学会将陌生的问题转化为熟悉的问题，选择合适的解题。 数学思考 1(独立思考，找到解决问题的最佳思想并能够较清晰地达自己的想法; 2(运用方程的思想思考替换问题。 问题解决 1(掌握替换法和化归法解题的基本方法，体验解题方法的多样性，体会一题多解和多题一解的数学奥妙。 2(要养成用数学知识思考问题的习惯，多用数学思维来事理。 情感态度 1(体会数学在日常生活中的无处不在，感受数学的价值; 2(通过大胆发言，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立加强自身数学功底的自信心。 [教学重点和难点] 教学重点 掌握替换法和化归法的基本方法。 教学难点 抓住关键条件，进行有效地替换和知识迁移。 [教学准备] 动画多媒体语言课件 第一课时 教学过程: 教学路径 学生活动 说明 一、课前引入 师:同学们，上节课我们学习了用列表法和还原法解题的策略， 今天我们将学习两个新的策略——替换法和化归法(师板书 课题)，这两个方法和列表法与还原法一样，在我们的日常生 活、工作与学习过程中非常的实用。我想请一位同学说一说， 你是怎么理解什么是替换法的,? 生:替换法就是当一个问题中有两个或两个以上的未知量需要我 们求解的时候，就把所有的量替换成一个量，先求出这个量， 然后再求出其他的量。 ?让学生师:非常好，就是这个意思。其实替换法与等量代换有同样的意 知道什么 思(师板书:“替换法:等量代换”)，我国古代一个有名的 是替换法。 故事，曹冲称象大家听过吗,故事中，曹冲是如何称出大象 的重量的呢, 生:先把大象赶到一条船上，然后在船的外面与水接触的边缘处 画一条水位线，然后把大象拉到岸上，再往船上放石头，一 直到船下降到刚才的水位线处为止，然后称出石头的重量就 是大象的重量了。 师:这里曹冲是把哪两个量进行了替换, ?让学生生:大象的重量和石头的重量 知道什么(师板书:大象的重量=石头的重量) 是化归法，师:非常好，像这样的过程就是替换的思想。那么化归法就是什 给本节课 么样的策略呢,? 的学习作(若没有学生知道，老师可以直接说出来) 下铺垫。 生:就是把我们没有遇见过的、较复杂的问题转化、归结成我们 已经学过了、简单的问题，进而解决问题。 (师板书:化归法:从未遇见、复杂的?学过、简单的) 师:很好，举个例子，以前我们学习过的时钟问题，分针与时针 的夹角问题经常被我们化归为追及问题来解决。较为复杂的 盈亏问题也可以化归为长方形的面积来解决。 师:刚才我们对替换法和化归法有了一个初步的认识，也让我们 感觉到他们的重要性和实用性。今天就让我们一起回顾2013 年佳一十周年校庆，一起学习替换法和化归法吧～ 师:2013年，佳一数学10周岁了，佳一所有的老师为此举办了 一场精彩的庆典晚会。 课件出示十周年情景 师:我们刚刚所看到的这一切的背后，隐藏了所有人的智慧和汗 水。让我们一起走到台后看一看吧～ 二、呈现问题，小组合作探究 (一)教学例1 例1:黄老师负责运输物资，为此他租了5辆小货车和2辆 大货车，一共花了2500元，一辆大货车的租金比一辆小货车贵 200元，租一辆大货车和一辆小货车各需要多少钱, (1)学生读题，获得信息 师:同学们默读题目，从中找出已知条件。 生:从题中，我知道: 2辆大货车+5辆小货车=2500元 1辆大货车-1辆小货车=200元 (2)小组合作，解决问题 师:大家小组合作，探讨怎样解决问题,(教师巡视指导，了解 学生思路) (3)汇报解题思路? 生1:如果把2辆大货车换成2辆小货车就可以少花400元，这 样租7辆小货车的租金就是2100元。所以租一辆小货车的 ?通过交钱就是300元，那么租一辆大货车的钱就是500元。 流使学生 师:非常好，刚才***同学把大货车替换成了小货车，这种方法 知道并思 就是替换法，我们还可以怎么替换, 考一般情生2:可以把小货车替换成大货车。把一辆小货车替换成大货车， 况下，用替 就要多花200元，那么把5辆小货车替换成5辆大货车就要 换法解题 多花1000元，租7辆大货车就需要3500元，所以租1辆大 有两种甚 货车的钱就是500元，进而得知租1辆小货车的钱就是300 至更多的 元。 替换方法。 师:很好～如果用替换法可以把大货车换成小货车，也可以把小 货车换成大货车。 生3:老师，还可以列方程解决。设小货车x元运费，大货车(x ，200)元运费，根据“大货车运费，小货车运费,2500” 列出方程。 师:非常好，看来方程掌握的不错。大家学习新方法也不忘旧方 法，现在我们小组合作，用尽可能多的方法解决问题。 课件出示解析: 题干“5辆小货车和2辆大货车一共花了2500元”下划线。 下一步 大货车×2，小货车×5,2500 下一步 题干“一辆大货车的租金比一辆小货车贵200元”下划线。 大货车,小货车，200 课件出示答案: 小货车:(2500-200×2)?(5+2)=300(元) 大货车:300+200=500(元) 答:租一辆大货车需要500元;租一辆小货车需要300元。 (4)小结 用替换法解题时，替换哪个量就把哪个量用别的量表示出来。 (过渡)师: 做任何一场活动，物资的准备都是非常重要的，黄老师负责物资 的运输，确保了活动的顺利进行。在我们十周年校庆过程中，佳 一还自己创作了一部微电影和一首校歌，在微电影的制作过程 中，也有很大的数学学问哦，我们快来看一看吧～ (二)教学例2 例2:曹老师负责拍摄佳一微电影《心雨》(片长13分钟)和录 制佳一校歌《快乐佳一》(歌长3分钟)，所有制作时间加起来共 用了145小时，已知制作1分钟微电影所用时间可以制作2分钟 校歌，那么制作微电影和校歌分别用了多长时间, (1)学生读题，获得信息 师:同学们默读题目，从中找出已知条件。 生:从题中，我知道: 制作13分钟微电影时间+制作3分钟校歌时间=145小时 制作1分钟微电影时间,制作2分钟校歌时间 (2)学生汇报解题思路 师:给大家1分钟时间思考，然后我们汇报交流。 生甲:我想替换电影制作时间。制作13分钟微电影可以制作26 分钟的校歌，那么制作29分钟的校歌就用了145小时， 平均每制作1分钟校歌就要用去5小时，那么制作校歌就 要用去15小时。另外的130小时用来制作微电影。 师:非常正确，这里我们除了可以把制作微电影的时间替换成制 作校歌的时间，还可以反过来替换。同学们用自己喜欢的方 法把此题在书上完整地解答出来，请一位同学上黑板用“把 制作微电影的时间替换成制作校歌的时间”的方法来把这题 的解题过程写出来。 课件出示解析: 题干“曹老师负责拍摄佳一微电影《心雨》(片长13分钟)和录 制佳一校歌《快乐佳一》(歌长3分钟)，所有制作时间加起 来共用了145小时”下划线。 下一步 制作1分钟微电影时间×13+制作1分钟校歌时间×3=145小时 下一步 题干“已知制作1分钟微电影所用时间可以制作2分钟校歌”下 划线。 下一步 制作1分钟微电影时间,制作2分钟校歌时间 (点击换一换按钮进行替换) 课件出示答案: 制作1分钟校歌时间:145?(13×2+3)=5(小时) 制作校歌时间:3×5=15(小时) 制作微电影时间:145-15=130(小时) 答:制作微电影用了130小时，校歌用了15小时。 (3)简单介绍视频制作? 师:有同学可能不理解，制作一首3分钟的校歌怎么会用那么长 时间呀,其实15小时还算少的呢，我们录制一首歌曲首先 要作词、作曲，然后制作成音乐，接着要让歌手录音、合成， 录完后要编辑、调整、完善，最后才做出了成品，这过程是 非常复杂的。一首音乐就这么麻烦，制作一部有图像的微电 影就更加麻烦了，有时为了录一个5秒钟的片段需要花上1 个小时的时间呢～课后就让我们一起欣赏佳一的微电影和校 歌，好吗, 生:好～ 师:好的。任何一场活动，都会涉及到用钱，佳一十周年庆典过 程中的花费项目相当多，难免会出现一些错误，不过这可逃 不过负责财务的金老师的法眼～ (三)教学例3 例3:金老师负责费用统计，她发现租花的费用多记了10元，后 经核实才知道100盆一串红和80盆菊花在记账的时候把数量记 反了，正确的金额应该是220元。那么租一盆一串红需要多少钱, (1)学生读题，获得信息 师:同学们默读题目，从中找出已知条件。 生:从题中，我知道: 100盆一串红+80盆菊花=220元 ?向学生80盆一串红+100盆菊花=230元 们解说制(2)小组合作，讨论解题思路 作音视频师:很好，下面应该怎么办呢,同桌之间相互讨论，看看应该如 的大概步何进行替换, 骤，一方面生1:我们是这样想的，可以用下面一个式子减去上面一个式子， 帮助他们得到20盆菊花比20盆一串红多10元，那么租1盆菊花就 进一步理比1盆一串红多0.5元，然后用例1的方法就可以了。 解题意，另生2:我们是这样想的，把上面两个式子加起来，可以得到180 一方面帮盆一串红+180盆菊花=450元，那么1盆一串红+1盆菊花 助学生增=2.5元，所以80盆一串红+80盆菊花=200元，再用第一个 加常识。 式子减去这个式子，就得到20盆一串红需要20元，租一 盆一串红需要1元。 (学生们可能会有很多想法，让学生一一讲解。) 180盆一串红+180盆菊花=450元 师:看来同学们的方法真是特别的多，但不管是哪个方法，都是 运用了替换的思想来解决的。下面大家用自己喜欢的替换方 式来把这道题解答完整。 课件出示解析一: 课件出示答案: 1盆菊花-1盆一串红=0.5元 (220-80×0.5)?(100+80)=1(元) 答:租一盆一串红需要1元。 课件出示解析二: 课件出示答案: 1盆菊花+1盆一串红=2.5元 (220-80×2.5)?(100-80)=1(元) 答:租一盆一串红需要1元。 (四)教学例4 师:庆典活动准备得差不多了，几位老师负责分发礼品: 例4:赵、钱、孙、李四位老师负责分发晚会来宾的礼品，赵老 3师发的礼品数是其他三位老师发的礼品总数的。钱老师发的礼 11 5品数相当于其他三位老师发的礼品总数的，孙老师发的礼品数 9 9是其他三位老师发的礼品数总数的，李老师发了108件礼品， 26 则四位老师共发了多少件礼品, (1)学生读题，获得信息 师:从题目中你了解到了哪些信息, (生自由回答) (2)小组合作，讨论解题思路 3师:从“赵老师发的礼品数是其他三位老师发的礼品总数的，”11 这个条件中，你能得到什么, 3生1: 赵老师发的礼品数是其他三位老师发的礼品总数的，把11 “其他三位老师发的礼品数”看作“1”，把“1”平均分成 11份，赵老师发的礼品数占了其中3分，那么四人一共发了 314份的礼品，赵老师发的礼品数占了四人发的总数的。 14 5生2:同样的道理钱老师发的礼品数占了四人发的总数的。孙14 9老师发的礼品数占了四人发的总数的。 35 生3:这样就可以知道李老师发的108件礼品占总礼品数分率。 (3)学生独立完成 课件出示解析: 3题干“赵老师发的礼品数是其他三位老师发的礼品总数的”下11 划线接着出文字:赵老师发的礼品数是全部的 ，下一步 题干“钱老师发的礼品数相当于其他三位老师发的礼品总数的 5”下划线接着出文字:钱老师发的礼品数是全部的 ，下9 一步 9题干“孙老师发的礼品数是其他三位老师发的礼品数总数的”26 下划线接着出文字:孙老师发的礼品数是全部的 ，下一步 李老师发了108件礼品是全部的 。 3596下一步 上面横线上填:1,,,, 14143535 课件出示答案: 35961,,,, 14143535 6共发礼品:108?,630(件) 35 答:四位老师共发了630件礼品。 (4)小结 师:题中所有分率的单位“1”不一样，我们可以运用转化的思 想，以礼品总数为单位“1”。 (五)教学例5 师:这次庆典举办得非常成功，庆典结束后: 例5:崔老师负责嘉宾的接送工作，晚会结束后，他要送一位嘉宾去机场。如果每小时行72千米，则正好可以赶上飞机。为了防止交通堵塞，崔老师每小时行90千米，结果提前了10分钟到达机场，请问会场到机场有多远, (1)学生读题，分析题意，小组讨论 师:从题目中你们了解了哪些信息,你有什么想法, 生1:我是这样想的，首先是统一单位，速度是每小时几千米， 111所以把10分钟换成时， 时原本可以走72×,12(千666 米)，现在每小时行90千米，每小时比原来多行12千米。 师:非常好，接下来呢, (2)将盈亏问题转化为面积问题 生2:因为“路程=速度×时间”与“长方形面积=长×宽”的形 式是一样的，所以我们可以把这个问题转化成长方形的面 积来求解。 课件出示解析: (动画分步出示两个长方形;点击下一步出示长方形的面积表示会场到机场的距离) 生:因为长方形的面积表示这里的总路程，所以面积是不变的， 进而图中阴影部分A和B的面积也是相等的。可以得到B的 12长为72×?(90-72)=时。进而得到总路程。 63 师:说的非常好，这里是把行程问题转化成了面积来解答，使题 目更加容易理解。同学们把这道题在书上解答完整。 课件出示答案: 110分钟=小时 6 1272×?(90-72)=(小时) 63 2 ×90=60(千米) 3 答:会场到机场有60千米。 三、课堂小结 师:说一说，这节课你有什么收获, 第二课时 教学过程: 教学路径 学生活动 方案说明 一、课前引入 师:今天我们学习的替换法和化归法的应用只是这两个策略的一 小部分应用，今后我们还会接触到更多的问题需要用到这两 个策略。下面就让我们一起完成拓展问题。 二、解决拓展问题 (一)拓展问题一 1. 庆典晚会采购了一些布置会场用的鲜花。经过了解，买20 盆一串红、20盆菊花、20盆杜鹃花，用了120元;买40盆一串红、 30盆菊花、20盆杜鹃花，用了160元;买50盆一串红、40盆菊花、 20盆杜鹃花，用了190元。那么三种花每盆各多少钱, (1)根据题意写出关系式 师:从题目中你了解到了什么,你能根据条件得到什么, 生:根据条件可以得出下列几个关系式: 20盆一串红，20盆菊花，20盆杜鹃花,120元 40盆一串红，30盆菊花，20盆杜鹃花,160元 50盆一串红，40盆菊花，20盆杜鹃花,190元 师:大家说的非常好，三个未知量三个等式，怎样求出三种花每 盆各多少钱, (2)小组讨论，根据关系式求三种花的价钱 课件出示解析: 等式?,?可得:20盆一串红，10盆菊花,40元?下一步 等式?,?可得:10盆一串红，10盆菊花,30元?下一步 等式?,?可得:10盆一串红,10元，则1盆一串红,1元? 下一步 将?代入?中可得:1盆菊花,2元? 下一步 将??代入?中1盆杜鹃花,3元 答:1盆一串红1元，1盆菊花2元，1盆杜鹃花3元。 (3)方法总结 此题运用了加减法消去未知量: 第一步:利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数 化成相等或相反数的形式; 第二步:再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相 减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程(一定要将方程 的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数 相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法); 第三步:解这个一元一次方程，求出未知数的值; 第四步:将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程 中，求出另一个未知数的值;加减消元法 第五步:用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解; 第六步:最后检验求得的结果是否正确 (二)拓展问题二 2.黄老师把一批纪念水杯专门承包给一个人来运送，一共要 运1000个，每一个运费是1元，如果损坏一个不仅没有运费， 还要赔偿10元，最后黄老师给了他890元，则损坏了多少个, 思路:如果一个都没有损坏，那么运费就是1000元，每把1 个替换成损坏的，搬运者就要损失11元，因为一共损失了110 元，所以有10个水杯损坏了。 (三)拓展问题三 3. 欢欢和乐乐两人身上的钱数比为7:3，后来两人都花了14 元钱买了同一本书，这时他们的钱数比为7:1，求欢欢和乐乐原 来各有多少钱, (1)小组讨论，讨论解决方案 师:读完题后，大家有什么想法,你打算怎样解决问题, 大家小组讨论。 (2)汇报讨论结果 生1:我想设出开始两人的钱数，再根据“后来两人都花了14 元钱买了同一本书，这时他们的钱数比为7:1”列出方程 进行求解。 生2:“欢欢和乐乐两人身上的钱数比为7:3”也就是说开始时乐 3乐的钱数是欢欢钱数的，“后来两人都花了14元钱买7 了同一本书，这时他们的钱数比为7:1”也就是说后来花 1了14元以后，乐乐钱数是欢欢钱数的，设出开始时乐7 乐的钱数，再列出方程。 (3)学生独立完成 课件出示解析一: 欢欢和乐乐两人钱数差不变。 (下一步) 课件出示答案: 7:3=21: 9 ; 7: 1=14: 2 21-14=7(份); 14?7=2(元) 21×2=42(元) ; 9×2=18(元) 答:欢欢原来钱数42元，乐乐原来钱数18元。 课件出示解析二: 设开始两人的钱数分别为7 x元和3 x元，那么花14元后，欢 欢的钱数为: 乐乐的钱数为: 。下一步:横线上分别填(7 x,14)元 (3 x,14)元 课件出示答案: 解:设开始两人的钱数分别为7 x元和3 x元，根据题意列方程: (7 x,14):(3x,14),7:1 解得 x,6 那么欢欢原来钱数:7×6,42(元) 乐乐原来钱数:3×6,18(元) 答:欢欢原来钱数42元，乐乐原来钱数18元。 方法三: 题干“欢欢和乐乐两人身上的钱数比为7:3”下划线， 3乐乐钱数是欢欢钱数的，下一步: 7 题干“后来两人都花了14元钱买了同一本书，这时他们的钱数 比为7:1”下划线， 1也就是说后来花了14元以后，乐乐钱数是欢欢钱数的。 7 3设:原来欢欢的钱数是x元，那么原来乐乐的钱数为 x元，7那么花14元后，欢欢的钱数为: 乐乐的钱数为: 。下一步:横线上分别填(x,14)元 3( x,14)元 下一步: 7 根据题意列方程: 13(x,14), x,14 77 解得 x,42 3那么乐乐的钱数为×42,18(元) 7 答:欢欢原来钱数42元，乐乐原来钱数18元。 (四)拓展问题四 4. 一辆快车与一辆慢车分别从甲、乙两地同时相向开出，快车经过12小时到达乙地，慢车经过15小时到达甲地，已知平均每小时快车比慢车多行10千米，求甲、乙两地的路程。 (1)学生小组合作，画出图形，将问题转化为长方形的面积来 求解 生:我用横轴代表时间，纵轴代表速度画出图形。 (2)汇报画图步骤和思路 思路:转化成面积如下图: 课件出示答案: 慢车的速度是: 12×10?(15,12)=40(km/h) 甲、乙两地的路程:40×15=600(km) 答:甲、乙两地的路程为600千米。 (五)拓展问题五 5.化归思想在一些重要结论的证明过程中起着非常重要的作用，下面就请你用化归思想证明下面的结论: 右图中，ABCD是任意的梯形，E是梯形腰AB的中点，试说明阴影部分面积是梯形面积的一半。 (1)思路:把较难的问题转化成等高三角形的问题来解答，使 问题变得简单很多。 (2)讲解过程: 课件出示解析:(动画过E点作梯形的高) 点击下一步出示: 阴影部分的面积=梯形面积-空白三角形的面积 点击下一步出示: 梯形面积=(上底+下底)×高?2 空白三角形的面积=上底×高?2?2+下底×高?2?2 =(上底+下底)×高?2?2 师和学生共同探讨其他的解题办法。 如图，过E作EF平行于AD交CD于F， 下一步连接AF 三角形DEF和三角形AEF等底等高，三角形DEF面积,三角形AEF面积下一步 所以三角形EDC面积=四边形AECF的面积 下一步 然后连接AC，我们发现由于E是AB的中点，所以三角形AEC的面积是三角形ABC面积的一半，同样的，三角形AFC面积是三角形ADC面积的一半，所以阴影部分四边形的面积就是梯形面积的一半，最终证明原图中阴影部分面积是梯形面积的一半。 三、课堂小结 师小结:今天我们学习了替换法和化归法，在解题的过程中，其 实我们也能感觉到替换法与化归法有共通之处，都有变 换、转化的意思在里面，希望大家在未来的学习过程中， 要多动脑筋，灵活思考，更加熟练地运用我们学习过的策 略。今天的课就到这里。同学们再见～ (老师可以播放佳一校歌送孩子们出教室) 本讲教材答案: 教材: 例1:大货车500元，小货车300元 例2:微电影130小时，校歌15小时 例3:1元 例4:630件 例5:60千米 拓展问题: 1. 1盆一串红1元，1盆菊花2元，1盆杜鹃花3元。 2. 10个 3. 欢欢原来有42元，乐乐原来有18元。 4. 600千米 5. 略