【doc】利用格林函数法求解平面上的狄氏问题

【doc】利用格林函数法求解平面上的狄氏问题 利用格林函数法求解平面上的狄氏问题 第9卷第2期天,挂术师范雠'报 1999年6月JOURNAlOFF]?,NJINVOCATION~1TECHNICA1.TEACHERS'COIJEGE Vo1.9.N0.2 J…l999 利用格林函数法求解平面上的狄氏问题 关泽满 河东职工大学天津300160) 摘要本文通过推导二维情况下的第二格林套式,以及调和函数的积分达式.通过 定义平面上的格林函数,最后求出平面上的狄氏问题的解的表迭式. 关键词格林格林函数调和函数平面狄氏问题 1首先证明:平面上的第二格林公式 4(vv:U—UvV)d8:f(vi3U—u百3V)ds,… 由于平面上的格林公式 j(罢一票)fPdx+Qdy 设U(x,y),V(x,y)在D+C上具有一阶连续偏导数,在D内有二阶连续偏导数,令 P=一u詈Q=u罢一熹=u等+等?詈,罢:等+?詈 代人?式得: Ju(出v+等)+(OU?3V+詈,詈)]舱:』(u詈dr-x) 在《2)式中将U与V互换位置得: J【V(罢+等)+(3V?3U+詈?-)]da=fVa一V詈ax (3)式一(2)式得:f(vvu—uVV)d8 : fv(~-dy一x)_罢挚x) 设T为曲线C在任一点M的切向,n为其外法向 则!dx=c0sfT.x)ds=一COS(n,v)ds 收稿日期:1999—04一I2 {1) (2) (3) 第9卷第2期盖汗满:利垌格林数法求解平面的狱氏问题 dy=COS(T,Y)ds=cos(n,xJds 故:a一詈=[…s(n,x)+詈c.s()】as 同理可得:8Vdy一詈dxds . ? . I(VVu州V)d8=一u 即为平面上的第二格林公式 2下面我们推导二维情况下的调和函数的积分表达式 (4) 设平面区域D的边界是L,U,V为在D+L上具有一阶连续偏导数,在D内具有二 阶连 续偏导数的函数,由公式(4)知 J(vvu—uVv)d8一U~-)ds 设(x,)为区域D内的任一定点,并取V=I 则除了M.点为V的奇点外,在其它各处均有: VV=罢+32V=.即V=I-{满足拉氏方程 在D内作以M为心,s为半径的小圆Fs,其边界用Ls表示,则V在D—Fs内为调和 函数 以D—Fs代替D,则有 j(-n?7~U-UvnI)as=.[-詈一善cI?】as 而 _1 在D—Fs内VzZn~:O,在圆周Ls上,外法向n的指向与r的指向相反 故杀(II?)Or(-n?)=Or-nr=?=rrS - . }u杀(?n?)as=e??' 由中值,表示U在Le上的某点?处的值(也可看作U在h上的平均值) f.n?yds=sI-?.(由中值定理) f(1n~-U)daI?等u杀(n?)】as+sn?.一 _昌 天津职业技术师范学院999年6月 当8—?0时D—r8一D.?n)删?__2一o,8n8nlI… M8 2"uein~叫】令,o得 O8n. 』(-u=f【-n?票一u鲁(n?)]:U(M.) 设u为调和函数,则VU=0则上式得: rI?票一UO(In+)]dU(Ml1)=o . ? . U(M.)=1f[I|l?票一u(InI/]ds. 此式即为在二维情况下调和函数的积分表达式. (51 3在完成上述的推导后,下面我们来定义平面上的格林函数.并推导出狄氏问 题解的表达式 设:D是平面上述段光滑曲线L所围成的区域,M(x.yo)是D内某一固定点,对平面 上任 一 点M(x,y),令r(m,Mo)=_ 并取函数V(M,)满足: rVV0 1Vl=击-nI.. 则:G(M,M.)=_ln丽一V(M,M.)为平面上的格林函数. 设D上的调和函数U(M)满足边界条件, U』=f(M)(在L上f(M)为已知) 但V也在D上调和,故由平面第二格林公式得:』(V等一u票)ds=0 由调和函数积分表达式(5)知U(M.)=1Itn?鲁一u(In?)】ds 将:寺n?=G+V代入上式,即得U(M.)=一』f(M)~-ds 则r式即为平面E狱氏问题的解的表达式. 参考文献 I南京工学院数学教研组编数学物理方程方程与特殊函数.北京:高等教育出版社,197:8:85,95 2甘以炎,朱樵.数学.北京:水利出版社.1982:419—42,4'