第4章-数值积分PPT课件

*经典Gauss积分方法积分方程的数值求解*教学内容1、插值型求积公式线性和二次求积公式；求积公式的代数精度；求积公式的误差分析；复合求积公式；高斯求积公式；MATLAB中的数值积分函数。2、积分方程的数值求解积分方程的数值求解的思路分析；积分方程的数值求解方法介绍。教学要求了解各种数值积分方法的思路；掌握数值积分及误差分析方法；编程实现数值积分算法。问题的提出计算定积分有微积分基本公式但很多函数找不到原函数，如等。而实际上，有很多函数只知一些离散点的函数值，并无表达式，这就需要利用已知条件求出近似值。§5.1经典方法由积分中值定理知道，在积分区间[a,b]内存在一点，使：成立。即底为b-a而高为的矩阵面积恰等于所求曲边梯形的面积。问题点的具体位置一般是不知道的，所以难以得到。解决提供一种算法求解，则相应地便获得一种数值求积方法。用右矩形公式计算定积分：更一般地，我们可以在区间[a,b]上适当选取某些节点然后用加权平均得到平均高度的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：机械求积公式求积节点求积系数梯形公式中矩形公式左矩形公式右矩形公式例.梯形公式:abA0=(b–a)/2A1=(b–a)/2例.中矩形公式:A0=(b–a)ab代数精度的概念例确定求积公式的代数精度分析：用最简单的函数来验证。解：所以该求积公式的代数精度m=3。当时当时当时当时不难验证，欲使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于，都能准确成立，即梯形公式A0=(b–a)/2A1=(b–a)/2A0=(b–a)中矩形公式1次代数精度如果我们实现选定求积节点，譬如，以区间[a,b]的等距分点作为节点，这时取m=n求解方程组即可确定系数，而使求积公式至少具有n次代数精度。1次代数精度插值型的求积公式称为插值型求积公式。如果求积公式是插值型的，按照上面的余项公式，对于次数n的多项式f(x),其余项等于0，因而这时要求求积公式至少具有n次代数多项式。由插值多项式的余项定理，知道插值型求积公式，其余项为：反之，如果求积公式至少具有n次插值精度，则它必定是插值型的。例：求插值型求积公式并确定其代数精度。分析：实际上该题目是求A0，A1，并确定其代数精度。解（1）因为是插值型的，且从而求积公式为：因为n=1，插值型代数精度大于等于n，以下验证代数精度从m=2开始对从而代数精度(2)因为是插值型的,所以代数精度大于或等于1,因而对x0=1,x1该公式精确成立，即有方程组牛顿-柯特斯公式当n=1时当n=2时辛普森公式可以验证代数精度=3当n=4时柯特斯公式可以验证代数精度=5梯形公式几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项1.梯形公式的余项若在上连续，则梯形公式的余项为：2.辛普森公式的余项若在上连续，则辛普森公式的余项为：3.柯特斯公式的余项若在上连续，则柯特斯公式的余项为：定理当阶n为偶数时，Newton-cotes公式至少具有n+1次代数精确度.Cotes系数表：根据柯特斯系数表，时出现负值，公式不稳定。高次插值不稳定故采用分段低次插值复化求积分法已知对求积分来说高次亦不稳定采用分段低次的Newton-Cotes复化求积公式。所以复化求积法：将积分区间[a,b]分为n等份，步长，分点为。先用低阶的牛顿-柯特斯公式求得每个子区间上的积分值，然后再求和，用作为所求积分的近似值。复化梯形公式：在每个上用梯形公式：所以在整个区间[a,b]上：其积分余项：复化辛普森公式：记子区间的中点为，则余项：复化柯特斯公式：如果将每个子区间四等份，内分点依次记为，则余项：例：根据数据表利用复化求积分公式求的值。xif(xi)01/81/43/81/25/83/47/8110.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.87719250.8414709解：将积分区间[0,1]划分为8等份，应用复化梯形法求得：用复化辛普森公式：将积分区间[0,1]划分为4等份，应用复化辛普森公式用复化柯特斯公式：将积分区间[0,1]划分为2等份，应用复化柯特斯公式积分的准确值：I=0.9460831复化梯形法：I=0.9456909复化辛普森法：I=0.9460832复化柯特斯法：I=0.94608292位有效数字6位有效数字5位有效数字龙贝格算法RombergIntegration前面介绍的复化求积分方法对提高精度是行之有效的，但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加。而先给出一个恰当的步长又往往是最困难的。问题：：实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直至所求得的积分值满足精度要求为止。梯形法的递推化：将求积区间[a,b]分成n等份得n个小区间，则一共有n+1个分点。按照梯形公式计算积分值需要提供n+1个函数值。令则1如果将求积区间再二分一次，即做2n等分，则分点增加至2n+1个。记的中点为2其中h为二分前的步长3递推公式例用变步长梯形法求解解：函数，，然后再将区间二等分，再求出中点的函数值利用递推公式进一步将区间二等分，再求出中点的函数值利用递推公式同理：准确值x=0.9460831问题：梯形法的算法简单，但精度较差，收敛的速度缓慢。（例如前面的方法需要二分9次才能得到6位精度）如何提高收敛速度以节省计算量，自然就成为我们极为关心的问题。梯形法的误差公式：其大致与成正比。当二分以后因此由此可见，只要二分前后两个积分值和相当接近就可以保证计算结果的误差很小。即事后估计法。1结论：2准确值x=0.9460831两位有效数字六位有效数字例问题：这种效果很好的组合，其实质是什么？经过验证易知：就是说，用梯度法二分前后的两个积分值和，按照前面的线性组合，结果得到的是辛普森法的积分值S。辛普森法的误差大致与成正比，因此二分后误差减为原来的1/16，即有：就是说，用辛普森法二分前后的两个积分值和，按照前面的线性组合，结果得到的是柯特斯法的积分值同理，依据柯特斯法的误差公式可以进一步导出龙贝格公式(Romberg)：在变步长的过程中，运用上面三个公式，就能将粗糙的梯形值逐步加工成精度较高的辛普森值、柯特斯值和龙贝格值。结论：计算步骤kT2kS2k-1C2k-2R2k-300.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569090.94608330.94608310.9460831§5.2Gauss积分方法首先选定求积节点，然后按某种原则确定权(求积系数)的大小。前面讨论的经典数值积分方法，无论是矩形方法，还是辛普森，柯特斯方法，其形式均为其中分别称为积分系数和积分节点。对于插值型求积公式，其代数精度代数精度构建途径如果将积分节点和积分系数同时作为待定，使得求积公式有尽可能高的代数精度(节点数为N+1，则代数精度最高为2N+1)，这样的数值积分方法称为Gauss方法，求积节点称为Gauss节点。定义：例：考虑两点插值型求积公式寻找使其具有三次代数精度的积分节点和积分系数。解：取f(x)=1,x,x2,x3(1)(2)(3)(4)(4)-(2)×x02x12=x02(3)-(1)×x02x02=1/3显然,A0=1,A1=1.代数精度为3的数值求积公式为构造变换前面我们已经解决了区间为[-1,1]的两点Gauss积分的推导。对于任意区间[a,b]上的Gauss积分，其积分公式应该如何推导呢？问题：解决方案t∈[-1,1]例.用两点Gauss公式计算解:作变换x=0.5(t+1),则取=0.9460411对于插值型求积公式，其节点是高斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式。与任意次数不超过n的多项式均正交：定理：不失一般性，可取a=-1，b=1而考察区间[-1,1]上的高斯公式而勒让德多项式是区间[-1,1]上的正交多项式，因此，勒让德多项式的零点就是上面求积公式的高斯点。上面的求积公式特别地成为高斯-勒让德公式。Gauss型节点是多项式的根，因此与正交多项式联系起来，还有其他一些几种常用求积公式。1.Gauss-chebyshev（切比雪夫）求积公式2.Gauss-Laguerre（拉盖尔）求积公式3.Gauss-Hermite求积公式收敛、稳定；计算量小，代数精度高。Gauss点难求（即多项式的根难求）；Gauss点是无理数，Gauss求积系数也是无理数。优点：缺点：Gauss方法的优缺点：§5.3积分方程的数值求解1.积分方程：方程中含有积分，而积分中又含有未知函数的方程。2.第二类Fredholm积分方程一般形式：其中K(t,s)称为该积分方程的核函数，λ为一参数。为简单计，一般假设函数K(t,s)和f(t)充分光滑，即其中，是正数。数值求解积分方程方法基本思想：利用数值积分代替方程中的积分。如果取某一数值积分公式，其中是求积节点，是求积系数。将下式的积分项用数值积分代替，则有将写成分量形式其中为已知。将其写成矩阵形式，则有其中只要满足不是矩阵B的特征值，则线性方程组有唯一解。将线性方程组的解代入下式，即得积分方程的近似解1．思考题1中的(b)、(c)、(d)，思考题2作业2．习题2，3，6