第十章1 微幅波理论波浪理论

第十章波浪理论海洋波浪是海洋中的周期性的波动现象，是海洋中最常见的现象之一，是岸滩演变、海港和海岸工程最重要的动力因素和作用力。波浪对于沿岸地区的泥沙运动起着关键作用，波浪不仅能掀动岸边的泥沙，而且还会引起近岸水流，海岸地区大规模的泥沙输移大多是波浪和水流共同作用下完成的。因此，了解波浪运动的特性是研究近岸泥沙运动和岸滩演变的基础。§10-1概述波浪理论是流体力学最古老的分支之一，它用流体力学的基本规律来揭示水波运动的内在本质，如波浪场中的水质点速度分布和压力分布等。目前，对于波浪作用的研究一般从两个领域进行。一个领域是对液体的波动从流体力学的角度加以研究，研究液体内部各质点的运动状态，这种研究一般包括线性波浪理论和非线性波浪理论两大类。另一个领域将海面波动看作是一个随机过程，研究其随机性，从而揭示海浪内部波动能量的分布特性，从统计意义上对液体内部各质点的运动状态进行描述，研究其对工程结构的作用。本文从第一个领域的研究出发对该理论进行阐述。波动现象的一个共同特征，就是水的自由面呈周期性的起伏，水质点作有规律的振荡运动，同时形成一定的速度向前传播。水质点作振荡运动时，波形的推进运动可用图2-1说明。c56'7'45'678'O1O2O33O44'O5O6O7O81'23'812'图10-1波形的推进运动在静止水面上取一系列彼此距离相等的水质点O1、O2、O3、…，设水面波动时这些质点各围绕其静止时的位置按圆形轨道作振荡运动。在时刻t，上述质点位于实线表示的波面上，或者说t时刻的波面是由上述相位依次落后（图中依次落后π4/）的水质点组成。经过Δt时刻后（图中所示为经过T8/时间后），每个水质点都同时在自己的轨道上走过了一段相等的弧长，于是水质点从1、2、3、…的位置运动到1′、2′、3′、…的位置。从而，组成了如图中虚线表示的新波面，此即为我们所见的波形向前传播的现象。现研究一列沿正x方向以波速c向前传播的二维运动的自由振荡推进波，如图2-2所示，x轴位于静水面上，z轴竖直向上为正，波浪在xz平面内运动。一般而言，任何一个特定的波列可通过H,T,h或H,L,h确定，其中H为波谷底至波峰顶的垂直距离，称波高；L为相邻两波峰顶的距离，即波长：波浪推进一个波长所需时间为周期T；h为水深，指静水面至海底的距离；η是波面至静水面的垂直距离。波长L波速c波峰z波峰平均海平面η波高x波谷波谷波长Lh水深图10-2推进波各基本特征参数示意图建立简单波浪理论时，为了简化起见一般作如下假设：流体是均质和不可压缩的，其密度为一常数；流体是无粘性的理想流体；自由水面的压力是均匀的且为常数；水流运动是无旋的；海底水平、不透水；流体上的质量力仅为重力，表面张力和柯氏力可忽略不计；波浪属于平面运动，即在xz平面内作二维运动。根据流体力学原理，在上述假定下的波浪运动为势运动，这种波浪称为势波。其水质点的水平分速u和垂直分速w可由速度势函数φ=(,,)xzt导出，即：∂φ∂φu(,,)xzt=,φ(,,)xzt=(10-1)∂x∂z由流体的连续方程∂u∂w+=0(10-2)∂x∂z将二式联立可得势波运动的控制方程，即拉普拉斯(Laplace)方程：∂2φ∂2φ+=0(10-3)∂x2∂z2求解上述方程，需要确定边界条件，二维波动满足的边界条件包括：(1)在海底表面，水质点垂直速度应为零，即w|z=−h=0(10-4)也即：∂φ=0,(z=−h)(10-5)∂z(2)在波面z=η处，满足动力边界条件和运动边界条件，分别为：∂φ1∂φ∂φ+[()2+()2]+gη=0(10-6)∂tz=η2∂x∂zz=η∂η∂η∂φ∂φ+⋅−=0,(z=η)(10-7)∂t∂x∂x∂z(3)上、下两端边界条件。对于简单波动，认为它在空间和时间上是周期性的，即：从空间和时间上看，同一相位点上的波要素值是相同的。可以写成：φ()(xzt,,=φxLzt+,,,,)=φ(xztT+)其中，L、T分别为波浪的波长和周期。而对于二维推进波，波场上下两端面边界条件可写为：φ(,,)(,)xzt=φx−ctz(10-8)式中，c为波速，x−ct表示波浪沿x正方向推进。从上面可以看出，描述波浪运动的方程（10-3）是线性的，但是边界条件（10-6）和（10-7）是非线性的，所以，对于由方程式(10-3)及(10-5)～(10-8)构成了波动方程的定解问题仍然是一个非线性问题，而对方程及非线性边界条件的不同处理形式，就形成了用于行波计算的多种波浪理论。下面将分几小节简要介绍一下波浪求解的几个基本理论。§10-2微幅波理论——线性波理论线性波理论是将原来的非线性问题简化成线性问题然后进行求解。为了将波动问题线性化，做出如下假定：①流体是均质的、不可压缩的理想流体；②质量力只有重力，运动是无旋的；③波动振幅相对于波长及水深是微量，因而水质点的运动是缓慢的；④自由表面的压强为常值。它首先由Airy于1845年提出，所以又称Airy波理论。微幅波理论是势波理论中最简单的一种，是研究复杂波浪理论的基础。从微幅波理论得出的结果可以近似用于实际计算，因而微幅波理论在波浪理论中占有很重要的地位。一、微幅波方程及其解根据上面的这些假定可知式（10-6）和（10-7）中的非线性项与线性项的比值是小量，可以略去，方程中仅保留线性项，这样问题就得到简化。简化后，（10-6）和（10-7）可以分别表示为：∂φ+gη=0,(z=0)(10-9)∂t∂φ∂η−=0,(z=0)(10-10)∂z∂t二式联立可得：∂2φ∂φ+g=0,(z=0)(10-11)∂t2∂z对方程采用分离变量法，并利用边界条件，即根据定解条件设速度势φ()x,,zt=A(z)sin(kx−σt)代入拉普拉斯方程（10-3），有2A′′()z−kA(z)=0kZ−kZ解之得：A()z=C1e+C2e最后可得到势函数φ的解为：gHcosh[k(z+h)]φ=sin(kx−σt)(10-12)2σcosh(kh)此时，自由水面波面曲线由式(10-9)可得：Hη=cos(kx−σt)(10-13)2将(10-12)代入自由表面边界条件(10-11)可得色散方程：σ2=gktanh(kh)(10-14)它表明波浪运动中的角频率σ、波数k和水深h之间存在的相互联系。若将以上所得微幅波理论解简化，可以得到深水和浅水两种极端情况的解。gH深水波：φ=ekzsin(kx−σt)(10-15)02σgH浅水波：φ=sin(kx−σt)(10-16)s2σ根据势流理论，由式(10-12)可得流体内部任一点(,)xz处水质点运动的水平分速u和垂直分速w分别为：∂φπHcosh[k(z+h)]u==cos(kx−σt)(10-17)∂xTsinh(kh)∂φπHsinh[k(z+h)]w==sin(kx−σt)(10-18)∂zTsinh(kh)二、质点运动轨迹波动场内静止时位于(,)x0z0处的水质点，在运动的任一瞬间，假定水质点在静止位置微幅运动，可以认为任何时刻水质点的运动速度都等于流场中(,)x0z0处的速度，将流速对时间t进行积分就可以得到水质点的迁移量：Hcosh[k(z+h)]ξ=−0sin(kx−σt)(10-19)2sinh(kh)0Hsinh[k(z+h)]ζ=0cos(kx−σt)(10-20)2sinh(kh)0Hcosh[k(z+h)]Hsinh[k(z+h)]若令：a=0,b=02sinh(kh)2sinh(kh)可得到水质点运动轨迹方程：()()x−x2z−z20+0=1(10-21)a2b2H此轨迹为一封闭椭圆，水面处b=即为波浪的振幅，水底处b=0，说明2水质点沿水底只作水平运动。如图2-3示：h11h1h1<(浅水波)<<>(深水波)L2020L2L2(a)(b)(c)图10-3波浪水质点运动轨迹三、微幅波的压力场根据线性化了之后的伯努力方程，可以求得波压力的表达式：∂φp=−ρgz−ρ∂t若将势函数表达式代入，则就有：Hcosh[]k()z+hp=−ρgz+ρgcos(kx−σt)(10-22)2cosh()kh可以很容易地看出，波压力由两部分构成，等号右边的第一项就是由静水压力产生的压力，第二部分则是由波浪运动产生的周期性的压力。周期性的压力随水深的增加，迅速减小。深水情况下，压力表达式可以简化为：p=ρg(ηekz−z)。(10-23)浅水情况下，压力表达式可以简化为：p=ρg(η−z)。(10-24)由上可以看出，浅水波的动水压力沿水深是一个常数，它不会随质点位置的变化而变化。波压力对结构物的作用情况，将在后面几节中作详细探讨。四、微幅波的波能和波能流波浪是平衡水受到外力的作用后，产生的一种由重力作为回复力的水质点偏离平衡位置的一种周期性运动。所以，波浪本身具有能量，而且这种能量也会随着波浪的向前传播而传播。在考虑波浪能量时，通常要将波浪总能量分成势能和动能两个部分。波浪势能是由于水质点偏离平衡位置造成的，所以，一个波长内，单宽波浪LηLρg2势能为：Ep=ρgzdxdz=ηdx∫∫00∫02H将微幅波中，波面的表达式η=cos(kx−σt)代入，可得：21E=ρgH2L(10-25)p16波浪动能是由质点运动产生的，所以一个波长范围内单宽长度的波浪动能LηL0ρ22ρ2212为：Ek=()u+wdxdz≈(u+w)dxdz=ρgHL(10-26)∫∫0−h2∫∫0−h2161所以，一个波长内的总能量为：E=E+E=ρgH2L(10-27)kp8可以看出，微幅波的动能和势能是相等的。微幅波理论是各种波浪理论中最为基本的理论，由于它有计算简便等优点，所以在工程中被广泛应用于解决各类实际问题，是解决港口、海岸和海洋工程各种问题最重要的工具之一。除此之外，在某些工程计算中，微幅波理论的计算仍然能够得到足够精确的结果。