金融风险管理计算题

金融风险管理计算题 1( 一个银行在下一年盈利的回报服从正态分布。期望回报为整体资产的0.6%，而标准差为整体资产的1.5%。银行的权益资本占整体资产的4%，在忽略税收的情况下，银行在下一年仍有正的权益资本的概率为多大, 于银行的权益资本占整体资产的4%，因此银行在下一年仍有正的权益 解: 由 资本的概率对应于银行的盈利大于资产的-4%的概率。 设 银行在下一年的盈利占总体总产的比例为X，则X大于资产的-4%的概率为，由于银行在下一年的盈利的回报服从正态分布，由题意有: 即银行股票为正的概率为N(3.067)，其中N为标准正态分布，查表的其解为99.89%，因此在忽略税收的情况下，银行在下一年仍有正的权益资本的概率为99.89%。 2( 股票的当前市价为94美元，同时一个3个月期的、执行价格为95美元的欧式期权价格为4.70美元，一个投资人认为股票价格会涨，但他并不知道是否应该买入100股股票或者买入2000个(相当于20份合约)期权，这两种投资所需资金均为9400美元。在此你会给出什么建议,股票价格涨到什么水平会使得期权投资盈利更好, 解 : 设 3个月以后股票的价格为X美元(X>94) (1)当美元时，此时股票价格小于或等于期权执行价格，考虑到购买期权的费用，应投资于股票。 (2)当美元时，投资于期权的收益为:美元，投资于股票的收益为美元 )令 解得X = 100美元 给出的投资建议为: 若3个月以后的股票价格:美元，应买入100股股票; 若3个月以后的股票价格X=100美元，则两种投资盈利相同; 若3个月以后股票的价格:美元，应买入2000个期权，在这种价格下会使得期权投资盈利更好。 3( 某银行持有USD/EURO汇率期权交易组合，交易组合的Delta为30000，Gamma为-80000，请解释这些数字的含义。假设当前汇率(1欧元所对应的美元数量)为0.90，你应该进行什么样的交易以使得交易组合具备Delta中性,在某段时间后，汇率变为0.93。请估计交易组合新的Delta。此时还要追加什么样的交易才能保证交易组合的Delta呈中性,假如最初银行实施Delta中性策略，汇率变化后银行是否会有损益, 解:Delta的数值说明，当欧元汇率增长0.01时，银行交易价格会增长 美元;Gamma的数值说明，当欧元价格增长0.01美元时，交易组合的Delta会下降美元。 为了做到Delta中性，应卖出30000欧元。 当汇率增长到0.93时，期望交易组合的Delta下降为(0.93-0.90) 组合的价值变为27600，为了维持Delta中性，银行应该对2400数量欧元短头寸进行平仓，这样可以保证欧元净短头寸为27600。 当一个交易组合的Delta为中性，同时Gamma为负，资产价格有一个较大变动时会引发损失。这时的结论是银行可能会蒙受损失。 4( 假设某两项投资中的任何一项都有4%的可能触发损失1000万美元，有2%的可能触发损失100美元，并且有94%的概率盈利100万美元，这两项投资相互独立。 (1) 对应于在95%的置信水平下，任意一项投资的VaR是多少, (2) 选定95%的置信水平，任意一项投资的预期亏损是多少, (3) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的VaR 是多少, (4) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的预 期亏损是多少, (5) 请说明此例的VaR不满足次可加性条件，但是预期亏损满足次可加性条 件。 解:(1)对应于95%的置信水平，任意一项投资的VaR为100万美元。 分布中，有4%的概率损失1000 (2)选定95%的置信水平时，在5%的尾部 万美元，1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是 万美元5%5% 的概率 (3)将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有 损失2000万美元，有的概率损失200万美元，有 4=0.8836的概盈利200万美元，有的概率损失1100万美元，有的概率损失900万美元，有 的概率不亏损也不盈利，由于 0.95=0.8836++0.0376+0.0004+0.0284,因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的VaR是900万美元。 (4)选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中,有0.16%的概率损失2000万美元，有0.16%的概率损失1100万美元，有4.68%的概率损失900万美元，因此，两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的预期亏损 4.68%0.16%0.16%是万美元5%5%5%(5)由于 ，因此VaR不满足次可加性条件， ，因此预期亏损满足次可加性条件。 5( 一家银行在下一年的盈利服从正态分布，其期望值和标准差分别为资产的 0.8%和2%。对应于 (1) 在99,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少, (2) 在99.9,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少, 中忽略税收。 解:(1)设 在99%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为A，银行在下一年的盈利占资产的比例为X，由于盈利服从正态分布，因此银行在99%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为:，由此可得 ，解得A=3.86% 2% 即在99,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为3.86%。 (2)设 在99.9%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为B，银行在下一年的盈利占资产的比例为Y，由于盈利服从正态分布，因此银行在查表得99.9%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为:，由此可得 查表得，解得B=5.4% 2% 即在99.9,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为5.4%。 6( 股票的当前市价为94美元，同时一个3个月期的、执行价格为95美元的欧式期权价格为4.70美元，一个投资人认为股票价格会涨，但他并不知道是否应该买入100股股票或者买入2000个(相当于20份合约)期权，这两种投资所需资金均为9400美元。在此你会给出什么建议,股票价格涨到什么水平会使得期权投资盈利更好, 解 : 设 3个月以后股票的价格为X美元(X>94) (1)当美元时，此时股票价格小于或等于期权执行价格，考虑到购买期权的费用，应投资于股票。 (2)当美元时，投资于期权的收益为:美元， 投资于股票的收益为美元 令 解得X = 100美元 给出的投资建议为: 若3个月以后的股票价格:美元，应买入100股股票; 若3个月以后的股票价格X=100美元，则两种投资盈利相同; 若3个月以后股票的价格:美元，应买入2000个期权，在这种价格下会使得期权投资盈利更好。 7( 一金融机构持有以下场外期权交易组合，基础资产为英镑: 期权 种类 看涨 看涨 看跌 看跌 头寸 数量 -1000 -500 -2000 -500 期权的 期权的 期权的 Delta 0.50 0.80 - 某交易所交易期权的Delta为0.6，Gamma为1.5，Vega为0.8。 (1) 用多少交易所期权可以使场外交易同时达到Gamma及Delta中性，这 时采用的交易是多头头寸还是空头头寸, (2) 采用什么及多少交易所交易期权可以使场外交易组时达到Vega 以及Delta中性，交易应该为多头头寸还是空头头寸, 解:根据表格信息可以得出组合资产的头寸数量为 -(1000+500+2000+500)=-4000; 组合的Delta=(----0.4)+(--450; 同理可得组合的Gamma=-6000;组合的Vega=-4000; (a)为达到Gamma中性，需要在交易组合中加入份期权，加入期权后的Delta为，因此，为保证新的交易组合的Delta中性，需要卖出1950份英镑。为使Gamma中性采用的交易是长头寸，为使Delta中性采用的交易是短头寸。 份期权，加入期 (b)为达到Vega中性，需要在交易组合中加入 权后的Delta为，因此，为保证新的交易组合的Delta中性，需要卖出2550份英镑。为使Vega中性采用的交易是长头寸，为使Delta中性采用的交易是短头寸。 9%的可能触发损失1000万美元，有 8( 假设某两项投资中的任何一项都有0. 99.1%的可能触发损失100美元，并且有正收益的概率均为0，这两项投资相互独立。 (6) 对应于在99%的置信水平下，任意一项投资的VaR是多少, (7) 选定99%的置信水平，任意一项投资的预期亏损是多少, (8) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR 是多少, (9) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的预 期亏损是多少, (10) 请说明此例的VaR不满足次可加性条件，但是预期亏损满足次可加 性条件。 解:(1)对应于99%的置信水平下，任意一项投资的VaR是100万美元。 在1%的尾部分布中，有0.9%的概率损失1000 (2)选定99%的置信水平时， 万美元，0.1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是 万美元1%1% (3)将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有的概率损失为2000万美元，有的概率损失为200万美元，有的概率损失为1100万美元，由于 99%=98.2081%+0.7919%，因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR是1100万美元。 (4)选定99%的置信水平时，在1%的尾部分布中,有0.0081%的概率损失2000万美元，有0.9919%的概率损失1100万美元，因此两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的预期亏损是 万美元0.010.01 (5)由于，因此VaR不满足次可加性条件， ，因此预期亏损满足次可加性条件。 9( 一家银行在下一年的盈利服从正态分布，其期望值和标准差分别为资产的0.8%和2%。对应于 (3) 在99,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少, (4) 在99.9,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少, 分析中忽略税收。 解:(1)设 在99%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为A，银行在下一年的盈利占资产的比例为X，由于盈利服从正态分布，因此银行在99%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为:，由此可得 ，解得A=3.86% 2% 即在99,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为3.86%。 (2)设 在99.9%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为B，银行在下一年的盈利占资产的比例为Y，由于盈利服从正态分布，因此银行在查表得99.9%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为:，由此可得 查表得，解得B=5.4% 2% 即在99.9,置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为5.4% 10( 一个交易员在股票价格为20美元时，以保证金形式买入200股股票， 初始保证金要求为60%，维持保证金要求为30%,交易员最初需要支付的保证金数量为多少,股票在价格时会产生保证金催付, 解:(1)由题目条件可知，初始股票价格为20美元，购入了200股股票，那么初始股票价值为美元，初始准备金为美元. (2)设 当股票价格跌至X美元时产生准备金催款 当股票价格下跌至X美元时，股票价值为200X，则股票价值下跌了 美元 此时保证金余额为 美元，又已知维持保证金为30%，则有: 美元 解得 11( 某银行持有USD/EURO汇率期权交易组合，交易组合的Delta为30000， Gamma为-80000，请解释这些数字的含义。假设当前汇率(1欧元所对应的美元数量)为0.90，你应该进行什么样的交易以使得交易组合具备Delta中性,在某段时间后，汇率变为0.93。请估计交易组合新的Delta。此时还要追加什么样的交易才能保证交易组合的Delta呈中性,假如最初银行实施Delta中性策略，汇率变化后银行是否会有损益, 解:Delta的数值说明，当欧元汇率增长0.01时，银行交易价格会增长 美元;Gamma的数值说明，当欧元价格增长0.01美元时，交易组合的Delta会下降美元。 为了做到Delta中性，应卖出30000欧元。 当汇率增长到0.93时，期望交易组合的Delta下降为(0.93-0.90)组合的价值变为27600，为了维持Delta中性，银行应该对2400数量欧元短头寸进行平仓，这样可以保证欧元净短头寸为27600。 当一个交易组合的Delta为中性，同时Gamma为负，资产价格有一个较大变动时会引发损失。这时的结论是银行可能会蒙受损失。 12( 组合A是由一个一年期，面值为2000美元零息债券及一个10年期，面值为6000美元的零息债券组成。组合B是由5.95年期，面值为5000美元的债券组成，当前所有债券年收益率为10%(连续复利)。 (1) 证明两个组合具有相同的久期。 (2) 证明如果收益率有0.1%上升，两个组合价值变化同利率变化的百分 比相同。 (3) 如何收益率上升5%，两种组合价值变化同利率变化的百分比为多 少, 解:(1)对于组合A，一年期债券的现值，十年其债券的现值 组合A的久期为 由于组合B的久期亦为5.95，因此两个组合的久期相等 (2)因为收益率上升了0.1%，上升幅度比较小，因此A,B组合价值的变化可以分别由以下公式表示: 所以有 由(1)可知组合A与组合B的久期相等，因此两个组合价值变化同利率变化的百分比相同。 (3)因为收益率上升了5%，上升幅度较大，因此A，B组合价值的变化11可分别表示为: 所以有 可以计算得到组合A的曲率为 组合B的曲率为5000 分别把数据代入公式，计算得到 因此，如果收益率上升5%，两种组合价值变化同利率变化的百分比分别为-4.565和-5.065.